《圆与方程》教学设计-优秀教案.docx

1、年级高一教科书版本及章节人教版必修2单元（或主题）教学设计单元（或主题）名称圆的方程1. 单元（或主题）教学设计说明圆的教学在平面解析几何乃至整个中学数学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，又为后面的圆和圆的位置关系作了铺垫，对后面的解题及几何证明，将起到重要的作用。解决直线与圆的位置关系的思想、方法也为以后解决高考重点问题直线与圆锥曲线的位置关系问题提供思想、方法上的铺垫。一、教学内容分析圆的教学在平面解析几何乃至整个中学数学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用

2、，是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，又为后面的圆和圆的位置关系作了铺垫，对后面的解题及几何证明，将起到重要的作用。解决直线与圆的位置关系的思想、方法也为以后解决高考重点问题直线与圆锥曲线的位置关系问题提供思想、方法上的铺垫。二、学情分析学生在前面已经学习了直线与圆的知识，还有圆锥曲线的知识。能够解决一些基本题型，掌握了解析几何的一些常用的数学思想方法。但是因为间隔时间比较长，所以有些知识有些淡忘，特别对某些题型该注意的问题比较模糊。另外对知识的掌握上还是不够熟练，规律方法的总结上缺乏系统性。所以这节课主要是通过典型题目起到复习基本知识总结规律的作用，其实解析几何中圆与圆锥曲线的解题方法

3、有很多共性，在后面设置一个难度稍大，比较综合的题目，起到深化知识，统一方法的作用。三、设计思想课堂教学的中心是学生的学习活动，教学的根本任务是教学生学。本设计努力挖掘内容的本质和联系，充分考虑学生的学习基础和思维发展方向，力求教学过程的自然流畅。在教学方法上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式，力求灵活运用。在教学目标上，因为这是第一轮复习，所以注重基础和方法规律的总结。以突出解析思想为主，容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体，力求多元价值取向。2. 单元（或主题）学习目标与重点难点重点：直线和圆的三种位置关系的判断；难点：直线和圆的三种位置关系判定及运用；关键

4、点：将直线和圆的位置关系转化为点（圆心）到直线的距离d与半径r的大小关系。3. 单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）我设计的教学程序是：创设情景，激发兴趣讨论归纳，得出新知尝试练习，感知新知典例分析，应用新知归纳方法，知识升华课堂练习、体验成功师生归纳，形成体系分层作业，拓展提高1、知识与技能目标：（1）理解直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程及弦长； （2）善于利用“数形结合”思想和“等价转换”思想，把直线和圆的关系通过消元转化为一元二次方程，灵活使用判别式或韦达定理解决问题；（3）能充分利用圆的几何意义简化运算2、过程与方法目标：（1）通过理论与实际的联系，培养学生运用数型结合与方程的

5、思想解决问题的意识；（2）探索判断直线与圆的位置关系的过程，使学生参与教学实践。（3）通过变式训练和对开放性问题的探索，培养学生创新意识和创新能力。3、情感、态度与价值观：（1）让学生主动参与用坐标法探究直线和圆的位置关系的过程，使学生感受成功的喜悦；（2）通过学生的自主探究、小组合作、谈论，培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯。第1课时教学设计课题圆的方程课型新授课 1. 教学内容分析解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一

6、步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。2. 学习者分析上一章，学生已经学习了直线与方程。知道在直角坐标系中，直线可以用方程来表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系、

7、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题，并且对直线方程的学习结构及数形结合的思想有了初步的体会。本章将在上一章的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程。让学生自己去发现它们之间共同知识的结构（横向类比）是一大难点。如何在练习中让学生体会数形结合的思想也是我们考虑的重点。为了帮助学生克服这些学习困难，突破教学难点，教师在教学中要注意以下几点：第一，对例题1中三个参数的研究（代数问题），再把这些代数特征“翻译”成几何问题（圆心在坐标轴上，与坐标轴相切问题），让学生体会运用代数方法解决几何问题的思想，渗透数形结合的思想；第二，数形结合的思想应该贯穿在整个平面解析几何的教学过程中。对于例题2的教学，在

8、求出圆的方程的同时，还应该让学生画出这个三角形，并画出这个三角形的外接圆，这样做的目的是使得数形结合思想落到实处；第三，借助表格的整理与变式的学习，让学生感受知识的联系性，体会类比的思想，去发现知识间的共同结构。3. 学习目标确定（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；4. 学习重点难点重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程； （2）圆的标准方程的灵活应用；5. 学习评价设计通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研

