弹性变形能应变能课件.pptx

1、2022-4-191(a) 轴向拉（压）杆22N2221llEAEAlFlFWV 应变能应变能 （1）线弹性体）线弹性体 1. 基本变形形式基本变形形式【材料力学（材料力学（）】 利用应变能 在数值上等于外力功W，可得V2022-4-1922pp2p2ee22221lGIGIlTGIlMMWV (b) 扭转2022-4-193(c) 弯曲纯弯曲 EIlMEIlMMWV222122ee2022-4-194弯曲应变能弯曲应变能dxEIxMVl2)(2各种基本变形的应各种基本变形的应变能统一表达式：变能统一表达式：dxVl（刚度）内力）2(2EIdxMdxMMddV2222EIM1MMMMdx横力弯

2、曲横力弯曲对于细长梁来说一般可略去剪切应变能对于细长梁来说一般可略去剪切应变能2022-4-195 也可以把应变能统一写成也可以把应变能统一写成FWV21式中，式中，F 为广义力，可以代表一个力为广义力，可以代表一个力, ,一个力偶一个力偶, ,一对力或一一对力或一对力偶等。对力偶等。 为广义位移，可以代表一个线位移为广义位移，可以代表一个线位移, ,一个角一个角位位移移, ,一对线位移或一对角位移等。一对线位移或一对角位移等。拉压拉压扭转扭转弯曲弯曲内力内力FNTM刚度刚度EAGIPEI2022-4-1961. 构件上有一组广义力共同作用构件上有一组广义力共同作用ACMFwWVe2121令F

3、=F1 ,wC=1 ,Me=F2 , A= 2 ,则22112121FFWVEIlMEIFlA316e2（ ）EIlMEIFlwC16482e3（ ）CwCFEIABMel / 2l / 2A,2022-4-197iininnFFFFWV1221121212121), 2 , 1(ni Fi 为广义力，为广义力， i 为为Fi 的作用点沿的作用点沿Fi 方向的广义位移，它方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。是由所有广义力共同产生的。 2. 组合变形（用内力形式表示的应变能）组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x) 只产生弯曲转角只产生弯曲转角d 小变形时不计小变形时不计FS 产生的应

4、变能，产生的应变能，dFN (x) 只产生轴向线位移只产生轴向线位移dT(x) 只产生扭转角只产生扭转角有有 n 个广义力同时作用时个广义力同时作用时2022-4-198对于对于dx 微段，微段， FN(x) , T(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量均为外力。略去高阶微量后，后，dx段的应变能为段的应变能为d)(21d)(21d)(21ddNxMxTxFWVEIxxMGIxxTEAxxF2d)(2d)(2d)(2p22N杆的应变能为杆的应变能为llllEIxxMGIxxTEAxxFVV2d)(2d)(2d)(d2p22N2022-4-199(a) 由于应变能是外力（内力）或位移的二次

5、齐次式，所以产由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。生的应变能之和。EAaFEAbaFV22)(2221EAaFFEAbFV2)(222121 3. 应变能的特点应变能的特点:EAF2F1ab例例)()()(e21MVFVFVVF1F2Me2022

6、-4-1910应变能与内力（或载荷）不是线性关应变能与内力（或载荷）不是线性关系，故多个载荷作用时，求应变能不系，故多个载荷作用时，求应变能不可随意用叠加法。可随意用叠加法。组合变形分解为各基本变形后（互不偶合），分别组合变形分解为各基本变形后（互不偶合），分别计算并求和：计算并求和：变形能与加载次序无关；相互独立的变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。力（矢）引起的变形能可以相互叠加。dxEIxMdxGIxTdxEAxFVlllPN2)(2)(2)(2222022-4-1911(b) 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒） F 和Me 同时作用在梁上，并按同一比例

7、由零逐渐增加到最终值简单加载简单加载。 在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。EIlMEIFlwC16482e3EIlMEIFlA316e2EIlFMEIlMEIlFMFwVAC1669621212e2e32e上图中CwCFEIABMel / 2l / 2A,(a)2022-4-1912 先加F, 再加Me (图 b，c)ee,e,2121MCMAFCwFMwFVEIlMFEIlMMEIFlFe1632148212ee3EIlFMEIlMEIlF166962e2e32式中， 为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无 系数 。eC,MwF 21EI

8、lFwFC483,(b)CwC,FFEIABl / 2l / 2A,F,EIlMwMC162e,eEIlMMA3e,ecFEIABMel / 2l / 2wC,F (c),还可以先加Me ，再加F，得到的应变能 和以上的值相同。V2022-4-1913FSMNMTAAFNB T例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力点受铅垂力P的作的作用，用，求求A点的垂直位移。点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）解：用能量法（外力功等于应变能）求内力求内力:( )sinMFR弯矩: ( )(1 cos )TFR扭矩AFR2022-4-1914

9、外力功等于应变能外力功等于应变能变形能：变形能：222n( )( )( ) d d d222LLLPMxMxFxUxxxEAGIEI22222200(1cos)(sin)dd22PF RF RRRGIEI2323344PF RF RGIEI2AFWfU33322APFRFRfGIEI2022-4-1915 . 余能余能 图 a为非线性体弹性体的受拉杆，其F 和s关系如图b,c 所示。（1）余功的定义为余功的定义为FWFd10c2022-4-1916其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OF1a1 的面积与曲面Oa1 的面积（W）之差（图d）,故称

10、Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc 。FF1WcaW1o(d)2022-4-1917 余能密度为ssd10cv （38）(37)和（38）式，分别以 F 和 s 为自变量，= f (F ), f (s )。所以Vc= f (F ) 为受力状态的函数。VcVF1 F 1 a(e)o（3）线弹性体（图）线弹性体（图e） V 和 Vc 数值相等，但概念和计算方法不同，即 V f () , Vc = f (F )。仿照 , WV 余能为FWVFd10cc（37）（2）余能）余能VvVVdcc（39）余能为2022-4-1918 例例 图a中两杆的长度均为l,横

11、截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的 s 关系如图b 所示。求结构的余能。 解：解：该题为物理非线性问题，需用 求 Vc。 VvVVdcc由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为cos212NN1FFF应力为scos21N1AFAF2022-4-1919使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！2022-4-1920使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！2022-4-1921使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！2022-4-1922余能密度为sssssd)(d1100cnkv1111)cos2() 1(1) 1(1nnnnAFnknks结构的余能为11ccc)cos() 1()2(2dnnnVFnkAlAlvVvVnk)(s得（n1）nk/1s由