2022年北京市房山区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

1、2022年北京市房山区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知集合A2，1，0，1，222，则AB（）A2，1，0，1，2B1，0，1C2，2D0，12（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，1），则z（）A5B3C54iD34i3（4分）若ab0，且ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa2b2BCD4（4分）若的展开式中的常数项为20，则a（）A2B2C1D15（4分）已知M为抛物线x22py（p0）上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，则p（）AB1C2D46（4分）在等差数列an中，a35，则a1a

2、5（）AB9C10D257（4分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为（）A2600B2700C26D278（4分）已知函数f（x）2cos2（x+）1，则“”是“f（x）（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9（4分）已知直线l被圆C：x2+y22所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（）Ayx21B（x1）2+y21CDx2y2110（4分）已知U是非空数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种

3、真分拆A1A2；A1A2U；Ai（i1，2）的元素个数不是Ai中的元素则集合U1，2，3，4，5，6的真分拆的种数是（）A5B6C10D15二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）若双曲线的一条渐近线方程为，则a 12（5分）已知，是单位向量，+2，且，则 ；| 13（5分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x） ；若g（x）在区间0，m上的最小值为g（0） 14（5分）函数f（x）的图象在区间（0，2）上连续不断（x）在区间（0，2）上存在零点（0）f（2）0”为假命题的一个函数f（x）（x） 15（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1

4、D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动给出下列四个结论：D1OAC；存在一点P，D1OB1P；若D1OOP，则D1C1P面积的最大值为；若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，ABBCBB11（）求证：AC平面BA1C1；（）若ABBC，求：AA1与平面BA1C1所成角的正弦值；直线AC与平面BA1C1的距离17（14分）在ABC中，bsinAacosB（）求

5、B的大小；（）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC存在且唯一条件：；条件：；条件：AB边上的高为18（14分）良好的生态环境是最普惠的民生福祉北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，大气污染治理取得里程碑式突破下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177（）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（）从202

6、1年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X的分布列；（）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为2，空气质量污染天数的方差为2试判断2，2的大小关系（结论不要求证明）19（14分）已知函数f（x）（lnxa）ex（）当a0时，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（）若f（x）在区间（0，e存在极小值20（15分）已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为A（2，0），B（2，0）（）求椭圆C的方程；（）过点（1，0）的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点21（14分）若无穷数列an满足如下两个

7、条件，则称an为无界数列：an0（n1，2，3，）；对任意的正数，都存在正整数N，使得aN（）若an2n+1，bn2+cos（n）（n1，2，3，），判断数列an，bn是否是无界数列；（）若an2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切nk成立？若存在，求出k的范围；（）若数列an是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得2022年北京市房山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知集合A2，1，0，1，222，则AB（）A2，1，0，1，2B1，0，1C2，2D0，1【解答】解：，AB7，

8、0，1故选：B2（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，1），则z（）A5B3C54iD34i【解答】解：复数z对应的点的坐标为（2，1），故选：A3（4分）若ab0，且ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa2b2BCD【解答】解：对于A：当a2，b1时；对于B：，故，故B错误；对于C：由于ab0，所以；对于D：当a和b都为负值时，选项D错误故选：C4（4分）若的展开式中的常数项为20，则a（）A2B2C1D1【解答】解：展开式的常数项为CC，解得a1，故选：D5（4分）已知M为抛物线x22py（p0）上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，则p（）AB1C2D4【解答】解：由抛物线的方程

9、可得准线方程为：y，由题意可得73，故选：C6（4分）在等差数列an中，a35，则a1a5（）AB9C10D25【解答】解：在等差数列an中，由a35，得a5+a52a610，又，则a1a58故选：B7（4分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为（）A2600B2700C26D27【解答】解：因为鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼静止时，v0log3，则11100；当一条鲑鱼以5.5m/s的速度游动时，v1.2log5，所以log33，则27，因此鲑鱼以3.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量

10、的比值为27故选：D8（4分）已知函数f（x）2cos2（x+）1，则“”是“f（x）（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，函数f（x）2cos2（x+）6cos（2x+2），若，则f（x）cos（2x+，是奇函数，反之，若f（x）为奇函数+2k+k，故“”是“f（x）为奇函数”充要条件，故选：C9（4分）已知直线l被圆C：x2+y22所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（）Ayx21B（x1）2+y21CDx2y21【解答】解：直线l被圆C：x2+y25所截的弦长不小于2，原点到直线的距离小于等于1，直线上有一点

11、到原点的距离小于等于2，在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上，l与椭圆一定有公共点故选：C10（4分）已知U是非空数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆A1A2；A1A2U；Ai（i1，2）的元素个数不是Ai中的元素则集合U1，2，3，4，5，6的真分拆的种数是（）A5B6C10D15【解答】解：由题意，集合U1，2，2，4，5A35，A23，2，3，6，6；A12，4，A23，3，5，7；A13，6，A21，3，5，6；A34，5，A81，2，4，6；A16，6，A26，2，3，2，

12、故选：A二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）若双曲线的一条渐近线方程为，则a2【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，可得a2故答案为：812（5分）已知，是单位向量，+2，且，则；|【解答】解：+2，且，（）2+500，|故答案为：；13（5分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）sin（2x）；若g（x）在区间0，m上的最小值为g（0）【解答】解：（1）函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）sin（6x；（2）由于函数g（0），该函数在0，m上的最小值为g（0），故，即m的最大值为故答案为：sin（2

