幂级数展开课件.pptx

1、第三章第三章 幂级数展开幂级数展开(4)(4) 函数有函数有精确表示精确表示和和近似表示：近似表示：精确表示（解析表示）精确表示（解析表示） 表示为表示为初等函数通过四则运算；初等函数通过四则运算；近似表示（逼近）：将简单近似表示（逼近）：将简单/复杂的问题，复杂的问题，用通用的方法来表示。简化计算，节省时用通用的方法来表示。简化计算，节省时间。间。 级数表示级数表示 研究如何用幂级数不断的逼近研究如何用幂级数不断的逼近原函数。原函数。12函数级数表示的意义：函数级数表示的意义：利用级数计算函数的近似值；利用级数计算函数的近似值；级数法求解微分方程；级数法求解微分方程；以级数作为函数的定义；以

2、级数作为函数的定义；奇点附近函数的性态。奇点附近函数的性态。3.1 复数项级数复数项级数（一）复数项级数的概念（一）复数项级数的概念3kkkwwww210kkkvuwi级数是无穷项的和级数是无穷项的和, , 复无穷级数复无穷级数0000kkkkkkkkkviuivuw原级数成为原级数成为0kkw0kku0kkv这样复级数这样复级数 归结为两个实级数归结为两个实级数 与与 ，实级数的一些性质可移用于复级数。实级数的一些性质可移用于复级数。4（二）收敛性问题（二）收敛性问题 1 1、收敛定义：、收敛定义：2 2、柯西收敛判据柯西收敛判据 （级数收敛的（级数收敛的充分必要条件充分必要条件）：）： 对

3、于任给的小正数对于任给的小正数 必有必有N 存在，使得存在，使得 nN 时，时， 式中式中 p 为任意正整数。为任意正整数。,1pnnkkw ,0nkknwS 前前n+1项和项和 当当n ，有确定的极限，有确定的极限，便称便称级数级数收敛收敛，S称为级数和称为级数和；若极限不存在，；若极限不存在，则称级数则称级数发散发散。nnSS lim53、绝对收敛级数绝对收敛级数若若 收敛，则收敛，则 绝对收敛绝对收敛.1220|kkkkkvuw0kkw, ,00BqApkkkkABcqpqpnnkllkkkkk00000nkknknqpc0绝对收敛级数绝对收敛级数改变各项先后改变各项先后次序，和不变次序

4、，和不变. .两个绝对收敛级数逐项相乘两个绝对收敛级数逐项相乘，得到的级数也是绝对收敛，得到的级数也是绝对收敛的，级数的和为的，级数的和为两级数和之积两级数和之积. .6( (三三) ) 复变复变函数函数项项级数级数)()()()(210zwzwzwzwkkk的每一项都是复变函数。实际上，对于的每一项都是复变函数。实际上，对于 z 的一个的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。确定值，复变项级数变成一个复数项级数。复变复变函数函数项项级数有一个级数有一个定义域定义域 B 。收敛收敛-复变复变函数函数项项级数在其定义域级数在其定义域 B 中每一点都收中每一点都收敛，则称在敛，则称在 B 中收

5、敛。中收敛。7柯西收敛判据柯西收敛判据 (复变项级数收敛的充分必要条件复变项级数收敛的充分必要条件)： 对对B内每点内每点 z，任给小正数，任给小正数 0，必有，必有 N(,z) 存在，存在，使得当使得当 nN(,z) 时，时，,)(1pnnkkzw式中式中 p 为任意正整数。为任意正整数。N一般随一般随 z不同而不同。不同而不同。1)(kkzw但如果对任给小正数但如果对任给小正数 0，存在与，存在与 z无关的无关的 N() , 使得使得 nN()时，上式成立，便说时，上式成立，便说 在在B内内一致收敛一致收敛。 8（四）一致收敛级数的性质（四）一致收敛级数的性质记级数和为记级数和为w (z)

