3-习题课(1)-PPT精品文档31页课件.ppt

1、主要 内 容主要 内 容Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf Taylor泰勒公式泰勒公式0 n) ,00( 函数形态研究函数形态研究单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数图形的描绘函数图形的描绘, ,曲率曲率. .洛必达法则洛必达法则罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf (1)(1) 在闭区间在闭区间 ,ba上连续，上连续， (2)(2) 在开区间在开区间),(ba内可导，内可导， (3)(3) 在区间端点的函数值相等，即在区间端点的函数值相等，即)()(b

2、faf 那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点 )( ba ，使得函数，使得函数 )(xf在该点的导数等于零，即在该点的导数等于零，即 0)( f 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x) (1) 在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续， (2) 在开区间在开区间),(ba内可导。内可导。 那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点 )( ba ，使得，使得 )()()(abfafbf . . ).()()( fabafbf 或或推论推论 如果函数如果函数 f (x) 在区间在区间 I 上的导数恒为零，则上的导数恒为零，则 f (x)在区间

3、在区间 I 上是一个常数。即上是一个常数。即. )(IxCxf ，柯西（柯西（Cauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF (1)(1) 在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续， (2)(2) 在开区间在开区间),(ba内可导， 且内可导， 且)(xF 在在),(ba内每一内每一点处均不为零。点处均不为零。 那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点 )( ba , ,使得使得 )()()()()()( FfbFaFbfaf . . 洛必达法则洛必达法则. )( )()(lim)()(lim :) ,00( 或或AxFxfxFxf:)0( ,0 .000 或或010

4、1 .00:)( )()(lnlim00:10 xvxue 再再取取对对数数先先取取指指数数.00 或或 ,)(lim)(xvxu泰泰勒勒( (Taylor) )中中值值定定理理 如如果果函函数数)(xf在在含含有有0 x的的某某个个开开区区间间),(ba内内具具有有 直直到到)1( n阶阶的的导导数数，则则当当 ),(bax 时时，)(xf可可以以表表 示示为为)(0 xx 的的一一个个 n 次次多多项项式式与与一一个个余余项项)(xRn之之和和： )()(!)( )(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中 10)1()()!1()(

5、)( nnnxxnfxR ( ( 在在0 x与与x之之间间) ). . 求单调区间的方法求单调区间的方法: :（1）在定义域内，求出函数的全部驻点和不可导点；）在定义域内，求出函数的全部驻点和不可导点；（2）利用驻点和不可导点把）利用驻点和不可导点把 f (x) 的定义域区间分成的定义域区间分成 几个小区间；几个小区间；（3）由左到右在各小区间内讨论）由左到右在各小区间内讨论)(xf 的正负号；的正负号；（4）得出结论）得出结论)( , 0)(xfxf )( , 0)(xfxf 求极值的求极值的步骤步骤: :; 0)()2(ixxf的的实实根根和和不不可可导导点点求求 );()1(xf 求求)

6、, 2 , 1(ni (3) 用用 (2) 得到的得到的 xi 分定义域为几个小区间，列表讨论分定义域为几个小区间，列表讨论xi左左侧侧邻邻近近，0)( xf；xi右右侧侧邻邻近近，0)( xf， 则则)(xf在在ix处处取取得得极极大大值值； xi左左侧侧邻邻近近，0)( xf；xi右右侧侧邻邻近近，0)( xf， 则则)(xf在在ix处处取取得得极极小小值值； 第一第一充分充分条件条件第二第二充分充分条件条件0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末 (1)(1) 当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得处取得极大值极大值; ; (2)(2) 当当0)(0

7、xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得处取得极小值极小值. . 实际问题求最值的实际问题求最值的步骤步骤：唯一驻点唯一驻点 + 极大值点极大值点 最大值点最大值点唯一驻点唯一驻点 + 极小值点极小值点 最小值点最小值点f (x) 在在 a, b 上上最值的最值的步骤步骤: :1.1.求驻点和不可导点；求驻点和不可导点；2.2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小， 其中最大的便是其中最大的便是 f (x) 在在 a, b 上的上的最大值，最小的最大值，最小的 便是便是 f (x) 在在 a, b 上的上的最小值。最小值。凹凸性的判

8、定法：凹凸性的判定法：; )(0)()2(ixxfxf不不存存在在的的点点的的实实根根和和求求 );(),()1(xfxf 求求), 2 , 1(ni (3) 用用 (2) 得到的得到的 xi 分定义域为几个小区间，分定义域为几个小区间，在各小区间内的正负号。在各小区间内的正负号。)(xf ;)(, 0)(的的在在小小区区间间上上的的图图形形是是凹凹则则xfxf .)(, 0)(的的在在小小区区间间上上的的图图形形是是凸凸则则xfxf 讨论讨论拐点的求法：拐点的求法：; )(0)()2(ixxfxf不不存存在在的的点点的的实实根根和和求求 );(),()1(xfxf 求求(1) 如果在如果在

