2022年北京市石景山区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

1、2022年北京市石景山区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）设全集UxR|x1，集合AxR*|x23，则UA（）A1，）B1，C（，+）D，+）2（4分）复数z满足（1+i）z1i，则z（）AiBiC1D13（4分）从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下（）ABCD4（4分）设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l5（4分）已知圆C：（x3）2+y29，过点（1，2）的直线l与圆C交于A，则弦AB长度的最小值为（

2、）A1B2C3D46（4分）函数的图象大致为（）ABCD7（4分）在等差数列an中，a3+a6+a936，设数列an的前n项和为Sn，则S11（）A12B99C132D1988（4分）在ABC中，sin2AsinBsinC，若，则B的大小是（）ABCD9（4分）“m4”是“2x2mx+10在x（1，+）上恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（4分）设A，B为抛物线C：yx2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F，分别以A，两条切线交于点P则下列结论：点P一定在抛物线C的准线上；PFAB；PAB的面积有最大值无最小值其中，正确结论的个数是（）A

3、0B1C2D3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）函数f（x）的定义域是 12（5分）在的展开式中，x5的系数是 .（用数字填写答案）13（5分）正项数列an满足anan+2an+12，nN*若a59，a2a41，则a2的值为 14（5分）设点F1，F2分别为椭圆C：1的左，右焦点，若使得m成立的点恰好是4个 15（5分）已知非空集合A，B满足：ABR，AB对于下列结论：不存在非空集合对（A，B），使得f（x）为偶函数；存在唯一非空集合对（A，B），使得f（x）为奇函数；存在无穷多非空集合对（A，B），使得方程f（x）0无解其中正确结论的序号为 三、解答题共6小题，共85分。

4、解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程。16（13分）已知函数f（x）msin（x+）（m0，0）只能同时满足下列三个条件中的两个：函数f（x）的最大值为2；函数f（x）的图象可由ysin（2x）；函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）；（2）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，af（A），求ABC面积的最大值17（13分）某学校高中三个年级共有300名学生，为调査他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间（单位：小时）：高一年级77.588.59高二年级78910111213高三年级66.

5、578.51113.51718.5（1）试估计该校高三年级的学生人数；（2）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率：（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，9，10（单位：小时），表格中的数据平均数记为，试判断与（结论不要求证明）18（14分）如图1，在平面四边形PDCB中，PDBC，PAABBC1，AD，使得平面SAB平面ABCD，如图2所示（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BCl；（2）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合），使得二面角QBDC的余

6、弦值为，请说明理由19（15分）设函数f（x）x2+mln（x+1）（mR）（1）若m1，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；当x（1，+）时，求证：f（x）x3（2）若函数f（x）在区间（0，1）上存在唯一零点20（15分）已知椭圆C：1（ab0）的短轴长等于2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，判断是否为定值21（15分）若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”（1）已知数列an为4，3，1，2，数列bn为1，2，6，24，分别判断an，bn是否为“等比源数列”，并说明理由；（2）已知数列cn的通

7、项公式为cn2n1+1，判断cn是否为“等比源数列”，并说明理由；（3）已知数列dn为单调递增的等差数列，且d10，dnZ（nN*），求证dn为“等比源数列”2022年北京市石景山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）设全集UxR|x1，集合AxR*|x23，则UA（）A1，）B1，C（，+）D，+）【解答】解：全集UxR|x1，集合AxR*|x26x|x，则UAx|1x1，）故选：A2（4分）复数z满足（1+i）z1i，则z（）AiBiC1D1【解答】解：（1+i）z1i，i故选：A3（4分

8、）从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下（）ABCD【解答】解：设事件Ai为第i次抽到偶数，i1，2，则P（A3），P（A1），在第1次抽到偶数的条件下，第7次抽到奇数的概率为：P（|A1）故选：D4（4分）设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l【解答】解：设l是直线，是两个不同的平面，对于A，若l，则与相交或平行；对于B，若l，则由面面垂直的判定定理得；对于C，若，则l与平行或l；对于D，若，则l与相交，故D正确故选：B5（4分）已知圆C：（x3）2+y29，过点（1，2）的直线l与圆C交于

9、A，则弦AB长度的最小值为（）A1B2C3D4【解答】解：设点（1，2）为D点，圆C：（x4）2+y23，圆心C（3，0），当直线DC垂直于直线l时，弦AB最短，|DC|AB|min故选：B6（4分）函数的图象大致为（）ABCD【解答】解：函数的定义域为x|x0，当x3时，f（x）（）x；当x3时，f（x）（）x则f（x）在（8，+）单调递减，0）单调递增，故选：D7（4分）在等差数列an中，a3+a6+a936，设数列an的前n项和为Sn，则S11（）A12B99C132D198【解答】解：a3+a6+a236，3a636，解得a412，11a8132故选：C8（4分）在ABC中，sin2A