9、究 几何问题的思想和步骤；通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；6.学习活动设计环节一：运用结构：一个图形（圆）的特征研究类比直线的研究直线圆定义平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。图形几何要素点+斜率（或：点+点）圆心+半径方程几 何特 征点斜式：两点式：标准方程圆心 半径代 数特 征一般式：（二元一次方程） 特殊研究过原点：斜截式：截距

10、式：垂直于轴：垂直于轴：圆心在原点：圆心在坐标轴上：或与轴相切：与轴相切：点圆与坐标轴都相切： 设计意图：表格式的复习回顾，旨在让学生复习学习直线方程的一般过程，而圆的方程的学习是直线方程学习的迁移与横向的类比；特殊方程的研究有助于帮助学生理解并掌握圆的标准方程，再把这些代数关系“翻译”成几何特征，渗透数形结合的思想。环节二：典例剖析特殊方程研究：（1），半径长等于的圆的方程：图形特征：（2），半径长等于的圆的方程：图形特征：（3），方程：图形特征：（4），半径长等于的圆的方程：图形特征：（5），半径长等于的圆的方程：图形特征：（6），半径长等于的圆的方程：图形特征：设计意图：特殊方程的研究有

11、助于帮助学生理解并掌握圆的标准方程，再把这些代数关系“翻译”成几何特征，渗透数形结合的思想。例1：写出圆心为A（2， 3），半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。问题：点在圆内的条件是什么？在圆外呢？几何特征代数特征应用点与圆点在圆内点在圆上点在圆外设计意图：在根据曲线与方程的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，教科书配置了例题1的教学，这样加深对圆的标准方程的理解。例2：ABC的三个顶点的坐标是A（5，1），B（7， 3），C（2， 8）求它的外接圆的方程，并画出图形。师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（

12、学生自己运算解决）设计意图：例2强调了待定系数法与几何性质法在求圆的方程中的应用，画出图形，把数形结合的思想落到实处。环节三：知识梳理1学生尝试整理知识点，教师与学生一起讨论形成如上的表格（由教师提供，把框架展示给学生）：条件圆经过A，B，C三点（点在圆上）方法选择待定系数法（代数法）作图法（几何法）过程剖析设圆的方程：解方程组：，思考（难点）：如何解此方程组？线段AB的垂直平分线：垂直：求直线的斜率平分：线段AB的中点为（6， 1）一般式方程：同理求得AC的垂直平分线：联立得圆心坐标，再求半径联系垂直平分线的定义：到线段两端点的距离相等的点的轨迹圆的方程中，两个方程相减后即得线段的垂直平分线

13、。设计意图：1.学生对知识的复习与整理的全程参与的过程有利于学生形成综合性的学习能力，这个过程非但不能由教师来替代，必须由学生自己，而且也只能由学生自己来完成。2小组讨论在学生独立整理的基础上，可以让学生在小组中交流，交流的形式可采取或者一个学生做主发言，其他学生补充和提问；或者每个学生各介绍一个知识点，小组中交流时最后要有记录。教师巡视各小组交流的情况，捕捉交流过程中的信息与问题。3全班交流将小组交流的情况汇总到全班，同样以其中一个小组为主做主发言，其他小组补充质疑。在这里，教师同样需要和学生互动，关键处的回应反馈相当重要，如怎样寻找知识之间的差异与联系，特点的表述是否确切，以及必要的点评与

14、提炼等。小组交流与全班讨论是非常重要的两个环节，可以集集体的智慧完成有一定难度的归纳整理，可以充分调动学生学习的积极性与主动性，学生在参与的过程中体会到学习的快乐，更可以培养学生的合作探究的能力。变式：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2， 2），且圆心在直线上，求圆心为C的圆的方程。师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。（教师板书解题过程。）设计意图：变式的教学旨在让学生体会用几何性质法求圆的方程，与例题2的待定系数法进

15、行对比，体会几何性质在求解圆的方程中的应用。环节四：课堂小结与作业课堂小结：请同学们讲一下这节课的收获：1梳理知识结构图的方法及感悟-特别注意归纳与类比；2典型例题的解决与学习感受到的解题直观经验与方法；布置作业：1导学案；（必做）2 课本P123页习题第3题。（选做）3 思考题： 通过今天的学习，你能自己能总结出求圆的方程有哪些方法的吗？这些方法有什么共同的步骤吗？ 设计意图：针对学生素质的差异进行分层进行训练，能使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，可以检查学生的收获情况；还可以更进一步培养学生的归纳总