6、。在在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项内一致收敛的级数，如果级数的每一项 wk(z) 都是都是B内的连续函数内的连续函数，则，则级数的和级数的和w (z)也是也是B内内的连续函数的连续函数。00d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw逐项求积逐项求积分分 在曲线在曲线 l 上一致收敛的级数，如果上一致收敛的级数，如果级数的每一项级数的每一项 wk(z)都是都是l上的连续函数，则上的连续函数，则级数的级数的和和w (z)也是也是l上的连续函数上的连续函数，而且级数可沿，而且级数可沿 l 逐项逐项求积分。求积分。9逐项求导数逐项求导数设级数设级数 在在 中一致收敛，中一致收敛， w

7、k(z) (k=0,1,2 , )在在 中中单值解析单值解析，则，则级数的和级数的和w (z)也是也是 中的中的单值解析函数单值解析函数, w (z) 的各阶导数的各阶导数可由可由 逐项求导数得到，即：逐项求导数得到，即：且最后的级数且最后的级数 在在 内的任意一个闭区域内的任意一个闭区域中一致收敛。中一致收敛。 BBB0)(kkzw0)()()()(knknzwzw0)(kkzwB0)()(knkzw10（五）级数一致收敛的外氏（五）级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法（判别法（p34） 如果对于某个区域如果对于某个区域 B (或曲线或曲线 l )上所有各点上所有各点 z, 复

8、变项级数复变项级数 各项的模各项的模 （ mk是与是与 z 无关的正常数无关的正常数)，而正的常数项级数，而正的常数项级数 0kkm0)(kkzw ,| )(|kkmzw0)(kkzw收敛，则收敛，则 在区域在区域B (或曲线或曲线 l )上上绝对绝对且一致收敛且一致收敛。113.2 幂级数幂级数（一）定义（一）定义,)()()(20201000zzazzaazzakkk(3.2.1) 最简单的解析函数项级数是幂级数，其各项均最简单的解析函数项级数是幂级数，其各项均为幂函数为幂函数其中其中 z0, a0 , a1 , a2 , 为复常数。这样的级数叫为复常数。这样的级数叫作作以以 z0为中心的

9、幂级数为中心的幂级数。12,|lim|lim0010101Rzzzzaazzazzakkkkkkkk1limkkkaaRRzzRzz|1|00(3.2.3)(3.2.4)引入记号引入记号 若若 则实幂级数则实幂级数 (3.2.2)收敛收敛，复幂级数复幂级数 (3.2.1)绝对收敛绝对收敛若若 则则(3.2.2)发散发散Rzz|0,|)(| )(|)(|20201000zzazzaazzakkk（二）幂级数敛散性（二）幂级数敛散性 1 1、比值判别法（达朗贝尔判别法）、比值判别法（达朗贝尔判别法）(3.2.2)13R0z收敛发散RC故当故当 ，绝对收敛绝对收敛 当当 ，发散发散Rzz0Rzz0R

10、：收敛半径收敛半径CR: 收敛圆收敛圆2、根式判别法：、根式判别法：Rzzazzzzakkkkkkk|1lim|lim000kkakR|1lim143 3、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！kkkkRazza10|)(|01|kkkRa)( 11RRCR10|Rzz作作 ，在，在0z收敛发散RC1RCR1R有有对正的常数项级数对正的常数项级数 , 1lim|lim1111111RRRaaRaRakkkkkkkk应用比值判别法，有应用比值判别法，有15（三）例题（三）例题例例1 求求 的收敛圆。的收敛

11、圆。t 为复数为复数kttt21收敛圆内部为, 1| t1).|(| 1112tttttk. 111limlim1kkkkaaR解：解：收敛圆半径,111120ttttttnnnkk其实，,1111limlim10ttttnnnkkn对于, 1| t16例例 2 求求 的收敛圆，的收敛圆，z 为复数。为复数。解：解：tz 26421zzz321ttt. 111limlim1kkkktaaR1).|(| 1112642zzzzz1|zz 平面收敛圆平面收敛圆t 平面收敛圆平面收敛圆1t17（四）幂级数在收敛圆内的性质（四）幂级数在收敛圆内的性质1、幂级数每一项均是、幂级数每一项均是z的的解析函数

