2022年山东省菏泽市高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

1、2022年山东省菏泽市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集UxN|2x4，A0，2，则UA为（）A1，3B0，1，3C1，1，3D1，0，1，32（5分）复数z3+i，则z(z+i)=（）A10B7+6iC9+3iD11+3i3（5分）（ax）（2+x）6的展开式中x5的系数是12，则实数a的值为（）A4B5C6D74（5分）如图1，在高为h的直三棱柱容器ABCA1B1C1中，ABAC2，ABAC现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面

2、恰好为A1B1C（如图2），则容器的高h为（）A3B4C42D65（5分）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A0.75B0.7C0.56D0.386（5分）对于函数f(x)=(sinx+cosx)2+3cos2x，有下列结论：最小正周期为；最大值为3；减区间为12+k，712+k（kZ）；对称中心为（-6+k，0）（kZ）则上述结论正确的个数是（）A1B2C3D47（5分）已知两条直线l1：2x3y+20

3、，l2：3x2y+30，有一动圆（圆心和半径都在变动）与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（）A（y1）2x265Bx2（y1）265Cy2（x+1）265D（x+1）2y2658（5分）已知等比数列an各项均为正数，且满足：0a11，a17a18+1a17+a182，记Tna1a2an，则使得Tn1的最小正数n为（）A36B35C34D33二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分（多选）9（5分）某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识

4、、扶技术、扶方法”的号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年借阅数据如表：年份20162017201820192020年份代码x12345年借阅量y（万册）4.95.15.55.75.8根据上表，可得y关于x的经验回归方程为y=0.24x+a，下列结论正确的有（）Aa=4.68B借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7Cy与x的线性相关系数r0D2021年的借阅量一定不少于6.12万册（多选）10（5分）设抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的有（）A准线l的方程是y2B以线段MF为直径的圆与y轴相

5、切C|ME|+|MF|的最小值为5D|ME|MF|的最大值为2（多选）11（5分）下列结论正确的有（）A若lna2lnb2，则2|a|2|b|B若|a|a2|b|b2，则2a2bC若bae（其中e为自然对数的底数），则abbaD若02ab3a2，则sinasinb2（多选）12（5分）对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史古希腊数学家阿基米德（公元前287公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：227我国数学家祖冲之（430501）得出近似值355113，后来人们发现|-355113|10-6，这是一个“令人吃惊的好结果”随着科技的发展，计算的方法越来越多已知3.14159265358979

6、3238462643383279502，定义f（n）（nN）的值为的小数点后第n个位置上的数字，如f（1）1，f（4）5，规定f（0）3记f1（n）f（n），fk+1（n）fk（f（n）（kN*），集合Ak为函数fk（n）（nN）的值域，则以下结论正确的有（）AA10，1，2，3，4，5，6，7，8，9BA31，2，3，4，5，6，9C对kN*，1AkD对kN*，Ak中至少有两个元素三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线y=x-12x+3在点（1，2）处的切线方程为 14（5分）如图，在四面体ABCD中，ABD和BCD都是等腰直角三角形，AB=2，BADCBD=2，平面

7、ABD平面CBD，则四面体ABCD外接球的表面积为 15（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，过原点的直线L与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A、B，F1AF260，四边形AF1BF2的周长p与面积S满足p2=12839S，则该双曲线的离心率为 16（5分）已知奇函数f（x）在区间（，0）上是增函数，且f（2）1，f（1）0，当x0，y0时，都有f（xy）f（x）+f（y），则不等式log3|f（x）+1|0的解集为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a

8、，b，c，ABAC=92，bsinA4（sinAcosC+cosAsinC）（1）求a的长度；（2）求ABC周长的最大值18（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，AFDE，F为垂足（）求证：AFDB（）当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求二面角EDCB的余弦值；求点B到平面CDE的距离19（12分）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查在某地抽取n人，每人一份血样，共n（nN*）份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有

