2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（理科）（3月份）（学生版+解析版）.docx

1、2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Ax|（x+1）（x1）0，By|y0RB）（）AB0，1）C（1，0）D（1，02（5分）已知双曲线1的一条渐近线过点（2，1），则此双曲线的离心率为（）ABCD3（5分）若复数z满足z（1+i）2i1（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）Az的虚部为iB|z|Cz+3Dz在复平面内对应的点在第二象限4（5分）设a0，b0，则“9a+b4”是“ab（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要

2、条件5（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）Af（x）ln（1+cosx2）Bf（x）xln（1cosx2）Cf（x）ln（1+sinx2）Df（x）xln（1sinx2）6（5分）为了得到函数ysin（2x+）的图象，可以将函数ycos（2x+）（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位7（5分）已知（ax+）6（a0）的展开式中含x2的系数为60，则（ax）6的展开式中的常数项为（）A160B160C80D808（5分）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将ACD绕AC

3、边旋转的过程中（）ACDABBBCADCBDABDBCCD9（5分）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足E（）0（）102PabAD（）BD（|）CD（2+1）DD（3|2）10（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为（k0）的直线，与椭圆交于A，满足|AF|2|FB|，则实数k的值为（）A1BCD211（5分）对任意的x1，x2（1，2，当x1x2时，x2x1+ln0恒成立（）A（2，+）B2，+）C（4，+）D4，+）12（5分）设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn（nN*），则下列说法正确的是（）Aa2021a20221Ba2021a20221Ca20222Da20222二、填空

4、题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，BCt，使得EC1ED，则实数t的取值范围是 14（5分）平面向量，满足：|1，|3，设向量，则sin的最大值为 15（5分）已知实数a，b满足2a+2b+14a+4b，则t2a+2b的取值范围是 16（5分）电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排 种三、解答题：本题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在ABC中，角

5、A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2（1）求角B的大小；（2）若ABC是锐角三角形，求ABC面积的取值范围18（12分）已知数列an满足a11，且a1a2a3ann（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，且数列bn的前n项和为Sn，若Sn3（n+2）恒成立，求的取值范围19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ABC120，PB1（1）求证：平面PBD平面PAC；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小20（12分）已知实数x，y满足x2+（exy）2+e2y2（1）若x0时，试问上述关于y的方程有几个实根？（2）证明：使方程x2+（exy）

6、+e2y2有解的必要条件为：2x021（12分）如图所示，已知抛物线E：y22px，其焦点与准线的距离为6，过点M（4，0）1，l2与E相交，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，BC的斜率为k1，k2（1）求抛物线E的方程；（2）问是否为定值？如是，请求出此定值，请说明理由（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号.（10分）选修：坐标系与参数方程22（10分）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位（t为参数，0），曲线C的极坐标方程为cos28sin（1）

7、求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时选修：不等式选讲23设函数f（x）x2x+2（1）若|f（x）x2+4x+4|3，求x的取值范围；（2）若|xa|2，求证：|f（x）f（a）2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Ax|（x+1）（x1）0，By|y0RB）（）AB0，1）C（1，0）D（1，0【解答】解：集合Ax|（x+1）（x1）2x|1x1，By|y2，RBy|y0，则A（RB）x|1x6故

8、选：D2（5分）已知双曲线1的一条渐近线过点（2，1），则此双曲线的离心率为（）ABCD【解答】解：双曲线1的一条渐近线axby8过点（2，可得b2a，双曲线的离心率为e故选：C3（5分）若复数z满足z（1+i）2i1（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）Az的虚部为iB|z|Cz+3Dz在复平面内对应的点在第二象限【解答】解：z（1+i）2i3，z，z的虚部为，故选项A错误，|z|，故选项B正确，z+（）3，z在复平面内对应的点为（，），在第一象限，故选：B4（5分）设a0，b0，则“9a+b4”是“ab（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：当9a

9、+b4时，a4，b06，64，充分性成立，当a10，b时，但9a+b6，9a+b4是ab的充分不必要条件，故选：A5（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）Af（x）ln（1+cosx2）Bf（x）xln（1cosx2）Cf（x）ln（1+sinx2）Df（x）xln（1sinx2）【解答】解：由已知图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数，对于A，由f（x）ln（1+cosx2）为偶函数，故A错误；对于C，由f（x）ln（4+sinx2）为偶函数，故C错误；对于B，由f（x）xln（1cosx3）为奇函数，且f（1）ln（1cos1）2）0）不存在；对于D，由f（x）