12、解析函数，而且在收敛，而且在收敛圆内任一闭区域中圆内任一闭区域中一致收敛一致收敛，所以级数的和，所以级数的和w(z)是收敛圆内的一个解析函数是收敛圆内的一个解析函数。2、幂级数在收敛圆内可逐项积分、幂级数在收敛圆内可逐项积分3、幂级数在收敛圆内可逐项求导、幂级数在收敛圆内可逐项求导00d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw0)()()()(knknzwzw且幂级数逐项求导或积分后收敛半径不变。且幂级数逐项求导或积分后收敛半径不变。184. 幂级数的积分表示幂级数的积分表示在一个比收敛圆在一个比收敛圆 CR 内稍小的圆内稍小的圆 CR1中幂级数绝对中幂级数绝对且一致收敛，故可沿且一

13、致收敛，故可沿CR1这个圆逐项积分。这个圆逐项积分。记记 CR1上点为上点为 ，而，而CR1内任一点为内任一点为 z，则圆上的幂级数为，则圆上的幂级数为利用利用柯柯西公式西公式得得202010)()()(zazaa用用zi121( (有界有界) )乘后仍一致收敛，乘后仍一致收敛，2020102020100)()()(21)(2121)(211111zzazzaadzzaidzzaidzaidziRRRRCCCC0z收敛发散RC1RCR1Rz此页内容不讲！此页内容不讲！19本节作业：第本节作业：第37页页第第3题（题（1，3，4）。）。20（一）泰勒定（一）泰勒定理：理：设设 f(z) 在以在以

14、 z0 为圆心的圆为圆心的圆 CR 内内解析，则对圆内的任意解析，则对圆内的任意 z 点点, f(z) 可展为幂可展为幂级数，级数， 其中展开系数为其中展开系数为 为圆为圆CR 内包含内包含z且与且与CR 同心的圆。同心的圆。00,)()(kkkzzazf1!)(d)()(210)(10RCkkkkzfzfia1RC1RC为为 上的点，上的点， z0称为该称为该级数级数的展开中心。的展开中心。3.3 泰勒（泰勒（Taylor）级数展开）级数展开21 ,d)(i21)(1RCzfzf .1 111002000000zzzzzzzzzzzz其中其中证明：证明：作作 ,因为因为f(z)在在单闭区域单

15、闭区域上上解析，由柯西公式解析，由柯西公式(2.4.3)( 11RRCR10Rzz00000111)()(11zzzzzzzz展开（注意展开（注意）00zzz(3.3.1)22将（将（3.3.3）代入（）代入（3.3.1）逐项积分）逐项积分0100000011kkkkkkzzzzzzzz.d)(i21)()(11000RCkkkzfzzzf).|(| )(!)()(0000)(Rzzzzkzfzfkkk即即以以 z0 为中心的泰勒级数。为中心的泰勒级数。(3.3.3)可以证明（可以证明（p39），以），以 z0 为中心的泰勒级数是唯一的。为中心的泰勒级数是唯一的。泰勒级数的收敛半径泰勒级数的收

16、敛半径R等于展开中心等于展开中心 z0至被展开函数的至被展开函数的最近奇点最近奇点b的距离，即的距离，即 R=b-z023例例 在在 z0=0的邻域上将的邻域上将 ez 展开。展开。解解 因为因为1)0()(,e)()(0)()(kkzkfzfzf.! 2! 11e02kkkzkzkzzz故故!)!1(limlim1kkaaRkkkk收敛半径收敛半径 （二）将解析函数展成泰勒级数的方法（二）将解析函数展成泰勒级数的方法24例例 在在 z0=1的邻域上将的邻域上将ez 展开。展开。解解e|)e (1)(znz!) 1(! 2) 1(! 1) 1(1ee2kzzzkz故故!)!1(limlim1k