9、k（kN*，k2）份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为k+1假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为p（0p1）（）若n5，p0.2，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；（）记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数当k5，p0.2时，求E（）；从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，

10、用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：0.840.41，0.850.33，0.860.26）20（12分）已知数列an，bn满足anb1+an1b2+a1bn2n-n2-1，其中an2n（）求b1，b2的值及数列bn的通项公式；（）令cn=(4bn-1)anbnbn+1，求数列cn的前n项和21（12分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)内切于矩形ABCD，对角线AC，BD的斜率之积为-34，过右焦点F（1，0）的弦交椭圆于M，N两点，直线NO交椭圆于另一点P（）求椭圆的标准方程；（）若MF=FN，且1312，求PMN面积的最大值22（12分）已知函数f（x）ex1ax（）讨论

11、f（x）的单调性；（）若f(x)-x2a24对于任意x0恒成立，求实数a的取值范围2022年山东省菏泽市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集UxN|2x4，A0，2，则UA为（）A1，3B0，1，3C1，1，3D1，0，1，3【解答】解：全集UxN|2x40，1，2，3，A0，2，UA1，3故选：A2（5分）复数z3+i，则z(z+i)=（）A10B7+6iC9+3iD11+3i【解答】解：z3+i，z=3-i，z(z+i)=（3i）（3+i+i）（3i）（3+2i）9+2+3i11+

12、3i故选：D3（5分）（ax）（2+x）6的展开式中x5的系数是12，则实数a的值为（）A4B5C6D7【解答】解：（ax）（2+x）6 的展开式中x5的系数是aC652-C642212，a6，故选：C4（5分）如图1，在高为h的直三棱柱容器ABCA1B1C1中，ABAC2，ABAC现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C（如图2），则容器的高h为（）A3B4C42D6【解答】解：在图1中V水=12222=4，在图2中，V水=VABC-A1B1C1-VC-A1B1C1=1222h-131222h=43h，43h

13、=4，h3故选：A5（5分）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A0.75B0.7C0.56D0.38【解答】解：设Ai表示第i天甲去A餐厅用餐，（i1，2），设B1表示该生第一天去B餐厅用餐，则A1B1，且A1，B1互斥，由题意得P（A1）P（B1）0.5，P（A2|A1）0.7，P（A2|B1）0.8，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为：P（A2）P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）0

14、.50.7+0.50.80.75故选：A6（5分）对于函数f(x)=(sinx+cosx)2+3cos2x，有下列结论：最小正周期为；最大值为3；减区间为12+k，712+k（kZ）；对称中心为（-6+k，0）（kZ）则上述结论正确的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：f(x)=(sinx+cosx)2+3cos2x=sin2x+cos2x+2sinxcosx+3cos2x1+sin2x+3cos2x1+2sin（2x+3），T=22=，正确；当2x+3=2+2k，kZ时f（x）max3，正确；令2+2k2x+332+2k，kZ，解得12+kx712+k，kZ，因此减区间为12+k，712+

15、k（kZ），正确；令2x+3=k，kZ，解得x=-6+k2，kZ，此时f（x）1，错误故选：C7（5分）已知两条直线l1：2x3y+20，l2：3x2y+30，有一动圆（圆心和半径都在变动）与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（）A（y1）2x265Bx2（y1）265Cy2（x+1）265D（x+1）2y265【解答】解：设动圆圆心P（x，y），半径为r，则P到l1的距离d1=|2x-3y+2|13，P 到l2的距离d2=|3x-2y+3|13，因为l1，l2被截在圆内的 两条线段的长度分别是定值26，24，2r2-d12=

16、26，2r2-d22=24，化简后得r2-d12=169，r2-d22=144，相减得d22-d12=25，将d1=|2x-3y+2|13，d2=|3x-2y+3|13 代入后化简可得（x+1）2y265故选：D8（5分）已知等比数列an各项均为正数，且满足：0a11，a17a18+1a17+a182，记Tna1a2an，则使得Tn1的最小正数n为（）A36B35C34D33【解答】解：由a17a18+1a17+a18得：（a171）（a181）0，a171a181或a171a181，an0，0a11，0a171a18，又a17a18+12，a17a181，T33=(a1a33)332=(a1

