1、专题25 奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.说明：1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名.2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式：（1）是的重心.（2）是的内心.（3）是的外心.（4）是的垂心.3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用【典型例题】例1 为三角形内部一点，均为大于1的正实数，且满足，若分别表示的面积，则为（ ）A BCD【答案】【解析一】由，如图设，即是的重心，同理可得，所以故选：【解析二】由，由奔驰定理得：故选：例2 在ABC中
2、，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=b=4，c=6，I是ABC中内切圆的圆心，若，则【答案】【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）易求得，而，所以另一方面，对上式两边同时作数量积得：，易知，所以，所以.【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为整理为：由奔驰定理得解之得.点评： 解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.例3 已知是的重心，且满足，则 = .【答案】【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】是的重心，由正弦定理，由余弦定理， .例4 设H是ABC的垂
3、心，若，则的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得设，由代入得，解之得所以又因为，所以.例5 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）A. B. 直线必过边中点C. D. 若，且，则【答案】ACD【解析】对于A，插入点A，所以；对于B，若直线过边的中点，则，由上知，不成立；对于C，由奔驰定理知；对于D，由得，两边平方得.例6 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 .【答案】【解析】，即，对两边同时点乘得：，即由正弦定理知.【巩固练习】1.已知P是ABC所在平面内一点，若，则P是ABC的(
4、)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心2.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，R，则P点的轨迹一定经过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3点P在ABC内部，满足230，则SABCSAPC为()A21 B32 C31 D534点O为ABC内一点，若SAOBSBOCSAOC432，设，则实数和的值分别为()A.， B.， C.， D.，5.设O是ABC的内心，ABc，ACb，BCa，若则（ ）A B C D6.已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（ ）ABC2D37.在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=5，
5、b=12，c=13，I是ABC内切圆的圆心，若，则=_8.在ABC中，AB=3，BC=4，AC=5， I是ABC内切圆的圆心，若，则=_9.已知是锐角的外接圆圆心，则实数的值为_10.已知是所在平面内一点，且满足，则= .【答案与提示】1.【答案】D【解析】由，可得()0，即0，同理可证，.P是ABC的垂心.2.【答案】C【解析】设BC的中点为M，则，则有，即.P的轨迹一定通过ABC的重心.3.【答案】C【解析】根据奔驰定理得，SPBCSPACSPAB123.SABCSAPC31.4.【答案】A【解析】根据奔驰定理，得3240，即32()4()0，整理得，故选A.5.【答案】A【分析】根据奔驰定理的内心恒等式，利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值，进而得解.【解析】O是ABC的内心，ABc，ACb，BCa则，所以，所以，所以.又，所以，所以.6.【答案】C【解析】由奔驰定理得，解之得，选C7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】第 8 页 共 8 页