17、kaaRkkkk收敛半径收敛半径 例例 在在 z0=0 邻域的上将邻域的上将 f1(z)=sin z 和和 f2(z)=cos z展开展开.解解0|)(sin ;) 1(|)(sin0)2(0)12(zkkzkzz , 0)0( ,sin)(, 1)0( ,cos)(, 0)0( ,sin)( , 1)0( ,cos)( , 0)0( ,sin)()4(1)4(1)3(1)3(1111111fzzffzzffzzffzzffzzf.)!12() 1()!12() 1(! 5! 3! 1sin0121253kkkkkzkkzzzzz252602242)!2() 1( )!2() 1(! 4! 2

18、1coskkkkkzkkzzzz)!2()!22(limlim1kkaaRkkkk)!12()!32(limlim1kkaaRkkkk类似类似收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径27zzfln)(例例 在在 z0=1 邻域的上将邻域的上将 展开。展开。解解 ,)!1() 1() 1 ( ,)!1() 1()( , ! 3) 1 ( ,! 3)(, ! 2) 1 ( ,! 2)(, 1) 1 ( ,! 1)( , 1) 1 ( ,1)( ,21ln) 1 ( ,ln)(1)(1)()4(4)4()3(3)3(2kfzkzffzzffzzffzzffzzfinfzzfkkkkk lnz 是是多值函数多

19、值函数，各分，各分支在支点支在支点 0, 相连。但相连。但 z0=1 不是支点，在其不是支点，在其 z-z01的邻域各分支相互独立。的邻域各分支相互独立。多多值函数在确定了单值分支后，值函数在确定了单值分支后，可象单值函数那样在各单值可象单值函数那样在各单值分支上作泰勒展开分支上作泰勒展开。 oyx1281)| 1(| ) 1() 1(2ln11zzknizkkk收敛半径收敛半径 R=1。n=0的那一支为的那一支为主值分支主值分支。,1 ) 1()2)(1()0( ,)1)(1()2)(1()( ,1 )2)(1()0( ,)1)(2)(1()(,1 ) 1()0( ,)1)(1()( ,1)

20、0( ,)1 ()( ,1)0( ,)1 ()()()()3(3)3(21mkkmkmmmmmmmmkmmmmfzkmmmmzfmmmfzmmmzfmmfzmmzfmfzmzffzzfmzzf)1 ()(例例 在在 z0=0的邻域上将的邻域上将 展开展开(m不是整数不是整数).解解 29) 1(!) 1() 1( ! 2) 1(! 111 !1 ) 1() 1( ! 21 ) 1(! 111)1 (22zzkkmmmzmmzmzkkmmmzmmzmzkmkmmmmm于是于是收敛半径收敛半径 R=1。式中。式中n=0为主值分支为主值分支。(3.3.11)非非整数二项式定理。整数二项式定理。)(

21、e)e (12i2i为整数nmnmnm(3.3.11)300221 !) 1() 1( ! 2) 1(! 111 !1 ) 1() 1( ! 21 ) 1(! 111)1 (kkmkmkmmmmmzkmzkkmmmzmmzmzkkmmmzmmzmz于是于是收敛半径收敛半径 R=1。式中。式中n=0为主值分支。非整数二项式定理。为主值分支。非整数二项式定理。)( e)e (12i2i为整数nmnmnm若若m 为整数为整数kmCkmkm ,0)!( !1 kkmzkmkm31若存在若存在R, 使使f(z)在以在以 z=0为圆心，为圆心，R为半径的圆外（包为半径的圆外（包括括 ）解析，）解析，.)(

22、,)(22102210zazaazftataat有有,1tz ),(1ttf作变换作变换基本公式基本公式zkzkzzzekkkz,! 21021,11102zzzzzzkknzkzkzzzzieezkkkkkiziz,)!12() 1()!12() 1(! 5! 32sin0121253zkzkzzzeezkkkkkiziz,)!2() 1()!2() 1(! 4! 212cos02242对于其他对于其他函数，总是函数，总是尽量利用这尽量利用这些基本公式些基本公式32331).|(| ) 1( )()(11110k20k222zz-zzzkkk例例(1)例例(2) 以以z=0为中心，将有理函数

