江西南昌市2022届高三理科数学第二次模拟测试及答案.pdf

1、 高三理科数学（模拟二）第1页(共 4 页) 主视主视D1C1B1A1DCBA图 1 图 2 20220607 项目第二次模拟测试卷项目第二次模拟测试卷 理科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 注意事项： 1答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 3非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不

2、按以上要求作答无效 4考生必须保证答题卡整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知集合2N|13, |650AxxBx xx，则AB A. B. 1,2,3 C. (1,3 D. 2,3 2已知i为虚数单位，若1 iz ，则|2i|z A. 1 i B. 2 C. 2 D. 10 3已知圆锥内部有一个半径为1的球与其侧面和底面均相切，且圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的侧面积为 A2 B4 C6 D8 4在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若5b ，1

3、cos8A ，5 7sin16B ，则a A8 B6 C5 D3 5已知6log 2a ，sin1b ，12c ，则, ,a b c的大小关系为 Aacb Bbac Ccba Dabc 6已知实数, x y满足约束条件10,330,1,xyxyx 则22zxy的最小值为 A5 B5 C3 1010 D910 7已知函数3( )3sin|cos|()22f xxxx，则方程( )3f x 的解的个数是 A1 B2 C3 D4 8 如图 1， 正方体1111ABCDABC D中， 点P在矩形1111ABC D内 （包含边界） ， 若三棱锥PABC的左视图如图 2 所示，则此三棱锥的俯视图不可能的是

4、 A B C D 高三理科数学（模拟二）第2页(共 4 页) 9已知:p12x ，:q122log (2)1xx，则p是q的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10右图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数235 ， ，的图形 图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若DOOB 则 A1 B2 C62 D3 11已知12,F F分别是双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点，2F也是抛物线2:2(0)C ypx p的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若112| |PFFF，则双曲线E的离心率为 A23 B2 C2

5、3 D3 12已知函数11e,0,( )e,0 xxaxf xax (0)a ，若函数( )f x的图象上存在两个点11( ,)A x y，22(,)B xy，满足12120y yx x，则a的取值范围为 A2a B1a C01a D02a 二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分. 13已知向量(1, 3)a ，| 1b ，若ab，则|ab . 1431()2nxx的展开式共有8项，则常数项为 . 15从装有4个红球和3个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为_. 16交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，

6、绿灯表示准许通行，黄灯表示警示,黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关经过安全数据统计，驾驶员反应距离1s（单位：m）关于车速v（单位：m /s）的函数模型为10.7584sv；刹车距离2s（单位：m）关于车速v（单位：m /s） 的函数模型为220.072sv， 反应距离与刹车距离之和称为停车距离 在某个十字路口标示小汽车最大限速50km/ hv （约14m/s） ，路口宽度为30m，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮_s（保留两位有效数字） 三解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明

7、过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分）已知na是公差为d(0)d 的等差数列，11a ，11nnaxa. （1）求na的通项公式； （2）设121( 1)nnnnnba a ，求数列 nb的前10项和10S. 高三理科数学（模拟二）第3页(共 4 页) ABCDEFGH18.（12 分）国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值.高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高.某市教育局为督促各学校保证学

8、生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表： 档次 低体重 正常 超重 肥胖 肥胖 体重指数x （单位：kg/m2） 17.3x 17.323.9x 23.927.2x 27.2x 学生得分 80 100 80 60 某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布2(23.9,3.3 )N，并调整教学安排， 增加学生体育锻炼时间. 4月中旬， 教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表： 16.3 16.9 17.1 17.5 18.2 18.5 19.0 19.3 19.5 19

9、.8 20.2 20.2 20.5 20.8 21.2 21.4 21.5 21.9 22.3 22.5 22.8 22.9 23.0 23.3 23.3 23.5 23.6 23.8 24.0 24.1 24.1 24.3 24.5 24.6 24.8 24.9 25.2 25.3 25.5 25.7 25.9 26.1 26.4 26.7 27.1 27.6 28.2 28.8 29.1 30.0 请你从肥胖肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果. 附：参考数据与公式 若2( ,)XN ，则()0.6827PX； (22 )0.9545PX；(33 )0.9973PX.

10、 19.（12 分）如图，四边形,ABCD CDEF都是边长为6的正方形，2=3BCF，四边形ABGH是矩形，平面ABGH 平面ABCD，平面EFGH 平面CDEF. （1）求直线BE与平面ABCD所成的角的正弦值； （2）在线段AB上是否存在一点M，使得DM/平面BEG； 若存在，求出BM的长，若不存在，请说明理由. 高三理科数学（模拟二）第4页(共 4 页) xyQPNMHlBAO20.（12 分）已知椭圆2222:1xyEab(0)ab的左、右顶点分别为( 2,0), (2,0)AB，点H是直线:1l x 上的动点，以点H为圆心且过原点的圆与直线l交于,M N两点.当点H在椭圆E上时，圆

11、H的半径为132. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线,AM AN与椭圆E的另一个交点分别为,P Q， 记直线,PQ OH的斜率分别为12,k k，判断12k k是否为定值？ 若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 21.（12 分）已知函数e( )lnln(1)(0)x af xxaax(e是自然对数的底数). （1）当1a 时，试判断( )f x在(1,)上极值点的个数； （2）当1e1a 时，求证：对任意1x ，1( )f xa. （二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面