9、xi 两侧邻近两侧邻近)(xf 异号异号，则，则 (xi , f (xi) 是曲线上的一个拐点。是曲线上的一个拐点。(2) 如果在如果在 xi 两侧邻近两侧邻近)(xf 同号同号，则，则 (xi , f (xi ) 不是曲线上的拐点。不是曲线上的拐点。, (2) )3(ix中解出的每个实根中解出的每个实根对于对于)( :列列表表讨讨论论两两侧侧邻邻近近的的正正负负号号ixxf )( 在在讨讨论论 ), 2 , 1(ni 图形描绘的步骤图形描绘的步骤作图大致可以分以下作图大致可以分以下步骤步骤：(1) 确确定定)(xfy 的的定定义义域域。求求出出)( xf 和和)(xf ； (2) 求求出出0

10、)( xf和和0)( xf实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的 (3) 确定确定)( xf 和和)(xf 在各小区间的正负号，确定函数在各小区间的正负号，确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸性与拐点的增减性与极值及曲线的凹凸性与拐点; (列表讨论列表讨论)(4) 确定图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；确定图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；(5) 描出与方程描出与方程0)( xf和和0)( xf 的根对应的曲线的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形。论的结果画出函数的图形。间断点或不可导点把定义

11、域分成几个小区间。间断点或不可导点把定义域分成几个小区间。练习题练习题一一、选选择择填填空空 1 1已已知知)(xf在在),(ba内内可可导导，方方程程0)( xf在在),(ba内内有有 两两个个不不同同的的根根 与与 ，那那么么，),(ba内内（ ）方方程程 0)( xf的的根根. . (a) 必必有有；(b) 可可能能有有；(c) 没没有有； (d) 无无法法确确定定. . 2 2. .0)(0 xf是是可可导导函函数数)(xf在在0 x点点 处处有有极极值值的的（ ）. . (a) 充充分分条条件件； (b) 必必要要条条件件 (c) 充充要要条条件件； (d) 既既非非必必要要又又非非

12、充充分分条条件件. . ab3 3. . 若若)(xf在在,ba上上连连续续，在在),(ba内内可可导导，且且 ),(bax 时时，0)( xf，又又0)( af, ,则则（ ）. . (a) )(xf在在,ba上上单单调调增增加加，且且0)( bf； (b) )(xf在在,ba上上单单调调增增加加，且且0)( bf； (c) )(xf在在,ba上上单单调调减减少少，且且0)( bf； (d) )(xf在在,ba上上单单调调增增加加，但但)(bf的的正正负负号号 无无法法确确定定. . 4 4、若若在在),(ba内内，函函数数)(xf的的一一阶阶导导数数0)( xf， 二二阶阶导导数数0)(

13、xf, ,则则函函数数)(xf在在此此区区间间内内( ( ) ). . (a) 单单调调减减少少，曲曲线线凸凸的的；(b) 单单调调减减少少，曲曲线线凹凹的的； (c) 单单调调增增加加，曲曲线线凸凸的的；(d) 单单调调增增加加，曲曲线线凹凹的的. . dc二、求极限二、求极限;1lnlim )1(exxex ;1lim )2(2xxxee ;lim )3(220 xxex);cotcsc(lim )4(0 xxexx ;tanlim )5(2tan4xxx .1lnlim )6(0 xxx 的的二二阶阶泰泰勒勒公公式式。时时，求求函函数数当当三三、 tan)( 4 0 xxfx . , ,

14、 ,12拐拐点点间间凹凹凸凸区区极极值值的的单单调调区区间间四四、求求函函数数 xxxy五、要做一个容积为五、要做一个容积为V的圆柱形油罐，怎样设计才能使的圆柱形油罐，怎样设计才能使 所用材料最省？所用材料最省？exxex 1lnlim )1()()1(lnlim exxex11limxex 1 e=xxxee21lim )2( )1()(lim2 xxxee00 xxxee22lim xxe21lim 0 =220lim )3( xxex 0202lim xxxe )()lim202( xexx33022lim2 xexxx220lim )3( xxex 0202lim xxxe )()li

15、m202( xexx33022lim2 xexxx20lim xxe =);cotcsc(lim )4(0 xxexx )sincossin(lim0 xxxexx xxexxsincoslim0 00)(sin)cos(lim0 xxexxxxexxcossinlim0 1 = ;tanlim )5(2tan4xxx 1 xxex2tantanlnlim4 xxextanln2tanlim4 xxxe2cottanlnlim4 00)2(cot)tan(lnlim4 xxxe xxxxe2csc2tanseclim224 )2sin(lim4xxe 1 e=.1lnlim )6(0 xxx

16、0 xxxe 1lnln0lim xxxelnln0lim xxxelnlnlim0 .1lnlim )6(0 xxx 0 xxxe 1lnln0lim xxxelnln0lim xxxelnlnlim0 10lnlnlim xxxe )()lnln(lim10 xxxe xxxxxxxln1)(1)1(ln1)1()lnln(2 xxxeln1)(lim0 10 e=的的二二阶阶泰泰勒勒公公式式。时时，求求函函数数当当三三、 tan)( 4 0 xxfx 解解,tan)(xxf , 1)4( f,sec)(2xxf , 2)4( f,tansec2)(2xxxf , 4)4( f,cos2s