23、为中心，将有理函数 Taylor展开展开22311zz 有理函数先化为部分分式后再利用公式有理函数先化为部分分式后再利用公式21,122221211231101002zzzzzzzzkkkkkkk解：解：例例(3) 以以z=0为中心，将函数为中心，将函数 泰勒展开泰勒展开zezcoszziikeeeeezekkkkziziizizzz,)()(!12121)(21cos0)()(34例例(4) 以以z=0为中心，将函数为中心，将函数 展开展开2)1 (1z1,) 1(11)1 (101102zzkkzzdzdzdzdzkkkkkk解：解：例例(5) 以以z=1为中心为中心, ,将函数将函数 在

24、区域在区域 展开展开21zz 11 z级数的形式为级数的形式为 ,先将先将f(z)化成宗量为化成宗量为(z-1)的函数的函数kkkza) 1(0解：解：. 11,) 1() 1() 1() 1() 1() 1() 1() 1(11) 1()1() 1(10101102zzkzkzzdzdzzdzdzzdzdzzzkkkkkkkk35例例(6) 在在z=0的邻域上的邻域上将多值函数将多值函数 ln(1+(1+z) ) 展开展开110100000) 1(1) 1() 1()(11kkkkkkzkkkzkkzkzkzdzzdzzdzzzzf11)( 设设 f(z)=ln(1+z) ，则，则 ，因此，

25、因此在区域在区域 解：解：1z1ln)1ln()1ln()1ln(0zzzzkkkzkz11) 1(1ln)1ln(kkkzkni11) 1(2) 1(zn=0为主值分支，在主值分支为主值分支，在主值分支 ln1=0。36另解：另解：利用公式利用公式 p40（3.3.10）1)| 1(| 1121111zzknizzkkk)()()(ln(ln（3.3.10）1)|(| ) 1(21ln11zzknizkkk有有例例(6) 在在z=0的邻域上的邻域上将多值函数将多值函数 ln(1+(1+z) ) 展开展开1)(1ln(lnzz37本节作业：第本节作业：第41页页(1)利用利用 级数逐项积分级数

26、逐项积分,取主值取主值arctg0=0；(2)利用（利用（3.3.11）展开；）展开；(8)利用利用 cos z 或或 sin z 级数展开。级数展开。211z38 3.4 解析延拓解析延拓1,110tttkk1,11) 1(202zzzkkk这个答案是已知的这个答案是已知的1,11)(tttF(1)(1)(2)(2)(1)(2)两式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛圆外等式不两式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛圆外等式不一定成立。等式的左边仅在收敛圆内有意义，而等式的右一定成立。等式的左边仅在收敛圆内有意义，而等式的右边除边除 t =1 (1式式)或或 z= i (2式式) ,在整个复平面上解

27、析。因此，在整个复平面上解析。因此，问：已知问：已知 ，求，求 在在 之外的之外的 F(t)。1t1,0ttkk39已知已知 f(z) 在在 b 中解析，若中解析，若 F(z) 在在 B (b B) 中解析中解析 ，且在，且在 b 中中F(z)=f(z) 。称。称F(z) 为为 f(z) 在在(B-b)中的中的解析延拓。解析延拓。采用解析采用解析延拓的办法可以扩大函数的定延拓的办法可以扩大函数的定义域和解析范围。义域和解析范围。Bb0z解析延拓的方法解析延拓的方法在在 b 中取点中取点 z0，又取，又取 z0 的一个邻域，将的一个邻域，将 f(z) 展开为泰勒级展开为泰勒级数。如果这个级数的收

28、敛圆的一部分超出区域数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b 进入区域进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。逐渐将函数解析延拓。可以证明，无论采用何种方法，函数可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z) 的解析延拓是的解析延拓是唯唯一一的。这样，可以采的。这样，可以采 用某些用某些最方便的方法最方便的方法来进行解析延拓。来进行解析延拓。3.5 洛朗（洛朗（Laurent）级数展开）级数展开（一）双边幂级数（一）双边幂级数202010101202)()()()(zzazzaazzazza,10zz