10、xln（1sinx2）为奇函数，且f（1）ln（3sin1）0）不存在）0，故B错误，D正确故选：D6（5分）为了得到函数ysin（2x+）的图象，可以将函数ycos（2x+）（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【解答】解：将函数ycos（2x+）sin（2x+，向右平移个单位+）sin（2x+，故选：B7（5分）已知（ax+）6（a0）的展开式中含x2的系数为60，则（ax）6的展开式中的常数项为（）A160B160C80D80【解答】解：（ax+）6（a2）的展开式的通项Tr+1a6rC4rx62r，令22r2，得r3所以（ax+）6（a5）的展开式中含x2

11、的系数为a2C7460，解得a2，所以（ax）6的展开式通项Tk+1（8）k26kC4kx62k，令62k0，得k8，所以（ax）6的展开式中的常数项为（3）323C63160故选：A8（5分）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将ACD绕AC边旋转的过程中（）ACDABBBCADCBDABDBCCD【解答】解：设ABBC1，则AC，AD，若CDAB，又ABBC，则ABBD，故A可能成立；若BCAD，又ADCD，则ADBD，AB为直角三角形ABD的斜边，而ABAD；若BDAB，则ABAD；若BCCD，则BD为直角三角形BCD的

12、斜边，故D可能成立故选：B9（5分）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足E（）0（）102PabAD（）BD（|）CD（2+1）DD（3|2）【解答】解：依题意，解得，的分布列为：142PD（）（26）21，D（5+1）4D（）3，|的分布列为：|106PE（|），D（|）+，D（3|7）9D（|）5方差值中最大的是D（6|2）故选：D10（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为（k0）的直线，与椭圆交于A，满足|AF|2|FB|，则实数k的值为（）A1BCD2【解答】解：椭圆C：+1（ab7）的离心率为，a73c2，b82c2，设直线方程为，则与椭圆2x2+7y26c2，联立可得，设A

13、（x8，y1），B（x2，y5），不妨设y1y2，|AF|3|FB|，y12y4，将y12y7 代入可得，从而22，k3，故选：B11（5分）对任意的x1，x2（1，2，当x1x2时，x2x1+ln0恒成立（）A（2，+）B2，+）C（4，+）D4，+）【解答】解：由题得x2x1+（lnx2lnx1）3，所以x2lnx8x1lnx3，因为x1x2，所以函数f（x）xlnx在（1，所以f（x）10在（1.5恒成立，所以a2x在（1，6恒成立，实数a的取值范围是4，+）故选：D12（5分）设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn（nN*），则下列说法正确的是（）Aa2021a20221Ba

14、2021a20221Ca20222Da20222【解答】解：数列an的前n项和为Sn，满足2Sn（nN*），当n1时，解得a16；当n2时，整理得（常数）；所以数列是以1为首项；故；故或；故（首项符合通项），所以；或；所以，故C；，或；或故A正确，B错误故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，BCt，使得EC1ED，则实数t的取值范围是 （0，1【解答】解：因为C1C平面ABCD，ED平面ABCD1CED，由EC8ED，EC1C1CC4，可得ED平面ECC1，所以EDEC，在矩形ABCD中，设AEa，则BE2a，由DE

15、A+CEB90，可得tanDEAtanCEB，即t2a（8a）（a1）2+6，当a1时，t2取得最大值6，即t的最大值为1；当a0或8时，t2取得最小值0，但由于t2，所以t的取值范围是（0故答案为：（0，514（5分）平面向量，满足：|1，|3，设向量，则sin的最大值为 【解答】解：，故，cos0，由已知有，当59cos25时，此时，当49cos50时，则关于，其中52cos2165，解得，当时，此时46cos20，故方程必有正根，此时，当时，45cos20，记的两根为x1，x2，则2，此时方程有两个正根，此时，所以sin的最大值为，故答案为：15（5分）已知实数a，b满足2a+2b+14

16、a+4b，则t2a+2b的取值范围是 （1，【解答】解：令x2a，y2b（x5，y0）2+y8，tx+y，则（x）2+（y1）2，则点（x，y）在以（，为半径的圆上的第一象限的部分，如图，设圆（x）2+（y2）2与x轴交于A，当y0时，x1，6），当x0时，y2，7），当直线tx+y过A（1，0）时，t7，当直线tx+y与圆（x）5+（y1）2相切于第一象限时，则，解得t（舍），t5a+2b的取值范围是（1，故答案为：（1，16（5分）电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排720种【解答】解：先列举出恰有两个连续的空座位的情况有30种，再对再对甲、乙、丙、

