大气海洋数据同化方法Kalman滤波课件.ppt

1、大气大气/海洋数据同化方法（海洋数据同化方法（2）Kalman滤波滤波 Kalman滤波基本思想：滤波基本思想： 预报场预报场初始场初始场分析场分析场 = 预报场预报场 + K（观测（观测 - 模式解）模式解）最小方差估计最小方差估计 P ，K估计状态估计协方差 PKalman赢余 K更新状态更新协方差 P估计协方差 P更新状态更新协方差 P估计状态Kalman赢余 Ki 时刻i+1 时刻i+2 时刻图2.1 Kalman滤波流程示意图af1nnA)(ffannnnnndKHnnnnwdtHnnnQPPTafAA11)(nnnnnnnRPPKTfTfHHH-1 表示求逆表示求逆T 表示转置表示

2、转置一个简单例子：一个简单例子：信号源运动方程为信号源运动方程为系统误差系统误差: 方差为方差为0.1的高斯白噪声的高斯白噪声问题：请估计状态问题：请估计状态 s, s, s状态矩阵状态矩阵 s ss 1 .0001 .0001 .Qaf1nnA状态转换矩阵状态转换矩阵A100t10t21t1A2)t (vt3t25)t ( s2 n21n100t10t21t1n21n s ss100t10t21t1 s ss st s s st21t ss2nnnnwdtH)t (vt3t25)t ( s2 观测矩阵观测矩阵H 001H 观测误差观测误差: 方差为方差为0.25的高斯白噪声的高斯白噪声 25

3、.00025.00025.Raf1nn A)d(Knnnnnnffa H nnnnwd t Hn1nnQPP TafAA1nnnnnnn)RP(PK TfTfHHH 000000000P0t6250t0123401234ts0123401234ts0123401234ts结果分析结果分析简单推广应用：简单推广应用：动力模型要简单动力模型要简单气象气象/海洋海洋MODEL统计模型统计模型统计预报统计预报回归方程回归方程应用猜想应用猜想1）气温旬预报）气温旬预报2）Elnino预报预报一个实际例子一个实际例子一维大气边界层动力初值化模式如下一维大气边界层动力初值化模式如下 :)()(zuKzVvf

4、tug)()(zvKzUuftvghxUg, VgPBL问题：如何消化观测数据形成风廓线？三种思路：三种思路：1）：直接利用观测数据进行插值）：直接利用观测数据进行插值2）：运用松弛逼近法）：运用松弛逼近法3）：运用）：运用Kalman filters哪些可取？哪些不可取？哪些可取？哪些不可取？)Uobsu(G)zuK(z)Vv(ftug )Vobsv(G)zvK(z)Uu(ftvg 运用松弛逼近法运用松弛逼近法运用运用Kalman filters首先将方程写成首先将方程写成 x(t+1)=A*x(t)的形式的形式图 3.1 一维模式垂直分层示意图21N1-NN121ground)/()()(

5、212111121111211jjjjnjnjjjjnjnjjgnjnjnjZZZZuuKZZuuKVvftuuhzzKhzhhhKKzKhzKKhhzhKzKsshhhshhshsss0)()/()(2)()/()()(22湍流垂直交换系数方案采用湍流垂直交换系数方案采用OBrien(1970)的廓线系数公式的廓线系数公式 TnNnnnnNnnnnvvvvuuuuX).,.,(321321TnNnnnnNnnnnvvvvuuuuX).,.,(113121111312111状态向量：状态向量：CXAXnn1离散化之后的离散化之后的1-D边界层方程可以写为：边界层方程可以写为：NNNNNNNNN

6、NNNNNA111122221111111222211100000000TnNNgNgggnNNgNggguUUUUSvVVVVSC),2,1(321321CXAXnn1(2N,2N)一维标准一维标准Kalman滤波实验结果滤波实验结果KFWithout KF369121518030060090012001500uHeight (m)u (m/s)3691215181101001000u-1012345030060090012001500v-10123451101001000v观测所在观测所在垂直层次垂直层次2468Evolution of P and Mean G at Each State