17、7)2332=a17331，T34=(a1a34)17=(a17a18)171，T35=(a1a35)352=(a182)352=a18351，则使得Tn1的最小正数n为35，故选：B二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分（多选）9（5分）某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年借阅数据如表：年份20162017201820192020年份代码x12345年借阅量y（万册）4.95.15.55.75.8根据上表，可得y关于x的经验

18、回归方程为y=0.24x+a，下列结论正确的有（）Aa=4.68B借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7Cy与x的线性相关系数r0D2021年的借阅量一定不少于6.12万册【解答】解：对于A，x=15(1+2+3+4+5)=3，y=15(4.9+5.1+5.5+5.7+5.8)=5.4，y关于x的经验回归方程为y=0.24x+a，5.4=0.243+a，解得a=4.68，故A正确，对于B，575%3.75，故借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7，故B正确，对于C，0.240，y于x的线性相关系数r0，故C正确，对于D，线性回归方程为y=

19、0.24x+4.68，当x6时，y=6.12，故2021年的借阅量约为6.12万册，故D错误故选：ABC（多选）10（5分）设抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的有（）A准线l的方程是y2B以线段MF为直径的圆与y轴相切C|ME|+|MF|的最小值为5D|ME|MF|的最大值为2【解答】解：抛物线C：y28x的焦点为F（2，0），准线为l：x2，故A错误；设M（m，n），MF的中点为N，可得|MF|m+22m+22，即N到y轴的距离是|MF|的一半，则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；设M在准线上的射影为H，由|ME|+|MF|

20、ME|+|MH|，当E，M，H三点共线时，|ME|+MH|取得最小值，且为3+25，故C正确；由|ME|MF|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，且为(3-2)2+(1-0)2=2，故D错误故选：BC（多选）11（5分）下列结论正确的有（）A若lna2lnb2，则2|a|2|b|B若|a|a2|b|b2，则2a2bC若bae（其中e为自然对数的底数），则abbaD若02ab3a2，则sinasinb2【解答】解：由lna2lnb2可得a2b2，即|a|b|，而y2x是增函数，所以2|a|2|b|成立，故A正确；由|a|a2|b|b2，可得1|a|1|b|，故|b|a

21、|，所以2a2b不成立，如a1，b2，故B错误；当b4，a3时，满足bae，34814364，故abba不成立，故C错误；由02ab3a2可知02ab3，所以0ab2322，而ysinx在x（0，2）上单调递增，所以sinasinb2，故D正确故选：AD（多选）12（5分）对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史古希腊数学家阿基米德（公元前287公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：227我国数学家祖冲之（430501）得出近似值355113，后来人们发现|-355113|10-6，这是一个“令人吃惊的好结果”随着科技的发展，计算的方法越来越多已知3.14159265358979323846

22、2643383279502，定义f（n）（nN）的值为的小数点后第n个位置上的数字，如f（1）1，f（4）5，规定f（0）3记f1（n）f（n），fk+1（n）fk（f（n）（kN*），集合Ak为函数fk（n）（nN）的值域，则以下结论正确的有（）AA10，1，2，3，4，5，6，7，8，9BA31，2，3，4，5，6，9C对kN*，1AkD对kN*，Ak中至少有两个元素【解答】解：对于A：由题意，集合Ak为函数fk（n）（nN）的值域，所以集合A1为函数f1（n）的值域，所以由f1（n）f（n）可得：f1（1）f（1）1，f1（6）f（6）2，f1（9）f（9）3，f1（2）f（2）4，f1