13、x）；14（5分）函数f（x）的图象在区间（0，2）上连续不断（x）在区间（0，2）上存在零点（0）f（2）0”为假命题的一个函数f（x）（x）（x1）2，（答案不唯一）【解答】解：函数f（x）（x1）2在5，2上连续不断，但f（0）f（2）0不成立，则满足条件的f（x）可以是f（x）（x3）2，故答案为：f（x）（x1）4，（答案不唯一）15（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动给出下列四个结论：D1OAC；存在一点P，D1OB1P；若D1OOP，则D1C1P面积的最大值为；若P到直线D1C1的距离与到点B的

14、距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分其中所有正确结论的序号是 【解答】解：对于，连接AD1，CD1，由正方体的性质知三角形ACD2为等边三角形，由于O为底面ABCD的中心，故ACD1O，正确；对于，将 D1O 进行平移到过B3点，使之与 B1P 具有公共顶点，根据立体图形判断1H平行或重合于B6P，所以D1O不可能平行于B1H，错误；对于取B7B的中点E，连接OE，BD，D1E，证明DlO平面OEC，所以P在线段EC上运动时，C1P最大，此时D5C1P面积最大为：所以正确对于，P到直线D1C1的距离为线段PC2的长度，所以|PC1|PB|，判定出P点位置为直线BC1的垂直平分线，故错误故正确的

15、序号是：故答案为：三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，ABBCBB11（）求证：AC平面BA1C1；（）若ABBC，求：AA1与平面BA1C1所成角的正弦值；直线AC与平面BA1C1的距离【解答】解：（）证明：在三棱柱ABCA1B1C2中，AA1CC1，且AA4CC1，四边形AA1C8C是平行四边形，ACA1C1，AC平面BA6C1，A1C5平面BA1C1，AC平面BA8C1；（）ABBC，BB1平面ABC，ABBCBB51，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴1所成直线为y轴，以BC所在直线为

16、z轴，A（7，0，0），A4（1，1，2），0，0），C4（0，1，5），（0，3，0），8，0），8，1），设平面BA1C3的法向量（x，y，则，取x1，得，2，设AA1与平面BA1C3所成角为，则AA1与平面BA1C7所成角的正弦值为：sinAC平面BA1C1，平面BA4C1的法向量（1，4），直线AC与平面BA1C1的距离d17（14分）在ABC中，bsinAacosB（）求B的大小；（）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC存在且唯一条件：；条件：；条件：AB边上的高为【解答】解：（）由正弦定理，及bsinAacosB，得sinAsinBsinAcosB，因为sinA0，所以

17、tanB1，因为6B180，所以B45（）若选择条件，ABC存在且唯一由cosA，及8A135，由正弦定理及b，得，解得a，由A+B+C180，得C15，可得sinCsin15sin（4530）sin45cos30cos45sin30，所以SABCabsinC若选择条件，ABC存在且唯一由cosA，及0A135，因为AB边上的高为，所以b，由正弦定理及b，得，解得a以下与选择条件相同若选择条件，ABC不唯一b，因为AB边上的高为，因为A（8，可得A或18（14分）良好的生态环境是最普惠的民生福祉北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年

18、，经过全市共同努力，大气污染治理取得里程碑式突破下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177（）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X的分布列；（）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为2，空气质量污染天数的方差为2试判断2，2的大小关系（结论不要求

19、证明）【解答】解：（）记事件A为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”，由统计数据可知；（）X的所有可能取值为0，6，2，3，方法5：记事件B为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”，事件C为“从5月任选1天，这一天空气质量优良”，事件D为“从9月任选8天，这一天空气质量优良”，由题意知，事件B，C，且，所以，所以X的分布列为： X 0 7 2 3 P    方法2：，所以X的分布列为： X 0 1 5 3 P &nb

20、sp;  （）19（14分）已知函数f（x）（lnxa）ex（）当a0时，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（）若f（x）在区间（0，e存在极小值【解答】解：（）a0时，f（x）exlnx，则f（x）ex（lnx+），则f（1）7，f（1）e，故切线方程是：yexe；（）f（x）ex（lnx+a），令f（x）0，得alnx+，令g（x）lnx+，x（0，则g（x），令g（x）0，解得：x2，令g（x）0，解得：0x5，故g（x）在（0，1）递减，e递增，而g（1）8，g（e）1+，故a（7，1+，方程alnx+，此时f（x）在区间（0，e存在极小值，故a的取值范围是（1，

21、4+）20（15分）已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为A（2，0），B（2，0）（）求椭圆C的方程；（）过点（1，0）的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点【解答】解：（1）由长轴的两个端点分别为A（2，0），6），由离心率为，可得，又a7b2+c2，解得b7，所以椭圆C的标准方程为；（2）设直线l的方程为xmy+1，由得（m2+2）y2+2my60，设M（x1，y5），N（x2，y2），则，所以，直线AM的方程为，所以，所以，即kNBkBQ，所以N、B、Q三点共线21（14分）若无穷数列an满足如下两个条件，则称an为无界数列：an0（n1，2，3，）；对任意的正数，都存在正

22、整数N，使得aN（）若an2n+1，bn2+cos（n）（n1，2，3，），判断数列an，bn是否是无界数列；（）若an2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切nk成立？若存在，求出k的范围；（）若数列an是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得【解答】解：（1）an是无界数列，理由如下：对任意的正整数，取N为大于，有，所以an是无界数列bn不是无界数列，理由如下：取3，显然bn2+cos（n）7，不存在正整数NN3，所以bn不是无界数列（2）当n1时，不成立当n2时，不成立，当n6时，不成立，当n4时，将，变形为：即取k4，对于一切nk，有（3）因为数列an是单调递增的无界数列，所以an0，a4a2anan+1所以即，因为an是无界数列，取2a8，由定义知存在正整数N1，使所以由定义可知an是无穷数列，考察数列，同上理由可知存在正整数N2，使得，故存在正整数N2，使得，故存在正整数mN2，使得成立第17页（共17页）