四川雅安2022届高三理科数学二诊试卷及答案.pdf

1、书书书数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页?秘密?启用前 ? 考试时间? ? ? ?年?月? ?日? ? ? ? ? ? ? ? ?雅安市高? ? ? ?级第二次诊断性考试数?学?理工类?注意事项? 答卷前? 考生务必将自己的姓名? 准考证号填写在答题卡上?回答选择题时? 选出每小题答案后? 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑?如需改动? 用橡皮擦干净后? 再选涂其它答案标号?回答非选择题时? 将答案写在答题卡上?写在本试卷上无效? 考试结束后? 将本试卷和答题卡一并交回?一? 选择题? 本题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是符合题目要求的

2、? 已知集合? ? ? 则?已知复数? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知? ? ? ? ?槡? 则? ? ? ? ? ? ?槡? ?的展开式中? 含?项的系数为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如图? 长方体? ? ? ?中? 点?分别是棱? ?上的动点? 异于所在棱的端点? 给出以下结论?在?运动的过程中? 直线? ?能与? ?平行?直线? ?与? ?必然异面?设直线? ? ?分别与平面?相交于点? 则点?可能在直线? ?上? 其中?所有正确结论的序号是? ? ? ? ? 设等差数列? 的前?项和为? 且? ? ? 则?取最小值时?的值为? ? ? ? ? ? ? ?

3、 ?或? ? 已知直线?与?相交于点? 过?的直线?与圆?相交于点? 且? ? ? ? 则满足条件的直线?的条数为? ? ? ? ?数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? 函数?的图象大致为? ? ? ? ? ? 已知抛物线?以坐标原点?为顶点? 以? 为焦点? 过? 的直线与抛物线?交于两点? 直线? ?上的点? 满足? ? 则? ?槡? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?年第? ?届冬季奥林匹克运动会? 即? ? ? ?年北京冬季奥运会? 的成功举办? 展现了中国作为一个大国的实力和担当? ? 一起向未来? 更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求?在北京冬季奥运会的某

4、个比赛日? 某人欲在冰壶? ? 冰球? ? 花样滑冰? ? 跳台滑雪? ? ? 自由式滑雪? ? ? 雪车? ? 这?个项目随机选择?个比赛项目现场观赛? 注? 比赛项目后括号内为? 表示当天不决出奖牌的比赛? ? ? 表示当天会决出奖牌的比赛? ? 则所选择的?个观赛项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为? ? ? ? 已知双曲线?的一条渐近线为直线槡?的右顶点坐标为? 若点? 是双曲线?右支上的动点? 点?的坐标为? ? 则?的最小值为?槡? ?槡? ?槡? ?槡? ? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?的大小关系正确的是?二? 填空题? 本题共?小题

5、? 每小题?分? 共? ?分? ? 如图? 在 ? ? ? ? ?中? 两直角边? ? ? 点?分别为斜边? ?的三等分点? 则? ? ? ? ? ? 函数? ? ?的图象向右平移?后所得函数图象关于?轴对称? 则? ? 造纸术是我国古代四大发明之一? 现在我国纸张的规格采用国际标准? 常用的?复印纸是幅面采用?系列的? ? ?规格的一种? 其中?系列的幅面规格为?规格的纸张的幅宽? 用?表示? 和长度? 用?表示? 的比例关系是?槡? ?将?纸张沿长度方向对开成两等分? 便成为?规格? 将?纸张沿长度方向对开成两等分? 便成?规格?如此继续对开? 得到一张?纸的面积为? ? ? ? ? 则一

6、张?纸的面积为? ? ?已知?都在同一个球面上? 平面? ? ?平面? ? ? ? ? ? ?是边长为?的正方形? ? ? ? ? 当四棱锥? ? ? ?的体积最大时? 该球的半径为?数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页?三? 解答题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤?第? ? ?题为必考题? 每个试题考生都必须作答?第? ? ?题为选考题? 考生依据要求作答? 一? 必考题? 共? ?分? ? ?分?某县为了解乡村经济发展情况? 对全县乡村经济发展情况进行调研? 现对? ? ? ?年以来的乡村经济收入? 单位? 亿元? 进行了统计分析? 制成如图所示的散点图? 其中

7、年份代码?的值? ?分别对应? ? ? ?年至? ? ? ?年? 若用模型? ?槡? ?拟合?与?的关系? 其相关系数分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 试判断哪个模型的拟合效果更好? 根据? 中拟合效果更好的模型? 求?关于?的回归方程? 系数精确到? ? ? ? ? 并估计该县? ? ? ?年的乡村经济收入? 结果精确到? ? ? ?参考数据?槡? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?参考公式? 对于一组