23、（4）f（4）5，f1（7）f（7）6，f1（13）f（13）7，f1（11）f（11）8，f1（5）f（5）9，f1（32）f（32）0，故A10，1，2，3，4，5，6，7，8，9，故A正确；对于B：由题意，集合Ak为函数fk（n）（nN）的值域，所以集合A3为函数f3（n）的值域，规定f（0）3，记f1（n）f（n），fk+1（n）fk（f（n）（kN*），所以f3（n）f2（f（n），令f（n）m，m0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，则f3（n）f2（m）f1（f（m），因为f（0）3，f（1）1，f（2）4，f（3）1，f（4）5，f（5）9，f（6）2，f（7）6，f（8）5

24、，f（9）3，所以f2（0）f1（f（0）f（3）1，f2（1）f1（f（1）f（1）1，f2（2）f1（f（2）f（4）5，f2（3）f1（f（3）f（1）1，f2（4）f1（f（4）f（5）9，f2（5）f1（f（5）f（9）3，f2（6）f1（f（6）f（2）4，f2（7）f1（f（7）f（6）2，f2（8）f1（f（8）f（5）9，f2（9）fl（f（9）f（3）1，所以f3（n）的值域为1，2，3，4，5，9，故B错误；对于C：因为f（1）1，所以fk+1（1）fk（f（1）f1（f（1）f（1）1，所以对kN*，1Ak，故C正确；对于D：由C的推导可知：fk+1（1）fk（f（1）

25、f1（f（1）f（1）1，因为f1（n）f（n），fk+1（n）fk（f（n）（kN*），所以f10（n）f9（f（n），令f（n）m，m0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，则f10（n）f9（m）f8（f（m），因为f（0）3，f（1）1，f（2）4，f（3）1，f（4）5，f（5）9，f（6）2，f（7）6，f（8）5，f（9）3，所以f9（0）f8（f（0）f8（3）f7（f（3）f7（1）1，f9（1）1，f9（2）f8（f（2）f8（4）f7（f（4）f7（5）f6（f（5）f6（9）f5（f（9）f5（3）f4（f（3）f4（1）f9（3）f8（f（3）f8（1）1，f9（4）

26、f8（f（4）f8（5）f7（f（5）f7（9）f6（f（9）f6（3）f5（f（3）f5（1）1，f9（5）f8（f（5）f8（9）f7（f（9）f7（3）f6（f（3）f6（1）1，f9（6）f8（f（6）f8（2）f7（f（2）f7（4）f6（f（4）f6（5）f5（f（5）f5（9）f4（f（9）f4（3）f9（7）f8（f（7）f8（6）f7（f（6）f7（2）f6（f（2）f6（4）f5（f（4）f5（5）f4（f（5）f4（9）f9（8）f8（f（8）f8（5）f7（f（5）f7（9）f6（f（9）f6（3）f5（f（3）f5（1）1，f9（9）f8（f（9）f8（3）f7（f（

27、3）f7（1）1，即k10时，f10（n）的值域为1，故D错误故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线y=x-12x+3在点（1，2）处的切线方程为 5xy+30【解答】解：y=x-12x+3，可得y=5(2x+3)2，所以y|x15，所以曲线y=x-12x+3在点（1，2）处的切线方程为：y+25（x+1），即5xy+30故答案为：5xy+3014（5分）如图，在四面体ABCD中，ABD和BCD都是等腰直角三角形，AB=2，BADCBD=2，平面ABD平面CBD，则四面体ABCD外接球的表面积为 8【解答】解：根据题意设外接球的球心为O，如图所示：由于，ABD

28、和BCD都是等腰直角三角形，AB=2，BADCBD=2，平面ABD平面CBD，所以，根据直角三角形中的关系，确定外接球的球心为O，故三棱锥的外接球的半径为R，所以BDBC2，故R=R=1222+22=2，所以S球=4(2)2=8故答案为：815（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，过原点的直线L与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A、B，F1AF260，四边形AF1BF2的周长p与面积S满足p2=12839S，则该双曲线的离心率为 72【解答】解：如图，由题知，|AF1|AF2|2a，四边形AF1BF2的是平行四边形，|AF1|+|AF2|=p