17、丁四位全排列有，故甲、乙、丙、丁四位同学坐在同一排故答案为：720三、解答题：本题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2（1）求角B的大小；（2）若ABC是锐角三角形，求ABC面积的取值范围【解答】解：（1）由余弦定理知，cosC，整理得，4a5+c2ac，所以cosB，因为B（0，）（2）由正弦定理知，即，所以asinAsinC，所以acsinAsinAsin（sinA（sinA）（2A）（sin2

18、A）+，因为ABC是锐角三角形，所以，解得A（，）（，），所以sin（2A）（，所以ac（，4，所以ABC面积SacsinB（，故ABC面积的取值范围为（，18（12分）已知数列an满足a11，且a1a2a3ann（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，且数列bn的前n项和为Sn，若Sn3（n+2）恒成立，求的取值范围【解答】（1）解：数列an满足a11，且，当n3时，有a1a2an7an1n1，两式作商，可得，又由a14，得（2）解：当n2时，当n4时，所以对任意的nN*，均有，则，可得，两式相减可得，求得，由Sn8（n+2），可得，令，则，因为g（n）0，所以g（n+1）g（n

19、），g（n）减小，所以g（n）maxg（1），即的取值范围是，+）19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ABC120，PB1（1）求证：平面PBD平面PAC；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小【解答】解：（1）证明：平面PAB平面ABCD，面PAB面ABCDAB，PB面PAB，PB平面ABCD，AC面ABCD，ACPB，由菱形性质知ACBD，PBBDB，AC平面PBD，又AC平面PAC，平面PBD平面PAC（2）如图，设CD的中点为E，BECEBEAB，平面PAB平面ABCD，面PAB面ABCDAB，BE平面ABCD，BE面PAB，又PBAB，所以

20、BE，AB两两互相垂直，所以以点B为坐标原点，以直线BA、BE为x、y，如图所示建立空间直角坐标系，可得，设平面PAD的一个法向量为（x，y，而，由，得，取，得，设平面PBC的一个法向量为（a，b，且，由，得，取，得，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为，则，所以60，故平面PAD与平面PBC所成锐二面角为6020（12分）已知实数x，y满足x2+（exy）2+e2y2（1）若x0时，试问上述关于y的方程有几个实根？（2）证明：使方程x2+（exy）+e2y2有解的必要条件为：2x0【解答】解：（1）将x0代入，得（1y）4+e2y2，不妨记f（y）y42y1+e4y，f（y）2y2+8e2

21、y，f（y）4e4y+20，f（y）在R上递增，当y8时，f（y）0，f（y）0，f（y）在（，7）单调递减，+）单调递增，f（y）f（0）0，x0时（2）证明：先证明exx+8，令g（x）ex（x+1），则g（x）ex1，当x4时，g（x）0，当x0时，g（x）6，g（x）g（0）0，exx+1恒成立由（exy）72（exy）2+8（exy1）22，得（exy）22（exy）3，2x2+（exy）6+e2yx2+8（exy）1+1+3yx3+2exx4+2（1+x），x7+2x0，6x021（12分）如图所示，已知抛物线E：y22px，其焦点与准线的距离为6，过点M（4，0）1，l2与E相交

22、，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，BC的斜率为k1，k2（1）求抛物线E的方程；（2）问是否为定值？如是，请求出此定值，请说明理由【解答】解：（1）抛物线E：y22px，可得焦点坐标F（，准线方程为x，由焦点与准线的距离为p6，则抛物线E的方程为y412x；（2）设A（3，6t1），B（2t22，2t2），C（3t32，6t3），D（3t47，6t4），因为k5，同理k2，所以，由lAD：y2t1（x3），0）代入可得：t3t41，又由lAB：y7t1（x3），0）代入可得：t6t2，同理：t3t4，由可得：t4，t2，t2，代入，可得，所以为定值（二

23、）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号.（10分）选修：坐标系与参数方程22（10分）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位（t为参数，0），曲线C的极坐标方程为cos28sin（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为cos28sin，根据38y；（2）把直线l的参数方程为（t为参数），代入方程x28y；得到cos5t28sint162，整理得，故，当0时，最小值为8选修：不等式选讲23设函数f（x）x2x+2（1）若|f（x）x2+4x+4|3，求x的取值范围；（2）若|xa|2，求证：|f（x）f（a）【解答】解：（1）函数f（x）x2x+2，代入|f（x）x4+4x+4|2，可得|3x+6|5，解得x3或x1，故x的取值范围为x|x7或x1（2）证明：|xa|2，|f（x）f（a）|x3x+2（a2a+5）|x2a2（xa）|（xa）（x+a6）|2|x+a1|8|（xa）+（2a1）|8（|xa|+|2a1|）6+2|2a4|4+2（|7a|+1）6+3|a|，当且仅当|2a1|2a|+1，等号成立第19页（共19页）