2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

1、2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知集合A4，3，2，0，1，2，3，4，Bx|x29，则AB（）A0，1，2，3，4B3，2，1，0，1，2，3C2，1，0，1，2D（3，3）2（4分）复数z（1+i）（2+i）对应的点在复平面内的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（4分）函数f（x）的图像与函数ylog2x的图像关于y轴对称，则f（2）（）A2BC4D14（4分）若点M（1，1）为圆C：x2+y24x0的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）Axy20Bx+y

2、20Cxy0Dx+y05（4分）已知抛物线y28x，O为坐标原点，过其焦点的直线l与抛物线相交于A，且|AB|10，则AB中点M到y轴的距离为（）A2B3C5D66（4分）已知alog32，b20.1，则（）AcabBacbCcbaDabc7（4分）“角，的终边关于原点O对称”是“cos（）1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8（4分）已知D是边长为2的正ABC边BC上的动点，则的取值范围是（）ABC0，2D2，49（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2a2的切线，交双曲线右支于M，若，则C的渐近线方程为（）ABCy2xD

3、10（4分）新型冠状病毒肺炎（COVID19）严重影响了人类正常的经济与社会发展我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，疫情得到了有效控制人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，防患于未然已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数（i（t）表示自4月20日开始t（单位：天），i（t）的导数i（t）表示t时刻的新增病例数，根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（）A4月30日5月2日B5月3日5月5日C5月6日5月8日D5月9日5月11日二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）在（2x21）5的

4、展开式中，x4的系数为 （用数字作答）12（5分）下表记录了某地区一年之内的月降水量月份123456789101112月降水量/mm584853465656517156536466根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 ；80%分位数是 13（5分）在ABC中，AC2，则B ；D为BC的中点，则AD的长为 14（5分）请举出一个各项均为正数且公差不为0的等差数列an，使得它的前n项和Sn满足：数列也是等差数列，则an 15（5分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，且，PDAD，F，O分别是PA，BD的中点，给出下列四个结论：ACOE；FCPO；直线PO与底面ABCD所成角的正

5、弦值为；AEC面积的取值范围是其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共6小题，满分85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明）16（12分）已知函数，是函数f（x）的对称轴（x）在区间上单调（）从条件、条件、条件中选一个作为已知，使得f（x）的解析式存在；条件：函数f（x）的图像经过点；条件：是f（x）的对称中心；条件：是f（x）的对称中心（）根据（）中确定的f（x），求函数17（13分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约2.7万人参与赛会志愿服务赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开

6、发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务（）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？（）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望（）2.7万名志愿者中，1835岁人群占比达到95%，为了解志愿者对某一活动方案是否支持1835岁人群其它人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立将志愿者支持方案的概率估计值记为

7、p0，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小（结论不要求证明）18（15分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，D，P分别是BC，CC1的中点（）在侧棱BB1上作出点F，满足DF平面AB1P，并给出证明；（）求二面角B1APC1的余弦值及点B到平面AB1P的距离19（15分）已知f（x）ksinx+2x（）当k2时，判断函数f（x）零点的个数；（）求证：；（）若f（x）ln（x+1）在恒成立20（15分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，长轴的右端点为A（2，0）（）求C的方程；（）直线l：ykx+m与椭圆C分别相交于M，N两点，且AMAN，（

8、）试证明直线l过一定点，并求出此定点；（）从点A作ADMN垂足为D，点，写出|BD|的最小值（结论不要求证明）21（15分）素数又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数早在2000多年前，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果中国数学家陈景润证明了“1+2”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，但至今仍受到人们重视的问题最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出1934年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，具体构造的方法如下：A中位于第i行第j列的数记为aij，首项为3i+1且公差为2i+1的

9、等差数列的第j项恰好为aij，其中i1，2，；j1，2请同学们阅读以上材料，回答下列问题：（）求a53；（）证明：aijaji；（）证明：若s在A中，则2s+1不是素数；若s不在A中，则2s+1是素数2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知集合A4，3，2，0，1，2，3，4，Bx|x29，则AB（）A0，1，2，3，4B3，2，1，0，1，2，3C2，1，0，1，2D（3，3）【解答】解：Bx|3x3，AB6，1，0，5故选：C2（4分）复数z（1+i）（2