29、 33221aaa,12R21|R20|Rzz正幂部分有收敛半径，正幂部分有收敛半径，R1 ，引入新变量，引入新变量 负幂部负幂部分成为分成为有收敛半径，有收敛半径， 其在其在 内部收敛内部收敛,即在即在 的外部收敛。的外部收敛。若若 R2 R1 级数发散。级数发散。102|RzzR102|RzzR4041（二）定理（二）定理设设f(z)在环形区域在环形区域 的的内部单值解析，则对环域上任一点内部单值解析，则对环域上任一点 z， f(z)可展为幂级数可展为幂级数kkkzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21102|RzzR0z2RC1R2R1RC1RC2RCCz其中其中路径路径C

30、为为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。合曲线。(3.5.3)(3.5.4)42d)(i21d)(i21)(21顺逆RRCCzfzfzf证：证：作作 , f(z)在闭环形区域在闭环形区域 上上解析，应用复连通区域上的柯西公式解析，应用复连通区域上的柯西公式,1RC2RC|102RzzR0z2RC1R2R1RC1RC2RCCz01001kkkzzzz沿沿,1RC0100000000000)()()()(1111)()(11llllllzzzzzzzzzzzzzzzzz沿沿,2RC43 d)()(21)( d)()(21)()(00)1(0010

31、021lCllkCkkRRzfizzzfizzzf顺逆 d)()(21)(d)()(21)(d)()(21)(110011001100122kCkkkCkkkCkkRRRzfizzzfizzzfizz逆逆顺代入积分代入积分第二项中，令第二项中，令 k= -(l+1)，l= -(k+1)，则成为，则成为 顺时针逆时针逆时针12RRCC44kkkzzazf)()(0CkCkkzfzfaRd)()(i21d)()(i2110101把两部分合并起来有把两部分合并起来有(3.5.3)C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。闭合曲线。102|RzzR其中其

32、中洛朗级数45 关于关于洛朗洛朗级数展开的特别说明级数展开的特别说明（p45）(1)尽管上式中含有尽管上式中含有 (z-z0) 的负幂次项，而这些项的负幂次项，而这些项在在z=z0 点是奇异的，但点是奇异的，但 z0点可以是也可以不是点可以是也可以不是函数函数 f(z) 的奇点；的奇点； (2)尽管求展开系数尽管求展开系数ak 的公式与的公式与 Taylor 展开系数展开系数的积分公式形式一样，但的积分公式形式一样，但ak f(k)(z0)/k! ,不论不论z0是否是否 f(z)的奇点的奇点.若若z0 为为f(z)的奇点的奇点,则则f(k)(z0) 根根本不存在本不存在;若若 z0 不是不是f

33、(z)的奇点的奇点,则则f(k)(z0) 存在存在,但但仍是仍是ak f(k)(z0)/k! 。因为。因为 成立的条件是在以成立的条件是在以C为边界的区域上为边界的区域上 f(z) 解析，解析，而现在区域上有而现在区域上有 f(z)的奇点（若无奇点就无需的奇点（若无奇点就无需考虑洛朗考虑洛朗 展开了展开了）Ckkzfikzfd)()(2!)(100)(46洛朗洛朗 级数级数 展开也是唯一的。展开也是唯一的。因此可用各种方法求一个函数的洛朗展开。因此可用各种方法求一个函数的洛朗展开。(3)如果只有环心如果只有环心 z0 是是 f(z)的奇点，则内圆半的奇点，则内圆半 径可以无限小，径可以无限小，

34、 z 可以无限接近可以无限接近 z0 ,这时称这时称 （3.5.3）为）为f(z)在它的孤立奇点在它的孤立奇点 z0 邻域上的邻域上的 洛朗展开式。下节用以研究函数在其孤立洛朗展开式。下节用以研究函数在其孤立 奇点附近的性质。奇点附近的性质。47 例例1 在在z0=0 的邻域上将的邻域上将 f(z) =sinz/z展开展开)|(| ! 7! 5! 3! 1sin753zzzzzz)|(0 ! 7! 5! 3! 11sin642zzzzzz0)( 1sinlim 0)( sin)(0zzzzzzzfz重新定义重新定义z0=0时时 f(z)无定义，但无定义，但在挖去原点的环域中在挖去原点的环域中.

