第十讲：定积分的应用9题课件.ppt

1、第十讲第十讲 定积分的应用定积分的应用1 几何应用几何应用例例1 (练习十七练习十七/七七)cxbxay 2一抛物线一抛物线 过过(0, 0),(1, 2)两点两点, 且且 a 0, 求求 a, b, c 使抛物线与使抛物线与 x 轴围成轴围成图形的面积最小图形的面积最小解解抛物线过抛物线过 ( 0 , 0 ) 点点 c = 0 抛物线过抛物线过 ( 1 , 2 ) 点点 a + b = 2 xaaxy)( 22 与与 x 轴的交点轴的交点:aaxx2021 , aadxxaaxS2022)(aaxaaxa202323 )(2362aa)( )()()( 426124 aaaaaS 驻点驻点

2、a = 4 当当 a 4 时时 , ,0 )( aS当当 4 a 0 时时 ,0 )( aS a = 4 是是 S(a) 的极小值点的极小值点 , 且为且为 S(a) 在在 a 0 上上 唯一的唯一的极值点极值点 a = 4 是是 S(a) 的最小值点的最小值点 当当 a = 4 , b = 6 , c = 0 时时, S(a) 最小最小 例例2 曲线曲线 与与 x 轴在第一象限内所围图形轴在第一象限内所围图形使直线使直线 OM 将将 D 分为面积相等的两块分为面积相等的两块 242cos r记为记为 D, 试在曲线试在曲线 上求一点上求一点 M , 242cos r解解 设设 为曲线上的一点

3、为曲线上的一点 , 则则),(00 rM xy0M1S2S 002121 drS)( 002421 dcos02 sin 由条件知由条件知 SS211 2120 sin 120 32640 cos r) , ( 1232 MD 的面积的面积: 40221 drS)(1242140 dcos例例3 (练习十七练习十七/十四十四)23xy 由曲线由曲线 , 直线直线 x = 2及及x 轴围成的图形记为轴围成的图形记为 D(1) 求求 D绕绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积轴旋转所得的旋转体的体积.(2) 求求 D 绕直线绕直线 x = 3 旋转所得的旋转体的体积旋转所得的旋转体的体积.(3) 求以求

4、以D为底且每个与为底且每个与x轴垂直的截面均为等边轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积三角形的立体的体积.解解xy03212(1)求求 D绕绕 y 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积: 1202212dyxV)( 12034dyy)( 24 2xy0312dxx x(2) D 绕直线绕直线 x = 3 旋转所得的旋转体的体积旋转所得的旋转体的体积:dxxxdV22332 )( 243322020222 dxxxdVV)(3) 以以 D为底且与为底且与 x 轴垂直的截面均为等边轴垂直的截面均为等边三角形的平行截面面积为三角形的平行截面面积为42234933321xxxxS sin)(

5、3572439202043 dxxdxxSV)(2 物理应用物理应用例例4 由抛物线由抛物线 绕绕 y 轴旋转一周构成轴旋转一周构成问要将水全部抽出问要将水全部抽出 , 外力需作功多少外力需作功多少 ?2H一旋转抛物面一旋转抛物面, 高为高为H. 现于其中盛水现于其中盛水, 水高水高 , 224xy xy ,解解设水的比重为设水的比重为 , 建立坐标系建立坐标系 0 xy2xy 24xy H2Hydyy 抽掉抽掉 y , y+dy这层水所作的功这层水所作的功)(yHgdmdw dyyydVdm)(4 dyyHygdw)( 43将水全部抽出所作的功将水全部抽出所作的功:3202016143Hgd

6、yyHygdwwHH )(例例5 一质量为一质量为 m , 长度为长度为 l 的均匀质线的均匀质线, 在数轴在数轴 x 的的的作用下的作用下,自点自点 x=3l 运动到点运动到点 x=2l, 求引力所做的功求引力所做的功.区间区间 0, l 上上, 另一质量为另一质量为m 0 的质点在此质线引力的的质点在此质线引力的解解 建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示lx0l 2l 3设当质点设当质点 m0 在在 x 处时处时 , 质线对质点的引力为质线对质点的引力为 F(x)x0mdm 对对 m0 的引力为的引力为dmtxxl0l 3l 20m2020)()(txmdtlmktxmdmkdF 2000

7、)()(txdtlkmmdFxFll )(lxxlkmm 110 lllldxlxxlkmmdww2302311)(引力所做的功引力所做的功340lnlkmm dxlxxlkmmdxxFdw)()( 110例例6 设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为位于水下位于水下 c 处，求观察窗所受的水压力处，求观察窗所受的水压力a，b 的椭圆。短轴为其上沿，上沿与水面平行且的椭圆。短轴为其上沿，上沿与水面平行且解解 建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示0yx12222 byaxabcdxx xx , x+dx 上对应小块所受的上对应小块所受的水压力水压力y

8、dxcxgdP2 )( dxxaabcxg222 )( 观察窗所受的水压力观察窗所受的水压力: aadxxaabcxgdPP02202)( adxxacxagb0222)( taxsin )(cos)sin(3422220acgabtdttacgab 2 广义积分问题广义积分问题方法方法: (1) 利用定义利用定义(2) 凑微分法凑微分法(4) 分部积分法分部积分法(3) 换元法换元法例例7 (练习十八练习十八/一一(1) 032xdexx计算计算解解)( 022032221xdexdxexxx2xt tdtet 021)(tetd 021)(tdetett 0021tdet 02121210

9、 te例例8 (练习十八练习十八/四四)11122 xdxaxaxbx)(求正数求正数 a，b，使，使 1122111dxxaxabdxaxxabxx)()(解解111 )ln)ln()(xaxab又又ln)ln()(limxaxabx 1ln)ln()(ln(limxxaxabx 11)ln()(ln)(limxaabxabx 11存在存在, 0 ab即即ab 此时有此时有111 )ln()(aabea 1 1 ea 1 eb 1 eba 已知已知 试证明，试证明，例例9 (练习十八练习十八/五五),sin20 xdxx xdxxk 210 sin)(其中其中 k为正的常数为正的常数 )sin( )(2202 dxxx(1) 0dxxkxsin kxt 01dtkkttsin 20 dtttsin (2) 利用分部积分法有利用分部积分法有 02dxxx )sin( 02022dxxxxxxxxxxx sincos)sin()sin( 0222dxxxxxx sincossin 0022dxxxdxxx ) sin(sin22200 dxxxdxxxsin ) sin( 2