10、+i）对应的点在复平面内的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：z（1+i）（2+i）6i+2i15+i，复数z对应的点（3，1）故选：B3（4分）函数f（x）的图像与函数ylog2x的图像关于y轴对称，则f（2）（）A2BC4D1【解答】解：由函数f（x）的图像与函数ylog2x的图像关于y轴对称，可得f（x）log2（x），则f（8）log225，故选：D4（4分）若点M（1，1）为圆C：x2+y24x0的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）Axy20Bx+y20Cxy0Dx+y0【解答】解：圆x2+y26x0的圆心为C（2，2）根据题意：kCM1又kABkCM8，kAB

11、1，直线AB的方程是xy0故选：C5（4分）已知抛物线y28x，O为坐标原点，过其焦点的直线l与抛物线相交于A，且|AB|10，则AB中点M到y轴的距离为（）A2B3C5D6【解答】解：设A（x1，y1），B（x6，y2），根据抛物线定义，x1+x7+p10，y28x，可知p7，3，线段AB的中点P到y轴的距离为：3故选：B6（4分）已知alog32，b20.1，则（）AcabBacbCcbaDabc【解答】解：log8log35log337，a3，又b20.21，cab，故选：A7（4分）“角，的终边关于原点O对称”是“cos（）1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不

12、充分也不必要条件【解答】解：角，的终边关于原点O对称，kZcos（）cos（2k1）6，“角，的终边关于原点O对称”是“cos（）1”的充要条件，故选：C8（4分）已知D是边长为2的正ABC边BC上的动点，则的取值范围是（）ABC0，2D2，4【解答】解：如图：D在边长为2的正ABC边BC上的动点，D在AB上的射影为E，|，取得最大值4D在C时，取得最小值5，则的取值范围是2故选：D9（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2a2的切线，交双曲线右支于M，若，则C的渐近线方程为（）ABCy2xD【解答】解：如图所示，设 MF1 与圆相切于点 N，过 F2 作 F6PF

13、1M，故 ，又 ，则|MP|PF2|2a，则 ，由双曲线定义得 ，即 ，故渐近线方程为 ，故选：B10（4分）新型冠状病毒肺炎（COVID19）严重影响了人类正常的经济与社会发展我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，疫情得到了有效控制人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，防患于未然已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数（i（t）表示自4月20日开始t（单位：天），i（t）的导数i（t）表示t时刻的新增病例数，根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（）A4月30日5月2日B5月3日5月5日C5月6日5月8日D5

14、月9日5月11日【解答】解：该传染病在当地的传播模型为，求导可得，i（t），当且仅当，即，即0.6tln9，故该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为4月30日6月2日故选：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）在（2x21）5的展开式中，x4的系数为 40（用数字作答）【解答】解：（2x23）5的展开式中的通项为（1）7r2rC5rx2r，令2r4，解得r3，x4的系数为（1）422C3240，故答案为：4012（5分）下表记录了某地区一年之内的月降水量月份123456789101112月降水量/mm584853465656517156536466根

15、据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 56；80%分位数是 64【解答】解：把表中数据按照从小到大顺序排列为：46，48，53，56，56，64，71；计算中位数是（56+56）56；因为1280%4.6，所以80%分位数是第10个数据故答案为：56；6413（5分）在ABC中，AC2，则B；D为BC的中点，则AD的长为 【解答】解：因为在ABC中，AC2，由正弦定理，可得，因为ACAB，可得B为锐角，所以B，所以ABC，可得BCAC5，又D为BC的中点，可得CD1，所以在ADC中，由余弦定理可得AD故答案为：，14（5分）请举出一个各项均为正数且公差不为0的等差数列an，使得它的前n项和S

16、n满足：数列也是等差数列，则an2n1【解答】解：当an2n1时为等差数列，此时Snn2，则n也是等差数列故答案为：2n615（5分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，且，PDAD，F，O分别是PA，BD的中点，给出下列四个结论：ACOE；FCPO；直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为；AEC面积的取值范围是其中所有正确结论的序号是 【解答】解：由ACBD，ACPD 得AC平面PBD，因为OE平面PBD，所以ACOE计算可得，所以，不正确；由线面角定义知，POD就是直线PO与底面ABCD所成的角，；由ACPBD得，ACOE，PBOE时|OE|最小，故答案为：三、解答题（本大题

17、共6小题，满分85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明）16（12分）已知函数，是函数f（x）的对称轴（x）在区间上单调（）从条件、条件、条件中选一个作为已知，使得f（x）的解析式存在；条件：函数f（x）的图像经过点；条件：是f（x）的对称中心；条件：是f（x）的对称中心（）根据（）中确定的f（x），求函数【解答】解：（I）由题意，得+k+；在区间，2，选条件：sin，得4，可得f（x）sin（2x+），选条件：+m，可得，即7（mk）2，可得2，可得f（x）sin（8x+），选条件：，不满足（II）由（I）得f（x）sin（2x+），4x，8x+f（x）2，函数的值域为17（13分）第24届