8、数据? ? ? ? ? ? ? 回归方程? ?中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为? ? ? ?分?已知向量?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 设函数? 求函数? 的单调递增区间? 设? ? ?的内角?所对的边分别为? 且? 求? 的取值范围?从下面三个条件中任选一个? 补充在上面的问题中并作答?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?成等比数列?注? 如果选择多个条件分别解答? 按第一个解答计分?数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? ? ?分?如图? ? 已知? ? ?是边长为?的等边三角形? 点?分别在? ? ?上? ?是线段?的中点? 将?沿直线?进行翻折?翻折到

9、点? 使得二面角?是直二面角? 如图? 若?平面? ? ? 求?的长? 求二面角?的余弦值? ? ?分?已知椭圆? 的离心率为槡? 点?槡?在椭圆?上? 求椭圆?的方程? 设? 是椭圆?上第一象限内的点? 直线?过?且与椭圆?有且仅有一个公共点?求直线?的方程? 用?表示? ?设?为坐标原点? 直线?分别与?轴?轴相交于点? 试探究?的面积是否存在最小值?若存在? 求出最小值及相应的点?的坐标? 若不存在? 请说明理由? ? ?分?已知函数? ? ? ? 当?时? 求曲线? 在点? ? 处的切线方程? 若?为整数? 当?时? 求?的最小值? 二? 选考题? 共? ?分?请考生在第? ? ?题中

10、任选一题作答? 如果多做? 则按所做的第一题记分? ? 选修? 坐标系与参数方程? ? ?分?在平面直角坐标系中? 已知直线?的参数方程为? ? ? ? ?为参数? ? 曲线?的方程为? 以坐标原点?为极点?轴的正半轴为极轴建立极坐标系? 求直线?及曲线?的极坐标方程? 设直线?与曲线?相交于?两点? 满足?槡? ? 求直线?的斜率? ? 选修? 不等式选讲? ? ?分?已知函数? ? ? ? 若存在? 使得? 求实数?的取值范围? 令? 的最小值为? 若正实数?满足? 求证? ?书书书数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页?数学?理工类?参考答案评分说明?本解答给出了一种或几种解法供参

11、考? 如果考生的解法与本解答不同? 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则?对计算题? 当考生的解答在某一步出现错误时? 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度? 可视影响的程度决定后继部分的给分? 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半? 如果后继部分的解答有较严重的错误? 就不再给分?解答右端所注分数? 表示考生正确做到这一步应得的累加分数?只给整数分?选择题和填空题不给中间分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?解析? ? 因为相关系数? 所以模型?槡? ?的拟合效果最好?分?令?槡? 知?

12、与?可用线性方程? ?拟合? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分所以?关于?的线性回归方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?故?关于?的回归方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?槡?分? ? ? ?年? 即? ?时?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 亿元? ?此时? 该县? ? ? ?年乡村经济收入的估计值为? ? ? ? ?亿元? ?分? ? 解析? ?槡? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?

13、? ?分?槡? ? ? ? ? ? ?分数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页?由?解得? ?所以函数? 的单调递增区间为 ? ?分? 选择? 由槡? ? ? ? ? ? ? ? ?及正弦定理有槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分所以? ? ?槡? ? 因为? 所以? ?分所以? 则?所以? 则? ? ? ?分所以?即? 的取值范围为? ?分选择? 由? ? ? ? ?即正弦定理有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ?

14、? ? ? ? ? ?分所以? ? ?因为? 所以? ?分所以? 则?所以? 则? ? ? ?分所以?即? 的取值范围为? ?分选择? 由?成等比数列? 则? ?分由余弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ?分当且仅当?时等号成立? 所以?所以? 则? ? ? ?分所以? 即? 的取值范围为? ?分数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? ? 解析? 设? ?的中点为? 由已知? ? ?因为二面角?是直二面角?所以平面?平面?所以? ?平面? 则? ? ?于是? 可建立如图所示空间直角坐标系? ? ?分设? ?则可以得到? ? ?槡? ?槡? ?槡? ?槡? ?槡? ?所以? ? ?槡

15、? ?槡? ?槡? ?槡? ?槡? ?分? 因为?平面? ? ?所以? ?分于是? ? ?槡? ?槡? ? ? ? ?所以?或? 舍?所以?的长为?分另解? 由?平面? ? ? 则? ?即折叠前? ? ? 如图? 设垂足为?分易知? ? ? ? ? ?过点?作? ? 垂足为?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ?分因为? ? 所以? ? ? ?因为? ? 所以? ?而?是线段?的中点? 所以?分? 设平面?的一个法向量为? ?则?即?槡? ?槡? ?槡?令? 有?槡?分显然? 平面?的一个法向量为? ? ?分数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页?所以? ? ? ?

