高中数学-数列与类比-等差数列与等比数列的区别与联系课件.ppt

1、-等差数列与等比数列的区别与联系等差数列与等比数列的区别与联系数列与类比个别到一般的推广类比个别到一般的推广类比某种特性的推广类比某种特性的推广类比低维到高维的类比低维到高维的类比方法上的类比方法上的类比类比：类比：是依据两个或两类对象之间存在着是依据两个或两类对象之间存在着某些相同或相某些相同或相似的属性似的属性，推出他们还存在其他，推出他们还存在其他相同或相似的属性相同或相似的属性的思的思维方法。比较是类比的基础，类比是比较的发展。维方法。比较是类比的基础，类比是比较的发展。（1）类比模式类比模式1 1S S对象具有属性对象具有属性a a、b b、c c、d dS S*对象具有属性对象具有

2、属性a a 、b b 、c c a a 、b b 、c c 分别与分别与a a、b b、c c相同或相似相同或相似S S*对象可能具有属性对象可能具有属性d d （2）类比模式类比模式2 2 A A类似于类似于B B B B能用方法能用方法M M解决解决A A可能也可用方法可能也可用方法M M解决解决一、等差数列与等比数列的类比一、等差数列与等比数列的类比1.等差数列与等比数列在形式上的“类比”定义的类似：运算符号的类比：定义中的“差”与“比”改动一下即可互推定义.“加号”与“乘号”的互换；“倍乘”与“乘方”的互换，通项公式及相关性质可互推.2.等差数列与等比数列在解题思想方法上的“类比”等差

3、数列与等比数列在“求和”与“求积”可以互换推导.等距的部分和构成的新数列的类比.等差数列与等比数列的区别与联系等差数列与等比数列的区别与联系类比方法类比方法: (1)差差商商（2）和）和积积（3）倍数）倍数指数指数an+1-an=dan-am=(n-m)dan+1/an=qan/am=qn-m等差（比）中项等差（比）中项定义定义2b=a+c2an=am-n + am+n a1+an=a2+ an-1= ak+ an-k mn=pqam an=ap aq距首末两项等距的距首末两项等距的和和相等相等b2=ac an2=am-n am+n a1 an=a2 an-1= ak an-k mn=pqam

4、 an=ap aq距首末两项等距的距首末两项等距的积积相等相等通项公式通项公式an=a1+(n-1)d(叠代法、叠加法）叠代法、叠加法）an=a1 qn-1 (叠代法、叠乘法）叠代法、叠乘法）an=am+(n-m)dan=am qn-mam /an=ap /aq公差（比）公差（比）d=11naan=mnaamnq=11)(nnaa=mnmnaa)(an am0,+号号; an am0,递增；d=0,不增不减；d 0q 1或a1 00 q 1递增；a1 1或a1 00 q 1递减；q=1或q 0，不增不减.a1 、d、n、an、Sn五个量中，知3求2。 a1 、d、n为基本量a1 、q、n、an

5、、Sn五个量中，知3求2。 a1 、q、n为基本量性质推广性质推广 am=a ,bn=b ,m n,am+n=mnmanbam=a ,bn=b ,m n,am+n=mnmnab1(）am=a ,bn=b ,am+n=0;sm=sn,sm+n=0sm=n ,sn=msm+n= -(m+n)n=2k+1,S奇-S偶=ak+1(中项）；偶奇kkSS1;1212mmmmSSba1212) 12() 12(mnnmSmSnban=2k,S奇-S偶=kd;.1kkaaSS偶奇奇偶偶奇或qSSqSS ,若an、bn是等差数列，则pan+mbn,man, akn-an,kanb,akn+b ,仍成等差数列.k

6、na 若an、bn是等比数列，则panmbn,can,an-1,ank,|an|,akn+b, 仍成等比数列.而lgpank成等差数列.若an是等差数列，则 ， ， 成等比数列.kna nknaa naC rpanC nnrbpaC 二、例题二、例题例1.在等差数列an中，若a10=0,则有等式a1+ a2+ a3+ an= a1+ a2+ a3+ + a19-n(n19, n N)成立。类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b9=1,则有等式 成立。（上海2000年高考试题）思路分析：先从题设中找到等差数列an的性质： am +an=ap + aq，其中，其中m+n=p+q，因为，因为a

7、10=0,所以a1+a9=a2+ a8= a4+ a6= a10=0,所以当n=10时， a1+ a2+ + a9 + a10= 0，而a1+ a2+ a3+ + a19-n= a1+ a2+ + a9 + a10= 0；以此类比，等比数列bn中，若b9=1,利用等比数列的性质bm bn=bp bq,其中其中m+n=p+q，可推出所求等式。，可推出所求等式。解1如上分析知，等比数列bn中，若b9=1,由等比数列的性质：bm bn=bp bq,其中其中m+n=p+q，有，有b1b8= b2b7= = b9=1.所以有所以有b1b2b3 b8b9= （b1 b8)(b2b7)b9=1. b1b2b

8、3 b17-9= b1b2b3 b8 = （b1 b8)(b2b7)(b3 b6)(b4b5) =1.通过类比所求等式是通过类比所求等式是b1b2b3 bn= b1b2b3 b17-n . b1b2b3 bn= b1b2b3 b17-n 解2 运用类比推理，对于等差数列an和等比数列bn： 诸ai之和诸bi之积; 由an+0= an 与bn1= bn ,有a10=0 b9=1,于是 210-1=19 2 9-1=17. 故应填 b1b2b3 bn= b1b2b3 b17-n .练习练习1.在等差数列an中，若a20=0,则有等式a1+ a2+ a3+ an= a1+ a2+ a3+ + a39

9、-n(n38, n N)成立。类比上述性质，相应地在等比数列bn中，若b10=1,则有等式 成立. b1b2b3 bn= b1b2b3 b19-n b1b2b3 bn= b1b2b3 b2N-n在等差数列an中，若a10=0,则有等式a1+ a2+ a3+ an= a1+ a2+ a3+ + a19-n(n19, n N)成立。类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若bN=1,则有等式 成立.在等差数列an中，若a10=0,则有等式a1+ a2+ a3+ an= a1+ a2+ a3+ + a19-n(n9),s,t为常数为常数. 求证：求证： a1+ a2+ a3+ an=20n (s+t

10、)（2）类比上述性质，相应地写出正数）类比上述性质，相应地写出正数等比数列等比数列bn中一中一个类似的真命题，并加以证明。个类似的真命题，并加以证明。练习练习3.在等差数列an中, 公差为d，Sn、S2n- Sn 、S3n- S2n，成 数列， 其公差为 .在等比数列bn中, 公比为q，Sn、S2n- Sn 、S3n- S2n，成 数列， 其公比为 .在等差数列an 中，当ar=as ,(sr)时， an 必定是常数数列。然而在等比数列 an中，对某些正整数s、r，(sr)当ar=as 时，非常数数列an的一个例子是_. (04上海春季高考）练习练习4.练习练习5.设f(x)= 利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(-5）+ f(-4）+ + f(0）+ f(5）+ f(6）的值为 .221x已知已知 函数，那么函数，那么221)(xxxf41)4(31)3(21)2() 1 (fffffff练习练习6.