16、结能力。7.板书设计标准方程方程圆心半径优点圆的方程课件8.作业与拓展学习设计1、求与x轴切于点（5，0），并在y轴上截得的弦长为10的圆的方程。2、经过点和点，且圆心在轴上。3、三条直线y=0，x=2，y=x围成一个三角形，其外接圆方程为 。4、已知圆内接正方形相对的两个顶点坐标分别是，求圆方程。5、已知半径为5的圆过点，且圆心在直线上，求圆方程。6、已知点在圆内部，求a的取值范围。9. 特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写）布鲁纳指出：“教学与其说使学生掌握学科的基本事实和技巧，不如说是教授和学习结构。”美国著名教育家、结构教学理论的代表人物杰罗姆布鲁姆说：“获得的知

17、识，如果没有圆满的结构把它联在一起，那是一种多半会遗忘的知识。”由于直线的方程、圆的方程在知识的学习上具有共同的结构（几何问题代数化，寻找几何图形满足的代数关系得到方程，再把代数关系“翻译”成几何问题），存在密切的联系性。居于以上考虑，我们采用结构教学法。10.教学反思与改进（1）学生在直线的方程一章中已经经历了研究解析几何问题的基本套路，此处是运用结构阶段，主要重心在于引导学生类比直线的研究，得出圆的相关性质，关键是让学生明确研究的基本套路，并可拓展到圆锥曲线的研究中。（2）在根据曲线与方程的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，教科书配置了例题1的教学，这样加深

18、对圆的标准方程的理解；有关“点与圆的位置关系”的应用，本节课不宜展开（此处仅作为知识的拓展而罗列出来），理由为：其一，若于该课时展开，则显然时间是不够的，本节课的重点是圆的方程（尤其是求圆的方程，即例2），而不是点与圆的位置关系；其二，点与圆位置关系的应用中有些知识涉及直线与圆的位置关系及应用，因此该内容于圆与圆的位置关系中加以研究会更加适合。（3）例2的研讨是本节的重点，应留有足够的时间来讲授，更应留足时间让学生独立探索，通过表格比较两种解法，更应引导学生观察它们的联系。变式作为例2的延伸，可以作为练习让学生来完成，重要的是要指导学生模仿例2的过程，若能应用表格解决效果会更好（此得也是运用结

19、构的典型例子）。第2课时教学设计课题直线、圆的位置关系方程课型新授课 6. 教学内容分析圆的教学在平面解析几何乃至整个中学数学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，又为后面的圆和圆的位置关系作了铺垫，对后面的解题及几何证明，将起到重要的作用。解决直线与圆的位置关系的思想、方法也为以后解决高考重点问题直线与圆锥曲线的位置关系问题提供思想、方法上的铺垫。7. 学习者分析学生在前面已经学习了直线与圆的知识，还有圆锥曲线的知识。能够解决一些基本题型，掌握了解析几何的一些常用的数学思想方法。但是因为间隔时间比较长，所以

20、有些知识有些淡忘，特别对某些题型该注意的问题比较模糊。另外对知识的掌握上还是不够熟练，规律方法的总结上缺乏系统性。所以这节课主要是通过典型题目起到复习基本知识总结规律的作用，其实解析几何中圆与圆锥曲线的解题方法有很多共性，在后面设置一个难度稍大，比较综合的题目，起到深化知识，统一方法的作用。8. 学习目标确定A知道直线和圆相交，相切，相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的位置关系；B能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。C掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题。9. 学习重点难点教学重点

21、：直线和圆位置关系的判断和应用教学难点：通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。10. 学习评价设计让学生通过观察，看图，分析，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的位置关系。此外，通过直线和圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和把几何形成的结论转化为代数方程的形式的思想。培养学生借助直观解决抽象问题的能力，也就是由数到形，有形到数；有直观到抽象、由抽象到直观的转化能力（数形结合的思想）。通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提

22、高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。6.学习活动设计教师活动学生活动环节一：问题情景 教师活动1问题1大海上初升的红日，冉冉升起中，展现着迷人的风采，同时也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，本节我们从方程的角度来探讨这三种位置关系师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课师：日出这一自然现象体现了直线与圆的哪几种位置关系？生：相交、相切、相离三种位置关系活动意图说明：让学生感受日出这个自然现象中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出