10、sinBsinC，若，则B的大小是（）ABCD【解答】解：在ABC中，sin2AsinBsinC，cosAcos（B+C）cosBcosC+sinBsinCcosBcosC+sin5AcosBcosC+，cosBcosC，sinBsinC，cos（BC）cosBcosC+sinBsinC8，即BC0，BC，故选：C9（4分）“m4”是“2x2mx+10在x（1，+）上恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：“2x2mx+70在x（1，+）上恒成立”，则m在x（5，又g（x）在x（5，则g（x）3，即m3，又“m4”是“m3”的必要不充分条件，即

11、m4”是“4x2mx+17在x（1，+）上恒成立”的必要不充分条件，故选：B10（4分）设A，B为抛物线C：yx2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F，分别以A，两条切线交于点P则下列结论：点P一定在抛物线C的准线上；PFAB；PAB的面积有最大值无最小值其中，正确结论的个数是（）A0B1C2D3【解答】解：由抛物线知焦点F（0，），可设直线AB的方程为ykx+3，y1），B（x2，y5），联立直线与抛物线方程得x2kx01+x6k，x1x2，y1+y6k2+，y1y2，切线AP的方程为yy12x4（xx1），化简得y+y16x1x，同理切线BP的方程为y+y25x2x，联立解得P（，

12、），故正确；kPFPFk1，故正确；SPAB|AB|d2+1），当k0时，SPAB有最小值，无最大值故选：C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）函数f（x）的定义域是 （1，+）【解答】解：根据题意，由，得x1，所以函数f（x）的定义域为（1，故答案为：（2，+），12（5分）在的展开式中，x5的系数是 35.（用数字填写答案）【解答】解：的展开式中的通项公式为Tr+1，令214r3，解得r4，即x5的系数是35，故答案为：3513（5分）正项数列an满足anan+2an+12，nN*若a59，a2a41，则a2的值为 【解答】解：，an是等比数列，设an公比为q，且q2，由

13、a59，a5a41得，故答案为：14（5分）设点F1，F2分别为椭圆C：1的左，右焦点，若使得m成立的点恰好是4个0（答案不唯一）【解答】解：当m0时，则，由椭圆方程可知，a24，b61，c22，因为cb，所以以F1F2为直径的圆与椭圆有7个交点，使得成立的点恰好有4个故答案为：0（答案不唯一）15（5分）已知非空集合A，B满足：ABR，AB对于下列结论：不存在非空集合对（A，B），使得f（x）为偶函数；存在唯一非空集合对（A，B），使得f（x）为奇函数；存在无穷多非空集合对（A，B），使得方程f（x）0无解其中正确结论的序号为 【解答】解：若xA，xA3，f（x）x3，f（x）f（x），若x

14、B，xB，f（x）3x2，若xA，xB3，f（x）2x2，f（x）f（x），若xB，xA，f（x）x3，f（x）f（x），综上不存在非空集合对（A，B）；若x53x2，则x6或x2，当B1，ARB时，f（1）612满足当x4时x31，所以f（x）可统一为f（x）x3，此时f（x）x3f（x）为奇函数，当B2，ARB时，f（3）3（2）88满足当x2时x38，所以f（x）可统一为f（x）x3，此时f（x）x4f（x）为奇函数，所以存在非空集合对（A，B），且不唯一；x30解的x3，3x24解的，当非空集合对（A，B）满足6A且，又因为ABR，AB，B），故答案为：三、解答题共6小题，共85分。解

15、答应写出文字说明，演算步稆或证明过程。16（13分）已知函数f（x）msin（x+）（m0，0）只能同时满足下列三个条件中的两个：函数f（x）的最大值为2；函数f（x）的图象可由ysin（2x）；函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）；（2）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，af（A），求ABC面积的最大值【解答】解：（1）对于函数f（x）msin（x+）（m0，函数f（x）的图象可由ysin（2x；函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为故4，所以f（x），（2）在ABC中，内角A，B，b，c，A，所以af（）

16、，利用余弦定理：a2b5+c22bccosAb6+c2bcbc，整理得，故（1）同时选函数f（x）的最大值为2；函数f（x）的图象可由y）的图象平移得到出现矛盾；（1）同时选函数f（x）的最大值为6；函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，整理得m2，1，故函数f（x）7sin（x+）；（2）在ABC中，内角A，B，b，c，A，af（A）；利用余弦定理：a2b2+c26bccosAb2+c2bcbc，整理得bc7，故；17（13分）某学校高中三个年级共有300名学生，为调査他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间（单位：小时）：高一年级77.588.59高二

17、年级78910111213高三年级66.578.51113.51718.5（1）试估计该校高三年级的学生人数；（2）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率：（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，9，10（单位：小时），表格中的数据平均数记为，试判断与（结论不要求证明）【解答】解：（1）抽出的20名学生中，来自高三的有8名，根据分层抽样方法，估计高二的学生人数为：300120（人）（2）设事件Ai表示“高一年级的第i名学生”，i5，2，3，6，5，事件j表示“乙是高二年级的

