1、6.4.3.2 正弦定理01正弦定理的推导复习：余弦定理及其推论：余弦定理及其推论：图1图22222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC 已知两边及夹角已知两边及夹角 SASSAS 已知三边已知三边SSSSSSASA,AASASA,AAS思考：若给出三角形的思考：若给出三角形的 ，如何解三角形？，如何解三角形？01正弦定理的推导ABCcbaABC在一个直角三角形中AsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1CccsinCcBbAasinsinsin 结论：任意三角形？任意三角形？推广推广01正弦定理的推导ABC在锐角三角形中方法一：向量法方法
2、一：向量法（涉及：边、角问题（涉及：边、角问题 数量积）数量积）ACBj向量的数量积的定义向量的数量积的定义 中两向量的夹角是余弦关中两向量的夹角是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？cosbaba. 的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与ABjCBjACjAjAC 证明：过点 作单位向量 垂直于，C 90A 909001正弦定理的推导ACBj. 的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法则由向量加法的三角形法则ABCBAC 两两边边同同取取与
3、与 的的数数量量积积 得得,jjACCBj AB （根根据据向向量量的的数数量量积积的的定定义义）cos90cos(90)cos(90)jACjCBCjABA 即即，sinsinsinsinacaCcAAC 同同理理 过过点点作作 垂垂直直于于，可可得得,sinsincbCjCBCB CcBbAasinsinsin 也也有有j ACj CBj AB 在在锐锐角角三三角角形形中中jcba01正弦定理的推导在钝角三角形中在钝角三角形中ABCjcba设设，过过点点 作作与与垂垂直直的的单单位位向向量量090,AAACj 90 AC 90具体证明过程大家完成具体证明过程大家完成!. 的的夹夹角角为为与
4、与，的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与ABjCBjACj90CcBbAasinsinsin 也也有有所以在钝角三角形中所以在钝角三角形中01正弦定理的推导在任意三角形中在任意三角形中ABCcbasinsinsin都有abcABC三角形的正弦定理02正弦定理的应用例1：在三角形ABC中，已知A=15，B=45，c=3+ ，解这个三角形.3 3已知：ASA02正弦定理的应用4 45 54 45 5已知：AAS02正弦定理的应用已知：SSA2424已知：SSA02正弦定理的应用2424已知：SSA已知：SSA02正弦定理的应用SSA方法二：余弦定理（方程思想）2402正弦定理的应用已知：SS
5、A24242424一个解两个解一个解无解02正弦定理的应用正弦定理适用的范围：正弦定理适用的范围：AAS , ASASSA唯一解解的不唯一：无解、一个解、两个解要结合大边对大角定理（或内角和定理）和正弦函数的有界性要结合大边对大角定理（或内角和定理）和正弦函数的有界性判断解的个数。判断解的个数。 02正弦定理的应用1.A1.A为锐角时：为锐角时：即即b sinA a ，无解；，无解；即即a = b sinA，一个解；，一个解；若若a b，两个解；，两个解；若若a b，一个解，一个解.sinsinabABsinsinbABasin1B 当当 时，时，当当 时，时，sin1B 当当 时，时，sin1B 即即b sinA b ，一个解，一个解.(2) a b ，无解；，无解；02正弦定理的应用例例4.4.不解三角形，判断三角形解的个数不解三角形，判断三角形解的个数30, 6, 2) 1 (Aba30,20,11)2(Bab无解无解两解两解(3)6,7,105abB一解一解02正弦定理的应用4,45 .例5：中，若三角形有两解，求 的取值范围ABCbAabaAbsin解4224a422a感 谢 大 家 的 观 看