7、 Vetor Point A: after 1 time step B: after 5 time steps C: after 30 time steps D: after 40 time steps )48121620240.000.010.020.03Mean K (Kalman Gain)state vectorKalman滤波滤波af1nnAnnnQPPTafAA1nnnnwdtH)(ffannnnnndKH1)(nnnnnnnRPPKTfTfHHHKalman滤波的几个发展阶段滤波的几个发展阶段 标准（标准（standard）Kalman滤波滤波 扩展（扩展（extended）Ka

8、lman滤波滤波简化（简化（simplified）Kalman滤波滤波集合（集合（ensemble）Kalman滤波滤波 Kalman filters标准标准Kalman滤波给出的状态估计是最优的滤波给出的状态估计是最优的 扩展（扩展（extended）Kalman滤波是针对非线性系统提出的。滤波是针对非线性系统提出的。在非线性情形下，模式状态转换矩阵可以是模式状态的函在非线性情形下，模式状态转换矩阵可以是模式状态的函数，观测转换矩阵可以是模式状态与观测的函数数，观测转换矩阵可以是模式状态与观测的函数保留保留1阶导数项（即获取非线性方程的切向线性方程），类阶导数项（即获取非线性方程的切向线性方

9、程），类似标准似标准Kalman滤波的形式同样可以得到，但此时的滤波的形式同样可以得到，但此时的Kalman滤波给出的估计不再是最优的，而是次优的。为了滤波给出的估计不再是最优的，而是次优的。为了提高精度，每进行一次提高精度，每进行一次Kalman滤波之后保持不变并使用相滤波之后保持不变并使用相同的观测，重复滤波过程对模式状态进行更替，这就是叠同的观测，重复滤波过程对模式状态进行更替，这就是叠代（代（iterated）扩展）扩展Kalman滤波。滤波。简化简化Kalman滤波与集合滤波与集合Kalman滤波的诞生滤波的诞生Kalman滤波原理并不复杂，但具体实施起来有相当的难度。滤波原理并不复

10、杂，但具体实施起来有相当的难度。其一：模式只是对真实物理过程的一种近似，近似的好坏其一：模式只是对真实物理过程的一种近似，近似的好坏程度即误差很难确定，因而程度即误差很难确定，因而Kalman滤波中的模式误差滤波中的模式误差 较难给定。较难给定。其二：计算模式预报误差协方差矩阵其二：计算模式预报误差协方差矩阵 是是Kalman滤波的核滤波的核心关键算法，需要心关键算法，需要 倍的模式积分时间，而且还需要存倍的模式积分时间，而且还需要存储储 维矩阵的空间，给出转换矩阵维矩阵的空间，给出转换矩阵 的形式；对于当前的形式；对于当前原始方程数值预报模式，原始方程数值预报模式， 通常达到通常达到 ，而且

11、很难给出，而且很难给出 的形式。这些意味着要付出昂贵的计算时间并占用大量的的形式。这些意味着要付出昂贵的计算时间并占用大量的机器内存。机器内存。 QfPN2NN N610AAaf1nn An1nnQPP TafAA基于以上原因，针对基于以上原因，针对 对对Kalman滤波进行简化成为必然。滤波进行简化成为必然。目前基本上有两种简化途径：目前基本上有两种简化途径：一种是简化（一种是简化（simplified）Kalman滤波，减少滤波，减少 的维数；的维数；一种是集合（一种是集合（ensemble）Kalman滤波，改变滤波，改变 的算法。的算法。 fPfPfP简化Kalman滤波有多种思路。一

12、种简化Kalman滤波认为(Phillips,1986; Dee,1991; Cohn,1991)，模式预报误差协方差的传播方程向前传播的信息过多，其实并没有必要传播有关每一个状态变量的信息；它主张通过了解模式里物理过程的内在规律和抓住模式的动力学特征，用一小部分参量去代表整个模式误差；相应地，只计算与这一小部分参量所对应的模式误差相关的模式预报误差协方差，对预报误差协方差的其余部分作静态处理即认为它们不随时间传播，从而达到减小 维数的目的。 fP 100t10t21t1A2 000000000P0t集合集合Kalman滤波滤波 MonteCarlo法（集合积分法）来计算模式预法（集合积分法）