29、2，联立解得，|AF1|a+p4，|AF2|=p4-a，F1AF260，四边形AF1BF2的面积S=32|AF1|AF2|=32(p216-a2)，p2=12839S，p2=1283932(p216-a2)，即p264a2，由|F1F2|2|AF1|2+|AF2|2|AF1|AF2|=(|AF1|-|AF2|)2+|AF1|AF2|，可得4c2=4a2+p216-a2=3a2+4a2=7a2，即c2a2=74，得e=72故答案为：7216（5分）已知奇函数f（x）在区间（，0）上是增函数，且f（2）1，f（1）0，当x0，y0时，都有f（xy）f（x）+f（y），则不等式log3|f（x）+1

30、|0的解集为 （4，2）（2，1）（12，1）（14，12）【解答】解：不等式log3|f（x）+1|0等价为0|f（x）+1|1，即0f（x）+11或1f（x）+10，即1f（x）0或2f（x）1，f（x）是奇函数，且且f（2）1，f（1）0，f（2）1，当x0，y0有f（xy）f（x）+f（y），函数f（x）为对数函数模型，即当x0时，设f（x）logax，奇函数f（x）在区间（，0）上是增函数，函数f（x）在区间（0，+）上是增函数，则a1，f（2）1，f（2）loga21，则a2，即当x0时，f（x）log2x，若x0，则x0，则f（x）log2（x）f（x），即f（x）log2（x）

31、，x0，则函数f（x）的图象如图：若x0，由1f（x）0或2f（x）1得1log2x0或2log2x1，即12x1或14x12，若x0，由1f（x）0或2f（x）1得1log2（x）0或2log2（x）1，即0log2（x）1或1log2（x）2，即1x2或2x4，即2x1或4x2，综上不等式的解集为（4，2）（2，1）（12，1）（14，12）故答案为：（4，2）（2，1）（12，1）（14，12）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABAC=92，bsinA4（sinAcosC+cosAsi

32、nC）（1）求a的长度；（2）求ABC周长的最大值【解答】解：（1）由bsinA4（sinAcosC+cosAsinC）4sin（A+C）4sinB得bsinA4sinB，由正弦定理得ab4b，得a4（2）由ABAC=92，得bccosA=92，由余弦定理得bc=b2+c2-162bc=92，得b2+c225，由25b2+c22ab，所以（b+c）2b2+c2+2ab25+2ab50，所以b+c52（当且仅当bc=522时取等号），所以三角形ABC周长的最大值为4+5218（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，AFDE，F为垂足（）求证：AFDB（）当直线DE与平面A

33、BE所成角的正切值为2时，求二面角EDCB的余弦值；求点B到平面CDE的距离【解答】解：（）证明：由题意可知DA底面ABE，BE面ABE，故BEDA，又BEAE，AEDEE，AE，DE面AED，故BE面AED，由AF面AED，得AFBE，又AFDE，BEDEE，BE，DE面BED，故AF面BED，由DB面BED，可得AFDB，（）解：由题意，以A为原点，在底面圆内过点A作AB的垂线作为x轴，以AB，AD所在直线为y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD的长度为2，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2），因为DA面ABE，所以DEA就是直线DE与平面ABE

34、所成角，所以tanDEA=DEAE=2，所以AE1，所以E(32，12，0)，由上可得DC=(0，2，0)，DE=(32，12，-2)，设平面DCE的法向量为n=(x，y，z)，则nDC=0nDE=0，即2y=032x+12y-2z=0，令x4，得n=(4，0，3)，又易得m=(1，0，0)是平面BCD的一个法向量，所以cosn，m=mn|m|n|=14+00+03142+0+3=41919，所以二面角EDCB的余弦值为41919，因为BE=(32，-32，0)，所以点B到平面CDE的距离为d=|BEn|n|=|324+(-32)0+03|19=25719.25719 19（12分）新冠疫情在