35、 1)(lim0zfz)|(| ! 7! 5! 3! 11)(642zzzzzf无负幂次项48|1z 111 11111111)(642022222zzzzzzzzzfkk例例2 在在 的环域上将的环域上将 f(z)=1/(z2-1) 展开展开解解f(z)的奇点不是展开中心的奇点不是展开中心 z=0，而是，而是z =1,-1。还是利用公式展开还是利用公式展开无限多负幂次项49例例3 在在 z0=1 的邻域将的邻域将 f(z)=1/(z2-1) 展开展开解：解：11211121) 1)(1(1)(zzzzzf 2)|1(| .21) 1(412/ ) 1(11412) 1(12111210zzz

36、zzkkk 2)| 1|(0 ) 1(2) 1(1121)(02zzzzfkkkk210 z其中其中于是于是f(z) 的奇点是的奇点是 z =1,-1，去心邻域去心邻域 ，(z-1) 的幂级数的幂级数出现-1次幂项50例例4 在在z0=0 的邻域将的邻域将 展开展开1/ze)(zf)|(| ! 2! 11e02zkzkzzzkkkz 1 1! 311! 211! 111e32/1zzzzz 0 )!(1e0/1zzkkkz解解无限多负幂次项51（三）求函数洛朗级数展开方法（三）求函数洛朗级数展开方法找出函数的奇点；找出函数的奇点；以展开中心为圆心，以奇点到展开中心的距离为以展开中心为圆心，以奇

37、点到展开中心的距离为半径作圆；半径作圆；这些圆把复平面化分为若干个展开区域，将函数这些圆把复平面化分为若干个展开区域，将函数在各个区域上分别展开。在各个区域上分别展开。（1 1）直接法：由定义求）直接法：由定义求. . 太繁杂，一般不用。太繁杂，一般不用。（2 2）间接法：）间接法： 借助一些常用函数的级数展开式，以唯一性为依据，借助一些常用函数的级数展开式，以唯一性为依据，运用幂级数的运用幂级数的性质、代数运算、求导和积分性质、代数运算、求导和积分等得到解等得到解析函数的洛朗展开式。具体步骤：析函数的洛朗展开式。具体步骤：52例例 以以 z=0 为中心将为中心将 函数函数 展开展开1z(1)

38、0100)211 ()2(21)21 (2111)(kkkkkkkzzzzzzf1121)2)(1(1)(zzzzzf解 在复平面中f(z) 仅有两个奇点：z=1和z=2，故在复平面中以z=0为中心，可以在以下三个区域进行展开。x21Oy(2)21 z0101)1(1)11 (1111kkkkzzzzzz0102)2(21)21 (12121kkkkkzzzz101121121)(kkkkkzzzzzf2z(3)0101)1(1)11 (1111kkkkzzzzzz0102)2(1)21 (1121kkkkkzzzzzz11121121)(kkkzzzzfx21Oy54本节作业：第本节作业：第

39、47页页（3，10，14）。）。553.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类在不同类型的奇点附近，函数具有不同的性质在不同类型的奇点附近，函数具有不同的性质. (一一) 孤立奇点的定义孤立奇点的定义若函数若函数 f(z) 在某点在某点 z0 不可导。而在不可导。而在 z0 的任意小的任意小邻域内除邻域内除z0 外处处可导，便称外处处可导，便称 z0 为为 f(z) 的的孤立孤立奇点奇点。若在。若在 z0 点的无论多么小的邻域内，总可点的无论多么小的邻域内，总可以找到除以找到除 z0 以外的不可导的点，便称以外的不可导的点，便称 z0 为为 f(z) 的的非孤立奇点非孤立奇点。例例1 z=0 是是