13、来计算模式预报误差协方差。将模式状态预报看成近似随机动态预报误差协方差。将模式状态预报看成近似随机动态预报，用一个模式状态集合（设数目为报，用一个模式状态集合（设数目为M）去代表随机）去代表随机动态预报中的概率密度函数，通过向前积分模式状态动态预报中的概率密度函数，通过向前积分模式状态集合很容易计算不同时间的概率密度函数所对应的统集合很容易计算不同时间的概率密度函数所对应的统计特性（如均值与协方差）。计特性（如均值与协方差）。 假定 代表模式预报集合，则 当集合数目增加时，解概率密度的误差以 速率趋近0；对于一个实用的集合数目，如100左右，此误差将会被统计噪音而非动态随机预报所控制；此时，所

14、消耗的计算时间约为100倍模式积分时间。 fTfffffE)(E)(P M1initialnoiseF Fl lo ow w- -c ch ha ar rt t o of f E En ns se em mb bl le e K KF F),(2, 1Mmodel integrating+model noiseobservational noisefda)(ffaHdK1)()()(RHHPHPKEEPTfTfTfffff图2.2 总体Kalman滤波示意图标准Kalman滤波与集合Kalman滤波实验结果对比En-KFS-KF369121518030060090012001500u36912

15、15181101001000u-1012345030060090012001500v-10123451101001000vKalman滤波的优点与缺点滤波的优点与缺点优点：模式预报状态协方差优点：模式预报状态协方差 不断更新不断更新 ，不需要，不需要伴随模式，可以考虑非线性问题（伴随模式，可以考虑非线性问题（ensemble Kalman filters)。缺点缺点: 计算量太大！计算量太大！fPKalman滤波的应用进展滤波的应用进展 Kalman滤波在大气数据同化中正蓬勃发展。在简单、滤波在大气数据同化中正蓬勃发展。在简单、低维的数据同化问题中，标准低维的数据同化问题中，标准Kalman滤

16、波和扩展滤波和扩展Kalman滤波发挥着重要作用，算法已经成熟。但对复杂、高维和滤波发挥着重要作用，算法已经成熟。但对复杂、高维和强非线性数据同化问题，扮演主要角色的是简化强非线性数据同化问题，扮演主要角色的是简化Kalman滤滤波和集合波和集合Kalman滤波。滤波。 海洋数据同化方面，海洋数据同化方面，Evensen（1996）借助一个二层准地）借助一个二层准地转海洋模式用集合转海洋模式用集合Kalman滤波同化卫星高度计数据来模拟滤波同化卫星高度计数据来模拟海流）。海流）。欧洲中期天气预报中心（欧洲中期天气预报中心（ECMWF）1993年就在年就在Courtier的建议下开始发展自己的简

17、化的建议下开始发展自己的简化Kalman滤波，并将它的滤波，并将它的4DVAR系统向简化系统向简化Kalman滤波扩展；滤波扩展；1997年初次得到了年初次得到了简化简化Kalman滤波结果，发现滤波结果，发现4DVAR中运用简化中运用简化Kalman滤波可以考虑更多的动力影响。滤波可以考虑更多的动力影响。1998年又用一个低分辨年又用一个低分辨率的扩展率的扩展Kalman滤波作为工具诊断和测试了简化滤波作为工具诊断和测试了简化Kalman滤波中的几个理论和实践方面的问题，将简化滤波中的几个理论和实践方面的问题，将简化Kalman滤波朝业务使用方面又推进了一步。滤波朝业务使用方面又推进了一步。

18、 最近，最近，Mitchell等（等（2000）发展了一种基于集合）发展了一种基于集合Kalman滤波的估计模式误差的方法。滤波的估计模式误差的方法。可以说，可以说，Kalman滤波技术正在与伴随变分技术展开滤波技术正在与伴随变分技术展开“竞竞争争”，瓜分或者共同联手占有大气数据同化，瓜分或者共同联手占有大气数据同化“市场市场”。从Kalman Filters得出Optimal interpolationdynamic system: x(t+1) = A*x(t) + u(k) E(u*u) = Qmeasurement system: y(t) = M*x(t) + w(k) E(w*w) = ROptimal interpolation无dynamic systemA=1af1nnAnnnQPPTafAA1nnnnwdtH)(ffannnnnndKH1)(nnnnnnnRPPKTfTfHHH)Hd(KbbaQP 1)(RHQHQHKTTwHdtKalman FiltersOptimal interpolationORBQ,其中谢谢！