35、西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查在某地抽取n人，每人一份血样，共n（nN*）份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有k（kN*，k2）份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为k+1假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独

36、立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为p（0p1）（）若n5，p0.2，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；（）记为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数当k5，p0.2时，求E（）；从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：0.840.41，0.850.33，0.860.26）【解答】解：（）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有 2 个人的检验结果为阳性”，则P(A)=C520.220.83=0.2；（）当k5，p0.2时，5 个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为0.8

37、5，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为10.85，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为： 1 6 P 0.85 10.85所以E（）10.85+6（10.85）4.35当采用混合检验的方案时E（）1（1p）k+（k+1）1（1p）kk+1k（1p）k，根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足E（）k，即k+1k（1p）kk，化简得0p1-k1k，所以当P满足0p1-k1k，用混合检验的方案能减少检验次数20（12分）已知数列an，bn满足anb1+an1b2+a1bn2n-n2-1，其中an2n（）求b1，b2的值及数列bn的通项公式；（）令cn=(4bn-1)anbnbn

38、+1，求数列cn的前n项和【解答】解：（）数列an，bn满足anb1+an1b2+a1bn2n-n2-1，其中an2n，当n1时，a12，当n2时，a24；当n1时，a1b1=2-12-1=12，整理得；b1=14；当n2时，a2b1+a1b24112，整理得b2=12；当n2时，an-1b1+an-2b2+.+a1bn-1=2n-1-n-12-12得：anb1+an-1b2+.+a2bn-1=2n-2n-12-21，得：a1bn=n2，所以bn=n4（）由 （）知，cn=16(n-1)2nn(n+1)=16(2n+1n+1-2nn)，c1+c2+cn=16(222-21+233-222+2n

39、+1n+1-2nn)=16(2n+1n+1-2)，即数列cn的前n项和为16(2n+1n+1-2)21（12分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)内切于矩形ABCD，对角线AC，BD的斜率之积为-34，过右焦点F（1，0）的弦交椭圆于M，N两点，直线NO交椭圆于另一点P（）求椭圆的标准方程；（）若MF=FN，且1312，求PMN面积的最大值【解答】解：（1）由椭圆C：x2a2+y2b2=1内切于矩形ABCD，对角线AC，BD的斜率之积为-34，可得-b2a2=-34a2=b2+c2c=1，解得a24，b23，故椭圆的标准方程为x24+y23=1（2）依题意可知直线MN的斜率不为

40、0，故设其方程为xmy+1，联立x=my+1x24+y23=1，消x得（3m2+4）y2+6my90，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，因为SPMN=2SOMN=212|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=12m2+13m2+4，又MF=(1-x1，-y1)，FN=(x2-1，y2)，所以由MF=FN，得y1y2，即y1y2，于是可得y1+y2=(1-)y2=-6m3m2+4，；y1y2=-y22=-93m2+4，由2得(1-)2=4m23m2+4，即+1-2=4m23m2+4，因为1312，所以52+1103，所以124m

41、23m2+443，即m245，又由SPMN=12m2+13m2+4，令t=m2+135，则SPMN=12t3t2+1，令f(t)=t3t2+1(t35)，则f(t)=1-3t2(3t2+1)20，故当t35时，f（t）单调递减，所以f(t)f(35)=3532，所以SPMN958，即PMN面积的最大值为95822（12分）已知函数f（x）ex1ax（）讨论f（x）的单调性；（）若f(x)-x2a24对于任意x0恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（）f（x）ex1ax，f（x）ex1a，当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递增；当a0时，令f（x）ex1a0，解得：x1+lna，当x（，1+lna）时，f（x）0，f（x）在（，1+lna）上单调递减；当x（1+lna，+）时，f（x）0，f（x）在（1+lna，+）上单调递增；（）由f(x)-x2a24，得ex1x2+ax+a24=（x+a2）2，对于任意x0恒成立，因此x-ex-12a2-x+ex-12，记h（x）x+ex-12，由h（