17、in4)sectan2(sec2)(42222xxxxxxf 之之间间。在在4 , ,cos2sin4)(42 xf 于是，于是，32)4(!3)( )4(!2)4()4)(4()4()( xfxfxffxf,cos2sin4)sectan2(sec2)(42222xxxxxxf 之之间间。在在4 , ,cos2sin4)(42 xf 于是，于是，32)4(!3)( )4(!2)4()4)(4()4()( xfxfxffxf3422)4(cos31sin2)4(2)4(21tan xxxx即即之之间间。在在4 , x. , , ,12拐拐点点凹凹凸凸区区间间极极值值的的单单调调区区间间四四、求

18、求函函数数 xxxy解解, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即定义域定义域 y222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx y322)1()3(2 xxx, 0 y令令.3 , 0 ,3 x得得, 0 y令令. 0 x得得xy yy )3,( 极极大大值值03 )1,3( 1 )0 , 1( 000拐点拐点)0 , 0()1 , 0( 1 )3, 1(3极极小小值值0),3( y,)1()3(2222 xxx y322)1()3(2 xxx 3xy极极大大值值,233 3xy极小值极小值,233).0 , 0( 拐点为拐点为单调增加区间：单调增加区间：);,3 ,3,( 单调

19、减少区间：单调减少区间：;3, 1( ),1 , 1( ),1,3 曲线凸区间曲线凸区间);, 1( ,0 , 1( 凹区间凹区间).1 , 0 ),1,( 不不存存在在无无定定义义不不存存在在无无定定义义五、要做一个容积为五、要做一个容积为V的圆柱形油罐，怎样设计才能使的圆柱形油罐，怎样设计才能使 所用材料最省？所用材料最省？rh解解材料最省，即使表面积最小。材料最省，即使表面积最小。设表面积为设表面积为 s ，圆柱形底半径，圆柱形底半径为为 r，高为，高为 h。rhrs 222 则则又又,2 hrV 得得.2 rVh 故故), 0( .222 rrVrs .242 rVrs .0 s令令)

20、, 0( 得得.23 Vr 内内唯一驻点唯一驻点.443 rVs 故故), 0( .222 rrVrs .242 rVrs .0 s令令), 0( 得得.23 Vr 内内唯一驻点唯一驻点.023 Vs因此，因此，32 Vr 是是极小值点极小值点，也是也是最小值点最小值点。此时，此时，2 rVh .2223rV 所以，当所以，当rh2 时，所用材料最省。时，所用材料最省。P 13414. 证明：若函数证明：若函数 f (x) 在在 (, +) 内满足关系式内满足关系式),()(xfxf .)( , 1)0( xexff 则则且且证证.)()( xexfx 设设) ,( x)(x 在在 (, +)

21、 内可导。且内可导。且2)()()()(xxxeexfexfx 2)()()(xxxeexfexf 2)()()(xxexfxfe 0 ) ,( x。常常数数内内，因因此此在在)( )(),(Cx 证证.)()( xexfx 设设) ,( x)(x 在在 (, +) 内可导。且内可导。且2)()()()(xxxeexfexfx 2)()()(xxxeexfexf 2)()()(xxexfxfe 0 ) ,( x。常常数数内内，因因此此在在)( )(),(Cx 又又. 1)0()0(0 ef 因此，因此，C = 1。所以所以. 1)()( xexfx 即即.)(xexf P 1536. 讨论方程

22、讨论方程)0( ln aaxx其其中中有几个实根。有几个实根。解解.ln)( axxxf 设设)., 0( : D可可导导，且且内内，在在)(), 0( xf axxf 1)(，令令0)( xf.1 1ax 得得驻驻点点x)1 , 0(a) ,1( aa1)(xf )(xf 0最大值最大值, 0)1( )1( af当当方程方程axx ln有唯一解。有唯一解。 此时，此时，, 0)1( )1( af当当方程方程axx ln有唯一解。有唯一解。.10 ea 即即, 0)1( )2( af当当此时，此时，011ln aaa方程方程axx ln有两个解。有两个解。 此时，此时，011ln aaa.1

23、ea 即即, 0)1( )3( af当当方程方程axx ln没有解。没有解。 此时，此时，.1 ea 即即011ln aaa方程方程axx ln有有唯一解唯一解。方程方程axx ln有有两个解两个解。方程方程axx ln没有解没有解。P 15310. 利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：)( 2 )2(2yxeeeyxyx 证证设设.)(xexf f (x) 在在 (, +) 内二阶可导，且内二阶可导，且.)( ,)(xxexfexf ),( . 0)( xexfx由于由于因此，因此， f (x) 在在 (, +) 内的图形是凹的。内的图形是凹的。于是，任取两点于是，任取两点),( ,yxyx 恒有恒有.22)()( yxfyfxf22 yxyxeee 即即