18、第j名学生”，j1，3，3，4，8，6，7，由题意P（Ai），P（j），P（Aij）P（Ai）P（j），设事件M表示“该周甲的课后学习时间大于乙的课后学习时间”，由题意P（M）P（A6C1）+P（A3C8）+P（ A4C1）+P（A8C1）+P（A4C8）+P（A5C2）7，该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为：P（）4P（M）（3）6，11，三组总平均值3.9，加入的三个数8，6，10的平均数为9，比小，18（14分）如图1，在平面四边形PDCB中，PDBC，PAABBC1，AD，使得平面SAB平面ABCD，如图2所示（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BCl；（2

19、）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合），使得二面角QBDC的余弦值为，请说明理由【解答】（1）证明：延长BA，CD相交于点E，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l证明如下：由平面SAB平面ABCD，BAAD，且平面SAB平面ABCDAB，所以AD平面SAB，又由ADBC，所以BC平面SAB，因为SE平面SAB，所以BCSE（2）解：由（1）知：SAAB，ADAB，以A为坐标原点，以AD，AS所在的直线分别为x轴，如图所示，可得，则，设（其中41），1），设平面QBD的法向量为，则，令x2，可得，又由SA平面BDC，所以平面BDC的一个法向量为，则，解得，所以存在点Q为SC的中点时，

20、使得二面角QBDC的余弦值为19（15分）设函数f（x）x2+mln（x+1）（mR）（1）若m1，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；当x（1，+）时，求证：f（x）x3（2）若函数f（x）在区间（0，1）上存在唯一零点【解答】解：（1）当m1时，f（x）x2ln（x+5），f（0）2，f（0）0，可得曲线f（x）在（0，f（0）处的切线方程y41（x1）；证明：令h（x）f（x）x7x3+x2ln（x+7），则，当x（1，+），h（x）在（8，又因为h（1）ln20，所以h（x）62ln（x+1）x6，即f（x）x3，即当x（1，+）时5；（2）由函数f（x）x2+mln（x+1

21、），x（3，可得，令g（x）2x2+5x+m（x（0，1），当m2时，g（x）0，f（x）在（0，因为f（0）5，所以f（x）f（0）0，所以在区间（0，8）上没有零点，当m0时，g（x）2x2+2x+m的图像开口向上，且对称轴为，由g（1）2+2+m2，解得m4，当m4时，g（x）4在区间（0，即f（x）0，f（x）在区间（6，因为f（0）0，所以函数f（x）在区间（0，3）上没有零点，综上可得4m0，设x7（0，1）使得g（x8）0，当x（0，x7）时，g（x）0，f（x）单调递减，当x（x0，5）时，g（x）0，f（x）单调递增，因为f（0）0，要使得函数f（x）在区间（8，则满足f（1

22、）1+mln（1+4）0，解得，所以实数m的取值范围为20（15分）已知椭圆C：1（ab0）的短轴长等于2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，判断是否为定值【解答】解：（1）由椭圆C：C：1（ab2）的短轴长等于2，可得，解得a3，b，所以椭圆的方程为5；（2）由椭圆的方程1，7），联立方程组，整理得（4k2+7）x28k2x+4k2125，设A（x1，y1），B（x8，y2）可得x1+x3，x6x2，设AB的中点为Q，所以xQ，则yQk（xQ4），即Q（，），则中垂线的方程为y），令y8，可得x，即P（，2），所以|PF|1|，又由|AB|x

23、1x7|，所以（定值）21（15分）若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”（1）已知数列an为4，3，1，2，数列bn为1，2，6，24，分别判断an，bn是否为“等比源数列”，并说明理由；（2）已知数列cn的通项公式为cn2n1+1，判断cn是否为“等比源数列”，并说明理由；（3）已知数列dn为单调递增的等差数列，且d10，dnZ（nN*），求证dn为“等比源数列”【解答】解：（1）an是“等比源数列”，bn不是“等比源数列”an中“1，2，5”构成等比数列n是“等比源数列”；bn中“1，2，3“，2，24”，6，24”，2，6，所以bn不是“等比源数列”

24、（2）cn不是“等比源数列”假设cn是“等比源数列”，因为cn是单调递增数列，即cn中存在的cm，cn，ck（mnk）三项成等比数列，也就是n3+1）2（3m1+1）（6k1+1），52n2+6n2mk2+4m1+2k5，两边时除以2m1得52nm1+6nm+12k8+1+2km，等式左边42nm1+8nm+1为偶数，等式右边2k4+1+2km为奇数所以数列cn中不存在三项按一定次序排列构成等比数列综上可得cn不是“等比源数列”（3）证明：因为等差数列dn单调递增，所以d3因为dnZ则d1，且dZn中必有一项dm0为了使得dn为“等比源数列”，只需要dn中存在第n项，第k项（mnk），使得成立，即，即（nm）2dm+（nm）ddm（km）成立当ndm+m，k2dm+（nm）d+m时，上式成立n中存在dm，dn，dk成等比数列所以，数列dn为“等比源数列“第20页（共20页）