1、4.1.2 幂函数的性质与图像幂函数的性质与图像4.2.1 指数函数的图像与性质指数函数的图像与性质我国古代庄子我国古代庄子天下篇天下篇记载有这样记载有这样一段话：一尺之棰，日取其半，万一段话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。世不竭。 引入引入1( )2xy引入引入池塘里的荷叶占水面面积每天增一倍，池塘里的荷叶占水面面积每天增一倍，10天后天后刚好长满整个池塘。长了（刚好长满整个池塘。长了（）天后，荷叶的）天后，荷叶的面积刚好占池塘面积的八分之一。面积刚好占池塘面积的八分之一。分析：分析：设原来荷叶占水面面积是设原来荷叶占水面面积是1个单位个单位1天后天后122天后天后2210天后天后10210
2、2128x7天数天数x与面积与面积y的函数关系的函数关系的解析式是的解析式是2 ,1,10 xyxxZ且自变量自变量x是指数是指数(exponent)底数底数(base)是常数是常数xR一、无理指数的幂一、无理指数的幂思考思考 是一个怎样的数？是一个怎样的数？231.4, 1.41, 1.414,1.5, 1.42, 1.415,2的不足近似的不足近似2的过剩近似的过剩近似1.411.4141.421.4151.41.521.53经过计算发现经过计算发现1.431.4131.4231.41531.414323一般地，一般地，时，时，总是有意义的总是有意义的.0a ,xaxR二、实数指数的运算法
3、则二、实数指数的运算法则,0, ,a bx yR时，时，x yaxyaaxya()xya()xa bxxab例例2x1( )2x1(2 )x2(2 )x22x4x32x322x8 2x 23xx (2 3)x6x三、指数函数的定义三、指数函数的定义一般地，函数一般地，函数叫做叫做,xyaxR是常数，是常数，.0,1aa指数函数指数函数exponentialfunction例例都是指数函数都是指数函数.12 ,3 ,( ) ,2xxxyyy其中其中a思考思考 常数常数的范围的限定的必要性？的范围的限定的必要性？a,(0,1)xyaaa是否为指数函数？是否为指数函数？23:3.xyaaaaex是指
4、数函数，求问题 ：函数xy32是指数函数吗？xa指数函数的解析式y=中，xa的系数是1.有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 xay)1a,0(且a因为它可以化为 xay1) 11, 01(aa且有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如kayx(01,)aakz且三、指数函数的定义三、指数函数的定义下列函数是否是指数函数：(1)0.2xy(2)xy(3)( 2)xy (4)3xy(5)1xy练习：练习：答案：答案：（1） ，（，（2），）， （4）是指数函数。）是指数函数。12)6(xy例例1.完成下列表格，并描点作图完成下列表格，并描点作图.2101233xy2xy 3xy 1( )2x
5、y 2xy x2 1 01212124191339xy3 xy1( )2 1411121424从单调性，取值范围等方面描述下你所作的图像从单调性，取值范围等方面描述下你所作的图像三、指数函数的图像与性质三、指数函数的图像与性质1xyOxyaxya(2)定义域为定义域为，(0,1)必过点必过点1a 时，在时，在上是上是增增函数；函数；01a时，在时，在上是上是减减函数函数.(01)a(1)a (1)(3)R值域为值域为(0,)RR2xy3xy (4)y轴右，底数越大，图像越高轴右，底数越大，图像越高y轴左，底数越大，图像越低轴左，底数越大，图像越低xya与与1( )xya的图像的图像关于关于 轴
6、对称轴对称.y(5)例例2.利用指数函数的性质，比较大小利用指数函数的性质，比较大小.(1)与与321.732(2)与与0.50.60.60.6(3)与与0.81.52xy 是是上的增函数，且上的增函数，且R31.7331.73220.6xy 是是上的减函数，且上的减函数，且R0.50.6 0.50.60.60.60.801.51.511.20,0.80.81(1)解：解：(2)解：解：(3)解：解： 51,2,:xaf xaf mf nm nex则大小关系如何？2 . 18 . 01.28 . 00.85 . 1ex2 ex2 将下列各数从小到大排列起来将下列各数从小到大排列起来: :121
7、1033322336535273( )( )( )( )( )3 , , , , , (-2)1121033323562353732( )( )( )( )( )3(-2)1211233333011111333222323332322673553353355( ) ,( )( )( )( )1( )01( ) ,( )( )( )( )03大于1的数: 且等于 的数: 到 的数: 且小于 的数: (-2)解：解：例例3.求下列函数的定义域、值域，单调区间求下列函数的定义域、值域，单调区间11(1)0.4xy51(2)3xy(3)21xy 11)4(xxee( )1xf xa,(0,1)aa(5
8、)例例4.根据函数根据函数的图像，作的图像，作的大致图像的大致图像.13 ,3xxyy3xy 2101233xy3xy 3xy13xy3xy 13xy范围。求有两个不等实根，方程aax13例例5.利用指数函数利用指数函数的大小。的大小。10 xy 的图像，估算的图像，估算3400p87，3二、指数函数图像与性质二、指数函数图像与性质小结：小结：一一、指数函数定义，与幂函数区别、指数函数定义，与幂函数区别三、会画指数函数相关图像，并解决相关三、会画指数函数相关图像，并解决相关问题，如比较大小，讨论方程解问题，如比较大小，讨论方程解、估算、估算e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为有时称它为欧拉数欧拉数（Eulernumber），以），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字字纳皮尔常数纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家，以纪念苏格兰数学家约约翰翰纳皮尔纳皮尔(JohnNapier)引进对数。它就像引进对数。它就像圆周率圆周率和虚数单位和虚数单位i，e是数学中最重要的是数学中最重要的常数之一。常数之一。10ie
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