18、冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约2.7万人参与赛会志愿服务赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务（）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？（）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望（）2.7万名志愿者中，18

19、35岁人群占比达到95%，为了解志愿者对某一活动方案是否支持1835岁人群其它人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立将志愿者支持方案的概率估计值记为p0，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小（结论不要求证明）【解答】解：（）由已知共12类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，故乙可被分配的志愿服务共11，所以乙被分配到场馆运行服务的概率为：（）由已知可得随机变量的可能取值为0，6，2，故，分布列如下：  0 1 2 P

20、   期望E（）7+1；（）由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，故p1p018（15分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，D，P分别是BC，CC1的中点（）在侧棱BB1上作出点F，满足DF平面AB1P，并给出证明；（）求二面角B1APC1的余弦值及点B到平面AB1P的距离【解答】解：（I）证明：设BB1的中点为E，BE的中点为F，则ECB1P，DFEC4P，DF平面AB1P，B1P平面AB7P，DF平面AB1P（II）设O是边AC的中点，Z是A1C8的中点，则OZ平面ABC，ABC为正三角形，所以

21、，OBAC，OC，建立如图所示坐标系OXYZ则，设平面AB8P的法向量为（x，y，所以，则，平面C4AP的法向量为，所以二面角B1APC1的余弦值为，又，设点B到平面AB5P的距离为d，则19（15分）已知f（x）ksinx+2x（）当k2时，判断函数f（x）零点的个数；（）求证：；（）若f（x）ln（x+1）在恒成立【解答】解：（）当k2时，f（x）2cosx+60，而f（0）0；证明：（）设g（x）7xsinxln（x+1），当时，g（x）2cosx，所以g（x）在，所以g（x）g（0）7，所以2xsinxln（x+1）5，即2xsinxln（x+1）（）当k3时，由（2）得f（x）sin

22、x+2xln（x+1）恒成立当k4时，设h（x）f（x）ln（x+1），h（x）ksinx+，所以h（x）在上单调递增，h（0，由零点的存在性定理得：存在，使得h（x0）4，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，所以h（x8）h（0）0不恒成立，所以k的最小值为120（15分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，长轴的右端点为A（2，0）（）求C的方程；（）直线l：ykx+m与椭圆C分别相交于M，N两点，且AMAN，（）试证明直线l过一定点，并求出此定点；（）从点A作ADMN垂足为D，点，写出|BD|的最小值（结论不要求证明）【解答】（）解：椭圆C：的离心率为，0），可得，解得，所以椭圆的标准方

23、程为（）证明：（）联立方程组，整理得（4k7+1）x2+7kmx+4m270，可得，设M（x1，y1），N（x8，y2），所以，因为AMAN，即，可得，所以5m2+16km+12k30，解得m2k或，当m2k时，直线方程为ykx3kk（x2），0）；当时，直线方程为，符合题意，综上可得，直线过定点（ii）由题意，从点A作ADMN垂足为D，点，如图所示，点D落在以AP为直径的圆上，半径为，则|O7B|2，所以|BD|的最小值为21（15分）素数又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数早在2000多年前，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果中国数学

24、家陈景润证明了“1+2”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，但至今仍受到人们重视的问题最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出1934年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，具体构造的方法如下：A中位于第i行第j列的数记为aij，首项为3i+1且公差为2i+1的等差数列的第j项恰好为aij，其中i1，2，；j1，2请同学们阅读以上材料，回答下列问题：（）求a53；（）证明：aijaji；（）证明：若s在A中，则2s+1不是素数；若s不在A中，则2s+1是素数【解答】解：（）根据题意：a5135+416，d25+411，a53a51+2d3

25、8证明：（）ai17i+1，公差d2i+4，aij3i+1+（8i+1）（j1）i+6ij+j，aj13j+8，公差d2j+1，aji7j+1+（2j+8）（i1）i+2ij+j，故aijaji证明：（）若s在A中，由（2）可知，jN*，使得si+5ij+j2s+13i+4ij+2j+4（2i+1）（7j+1），所以2s+3不是素数若s不在A中，反证法：假设2s+1为合数不妨令3s+1ab，这里a令a2p+4，b2q+1（其中p，则8s+1（2p+4）（2q+1）2（2pq+p+q）+1由（2）得A中数的通项公式aiji+2ij+j，可知s2pq+p+q在A中，这与已知矛盾，所以假设不成立第19页（共19页）