40、函数函数 f(z)=z(z-1)-1的孤立奇点，因为在以的孤立奇点，因为在以z=0 为圆心，为圆心， R1 的圆内，除的圆内，除 z=0 外，无其它不可导点。外，无其它不可导点。例例2 z=0 是函数是函数 sin(1/z)-1 的非孤立奇点，因为该函数的的非孤立奇点，因为该函数的 奇点为奇点为 zn=1/n , n=0,1, 2. ,只要只要 n 足够大，足够大， 1/n 可以任意接近于可以任意接近于 z=0, 即在即在 z=0 的无论多么小的邻域内，的无论多么小的邻域内，总可以找到函数的其它奇点。总可以找到函数的其它奇点。56(二二)孤立奇点的分类孤立奇点的分类设设z0 是单值函数是单值函

41、数 f(z) 的孤立奇点，则在的孤立奇点，则在 z0 的去心的去心邻域邻域 0|z-z0| R 上上, 可展成可展成 洛朗洛朗 级数：级数：正幂部分：正幂部分：解析部分解析部分，负幂部分：，负幂部分：主要部分主要部分kkkzzazf)()(0若展式不含负幂项：若展式不含负幂项：z0为为 f(z)的的可去奇点可去奇点若展式含有限个负幂项：若展式含有限个负幂项： z0 为为f(z)的的极点极点若展式含无限个负幂项：若展式含无限个负幂项： z0 为为f(z)的的本性奇点本性奇点,)()()(202010zzazzaazf（三）函数在孤立奇点邻域的性质（三）函数在孤立奇点邻域的性质1、可去奇点、可去奇

42、点570)(lim0azfzz)( )( )()(000zzazzzfzg,)()()(202010zzazzaazg有有定义定义则则为为Taylor 展开。例展开。例p45（sin z/z）,可去奇点今后将不可去奇点今后将不作为奇点看待作为奇点看待., )( )()( )()()(02020101010mkkkmmmmzzazzazzaazzazzazf2、极点、极点58,)(lim0zfzzm：极点的阶，一阶极点称单极点：极点的阶，一阶极点称单极点有有设设 z0 是是 f(z) 的极点，则当的极点，则当z0 满足满足以下三条中任一条以下三条中任一条时，均时，均为为 f(z) 的的m阶极点。

43、阶极点。mzzzzf)()()(0 ，其中(z) 在 中解析, (z0) 0 ； (z) =f(z)-1以 z=z0 为m阶零点；若(z)在z0点解析，且 (z0) =0 ，称z0点为(z)的零点；若(z0) = (z0)= =(m-1) (z0)=0 , (m) (z0) 0 , z0点称为(z)的m阶零点。 非零的有限值。0zz)()(lim00zfzzmzz59, )()(0kkkzzazf)(lim0zfzz3、本性奇点、本性奇点极限极限 与与 zz0 的方式有关，或称无极限。的方式有关，或称无极限。例例 z=0是函数是函数 e1/z 的本性奇点，在的本性奇点，在|z| 的环域内，的环

44、域内，其洛朗其洛朗 级数为级数为.1! 2111e21zzz当 (1) z 沿正实轴0 时，1/z , 故 e1/z ； (2) z 沿负实轴0 时，1/z , 故 e1/z ； (3) z 沿虚轴，按i/(2n)序列 0 时，e1/z 1。60（四）无穷远点（四）无穷远点1、无穷远点为孤立奇点的定义、无穷远点为孤立奇点的定义 设设f(z) 在在点的去心邻域点的去心邻域 解析，解析，则则点为点为f(z)的孤立奇点。的孤立奇点。其洛朗其洛朗 级数为级数为| zR)|( )(zRzazfkkk负幂部分为负幂部分为解析部分解析部分，正幂部分为，正幂部分为主要部分主要部分613）如果洛朗展开包含无限个正幂项，）如果洛朗展开包含无限个正幂项， z = 为为 f(z) 的本性奇点。当的本性奇点。当 z ， f(z)之值不定。之值不定。 0)(limazfz 1）如果）如果洛朗洛朗展开不含正幂项，展开不含正幂项，z = 为为 f(z) 的可去奇点；的可去奇点；2）如果）如果洛朗洛朗展开包含有限个正幂项，展开包含有限个正幂项， z = 为为f(z)的极点；的极点；)(limzfz2、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类