23、研究直线与圆的位置关系的重要意义环节二：揭示课题直线与圆的位置关系教师活动2问题2.在初中，我们学习过直线与圆的位置关系，即直线与圆相交，有两个公共点，直线于圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点，前面我们又学习了直线的方程和圆的方程，懂得了直线和圆可以用方程来表示，于是，我们就思考一个问题，能否用方程来刻画直线与圆的位置关系呢？如果有这样的可能，又该怎样来描述呢？学生活动2师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程可以展示下面的表格，使问题直观形象直线与圆的位置关系公共点个数与的关系图形相交两个相切一个相离没有活动意图说明：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之

24、间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解环节三：直线与圆位置关系的判断教的活动3问题3：方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗？问题4：这是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系请问用这种方法的一般步骤如何？学的活动34例题示范例1若直线4x3ya0与圆x2y2100：相交；相切；相离，试分别求实数a的取值范围（通过此例题让学生体会这种方法的解题步骤，进一步加深学生对这种方法的记忆。让学生充分体会几何法的直观性）。活动意图说明设计意图：引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验坐标法的思想方法设

25、计意图：对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想师生活动：教师引导学生分析归纳：（1）建立平面直角坐标系；（2）求出直线方程，圆心坐标与圆的半径；（3）求出圆心到直线的距离（4）比较与的大小，确定直线与圆的位置关系当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交环节四：位置关系的再研究教的活动4问题5：对于平面直角坐标系中的直线和，联立方程组，我们有如下一些结论：与相交，方程组有唯一解；与平行，方程组无；与平行，方程组有无穷组解 你能用类比的思想，研究直线与圆的位置关系吗？问题6：根据方程组是否有解来判断直线与圆的

26、位置关系的步骤如何？问题7：我们找到了解决直线与圆的位置关系的代数方法，你能用代数方法来解决例1吗？问题8：你能用我们学过的方法来解决以下变式吗？变式1：判断直线与例1中圆的位置关系变式2：若直线所过定点为（2，0），判断直线与例1中圆的位置关系变式3：若直线所过定点为，判断直线与例1中圆的位置关系学的活动4师生活动：教师提出问题，引导学生得出：联立方程组，我们有如下一些结论：圆与直线相切，方程组有唯一解；圆与直线相交，方程组有两组解；圆与直线相离，方程组有无解师生活动：教师引导学生分析、归纳：（1）将直线方程与圆方程联立成方程组；（2）通过消元，得到一个一元二次方程；（3）求出其判别式的值；

27、（4）判断的符号：若0，则直线与圆相交； 若0，则直线与圆相切；若0，则直线与圆相离练习. 已知圆的方程是,求过点 (-2,4)的圆的切线方程.活动意图说明1.让学生通过对两条直线的位置关系的研究过程，回顾坐标法思想的重要作用并通过类比，使学生获得用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法2.根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想3.体验平面几何与解析几何的各自解法平面几何可以定性刻画，解析几何可以精确刻画，体验坐标法的优越性4.通过变式1让学生体会两种方法各自的优点

28、，通过变式2让学生体会点与圆的位置关系不同，则直线与圆的位置关系不同，另外通过此题让学生体会再通过直线上一点来求直线方程时，先要判断一下直线与圆可能的位置关系。通过变式3让学生体会特殊位置的切线不要丢，也是对第二个变式的延伸。通过练习进一步强调解题格式，规范解题步骤。环节五：弦长问题及课堂小结教的活动5例2、已知过点M（-3，-3）的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程。问题9:判断直线与圆的位置关系有哪些方法?问题10:当直线与圆相交时,如何求弦长?教的活动5变式：过点的弦中最长弦和最短弦所在直线方程是什么？师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种

29、方法？它们的步骤是什么？活动意图说明1.直线与圆的位置关系，当他们相交时，学习弦长的求法2.巩固所学知识，培养学生归纳概括能力7.板书设计8.作业与拓展学习设计1.设，则圆与直线的位置关系_2.过点且与圆相切的直线方程是_3.求直线被圆截得的弦的长。4.求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程。5.求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程。10. 特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写）数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此在教学中，不仅要传授给学生知识，更重要的是要传授给学生数学思想、数学意识。基于本节课的特点：创设富有启发的学习情境，充分发挥计算机的直观形象的动态功能来展示直线和圆的位置关系，充分调动学生学习的积极性，使学生知识形成网路。10.教学反思与改进本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展；给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地，让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中，注意到培养学生合作交流的意识和能力。