16、槡?槡? ?分由题意可知? 二面角?的余弦值为?槡? ?分? ? 解析? ? 依题意有?槡? 即?槡? ?分将?槡?代入椭圆?的方程? 得? ?分因为?由上可得?槡? ? ?分所以椭圆?的方程为? ?分?由题知? 切线?斜率存在? 设直线? 联立? ? ?消去? 得? ? ?由? ? ? ? ?即?此时? ? ?则?则直线?的方程为? 即? ?分另解? 因为椭圆?的方程为?所以椭圆在第一象限内的一段对应的函数解析式为?槡?槡?由题意? 直线?为曲线?槡?槡? 在点?处的切线?易知直线?的斜率为? ?槡?分则直线?的方程为? ? 即? ?分?令? 有? 令? 有?分又? 由上可得数学? 理工类?

17、 试题答案 第?页? 共?页? ? ?槡?槡? ? ?分所以?的面积存在最小值槡? 最小值当且仅当?时取得?此时? 点?的坐标为?槡? ?分? ?解析? ? 当?时? ? ? ? 则?分又? ? ? 则在点? ? 处的切线斜率? ?分所以? 切线方程为? ?分? 解法? 由题知? ? ? 其中?设? ? ? 则? ? ?可知? ? 在区间?上为增函数? 且? ?则?时? ? 为减函数?时? ? 为增函数?所以?时? 函数? 的最小值? ? ? ?分?当? ? 即?时? 即? ? 为增函数?则函数? 的最小值? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ?由于?为整数? 所以?时?恒成立?分?当?

18、时? ? ? ? ? ? ?则? 的最小值? ? ? ? 又? ? 当?时? 由于? 为? 的增函数?则存在? 使得?即? ? ?若? 即? ? 为减函数?若? 即? ? 为增函数?则?极小值? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中? ?令? ? ? ? ? 则? ? ?数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页?可知?时? ? 在? 时单调递减?则? ? ? ? 即?极小值?分? 当?时? 由于? 为减函数? 且? ?槡? ?则存在? 使得?则?时? 即? ? 为增函数?则?时? 即? ? 为减函数?则?为? 的极大值点? 且? 又? ?槡? ? ? ? ? ?所以?时?则?也符合题意?

19、?分?当?时? ? ? ?由于? 为? 的增函数?则存在实数? 且? ? 使得? 即? ? 故? 为减函数?则当? 时? ?故?不符合题意? 舍去?综上所述? 整数?的最小值为? ? ?分解法? 由于?时?恒成立? 由? 所以? 或由? ? 得?槡? ? ? ? ? ? ? 且?槡? ? ? ? ? ? ?分?当?时? ? ? ? 则? ? ?令? ? ? 则? 为区间? 上的增函数?则? 的最小值? ? ? ?则存在实数? 使得? ? 使得? 即? ?故? 为? 上的减函数? 所以?故?不符合题意? 舍去?分?当?时? ? ? ? ? ? ?则? 的最小值? ? ? ? 又? ? 当?时?

20、由于? 为? 的增函数?数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页?则存在? 使得?即? ? ?当?时? 即? ? 为减函数?当?时? 即? ? 为增函数?则?极小值? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中? ?令? ? ? ? ? 则? ? ?当?时? ? 在? 时单调递减?则? ? ? ? 即?极小值? ?分? 当?时? 为减函数? ?槡? ?则存在? 使得?则?时? 即? ? 为增函数?则?时? 即? ? 为减函数?则?为? 的极大值点? 且? 又? ?槡? ? ? ? ? ?所以?时?则?符合题意?综上所述? 整数?的最小值为? ? ?分? ?解析? ? 由直线?的参数方程? ? ?

21、 ? ?为参数? 可知直线?的极坐标方程为?分由? ? ? ? ?分代入?中?可得曲线?的极坐标方程为? ? ? ?分说明? 写直线?的极坐标方程时? 不必要求说明?可以取负? 或加上? 联立直线?和曲线?的极坐标方程? ? ?整理? 得? ? ?上述关于?的一元二次方程有两个实根?于是? ? ? ? ?分数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页?由题意? 可设?因为?槡? ? 则? ? ? ?即? ? ? 又? 则有? ?所以? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? 所以? ? ?故直线?的斜率为槡?或槡? ? ?分? ? 解析? ? 当?时? 当?时? 当?时? 则? 的最小值为? ?分由于存在? 使得?则只需? 的最小值?不大于?即可?分即有? 解得?故?的取值范围是?分? 由? 可知? 的最小值为? 则?则? ?分? ?分? ?槡?槡?槡? ?当且仅当?且?取? ? 即?取?所以? ? ?分