12、直角坐标系xOy中， 已知曲线C的参数方程为22cos,sin2xy （为参数） ， 以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()04a. （1）求曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C相交于,A B两点，且4AOB，求a. 23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数|1|( )2xf x. （1）求不等式( )4xf x 的解集； （2）求( )(4)yf xf x的最小值. 高三理科数学参考答案（模拟二）第1页(共 6 页) 20220607 项目第二次模拟测试卷项目第二次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准

13、一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C B A D C D B B A C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分 135 14764 1523 163.9 三解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 题-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答 17 【解析】 （1）因为11(0)nnaxax，所以2+11(0)nnaxax， 2 分

14、两式相减可得dxd，因为0d ，所以1x ，则11nnaa，所以1d ， 4 分 因为11a ，所以1(1)naandn； 6 分 （2）因为nan，121( 1)nnnnnba a ， 所以2111( 1)( 1) (1)(1)nnnnbn nnn ， 9 分 则10111111111110( 1)()()().()1.223344510111111S 12 分 18. 【解析】因为学期高三学生体重指数服从正态分布2(23.9,3.3 )N， 则学期初期肥胖率： 1(23.93.323.93.3)1 0.6827(27.2)0.1586522PXP X， 2 分 4 月中旬教体局抽查时，学生

15、肥胖率为50.10.1586550， 4 分 又因为1(23.93.323.93.3)1 0.6827(27.2)0.1586522PXP X， (23.93.323.93.3)0.6827(23.927.2)0.3413522PXPX， (23.92 3.323.92 3.3)0.9545(17.323.9)0.4772522PXPX ， 1(23.92 3.323.92 3.3)1 0.9545(17.3)0.0227522PXP X ， 所以初期体重指数学生平均得分为 80 0.02275 100 0.47725+80 0.34135+60 0.1586586.372. 8 分 4 月中

16、旬教体局抽查时，体重指数学生平均得分为： 高三理科数学参考答案（模拟二）第2页(共 6 页) NHGFEDCBAMNHGFEDCBAzyxNHGFEDCBA80 3 100 2580 1760 58886.37250 ， 11 分 所以从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度来看学校采取措施的效果是较好的. 12 分 19. 【解析】方法一： （1）因为CDDA，CDDE， 所以CD 平面ADE，所以面ABCD 平面ADE， 过E作平面ABCD的垂线，垂足为N， 则点N在平面ABCD与平面ADE的交线AD的延长线上， 2 分 因为CDCB，CDCF， 所以FCB即为二面角FCDB的平面角， 同理

17、EDA也为二面角FCDB的平面角， 则23EDAFCB ，故132DNDE， 33 32ENDE， 4 分 所以3 13BN ，12BE ， 所以直线BE与平面ABCD所成的EBN的正弦值为sinENEBNBE34； 6 分 （2）因为平面ABGH 平面ABCD，所以GB 平面ABCD， 又因为EN 平面ABCD，所以ENGB，所以,E G B N四点共面， 8 分 又因为3DN ，6AD ，所以23ADAN， 所以当点M满足23AMAB时，DMBN， 10 分 因为BN 平面BEG，所以DM平面BEG， 所以在线段AB上存在一点M，当2BM 时，DM平面BEG. 12 分 方法二：因为CDD

18、A，CDDE， 所以CD 平面ADE， 过E作平面ABCD的垂线，垂足为N， 则点N在AD的延长线上， 2 分 因为CDCB，CDCF， 所以FCB即为二面角FCDB的平面角， 则23EDAFCB ，故132DNDE， 33 32ENDE， 以A为坐标原点，分别以,AD AB,AH为, x y,z轴建立空间直角坐标系， 因为26,3FCCBFCB，2GBCGFC ，所以6 3GBHA. 高三理科数学参考答案（模拟二）第3页(共 6 页) xyQPNMHlBAO4 分 （1）因为(9,0,3 3)E，(0,6,0)B，所以(9, 6,3 3)BE ， 平面ABCD的一个法向量为1(0,0,1)n

19、 ， 所以1113 33cos,4| |81 3627n BEn BEnBE ， 所以直线BE与平面ABCD所成的角的正弦值为34； 6 分 （2）假设在线段AB上是存在一点M，设(0,0)(06)Mmm， 因为(9,0,3 3)E，(0,6,0)B，(0,6,6 3)G，所以(9, 6,3 3)BE ，(0,0,6 3)BG ， 8 分 设平面BEG的法向量为2( , , )nx y z ，则2200BE nBG n ， 则963 306 30 xyzz，令2x ，则2(2,3,0)n ， 10 分 因为(0,0)Mm，(6,0,0)D，所以( 6,0)DMm ， 所以20DM n ，则4m

20、 ，则2BM ， 所以在线段AB上存在一点M，当2BM 时，DM平面BEG. 12 分 20. 【解析】 （1）由题意知2a ，因为22133()122，所以3(1,)2H，2 分 所以229141ab，所以23b ，即椭圆方程为22143xy； 4 分 （2）方法一：方法一：设(1,),(1, ),(1,)2mnMm Nn H， 因为MN为圆H的直径，所以0OM ON ，则1mn ，6 分 设直线:(2)3mAMyx，则22(2)3143myxxy， 整理得到2222(427)16(16108)0mxm xm, 所以2216108( 2)427Pmxm ，则22548427Pmxm，2364

21、27Pmym， 8 分 同理可得：22254836,427427QQnnxynn， 高三理科数学参考答案（模拟二）第4页(共 6 页) 所以2222122222222363636 (427)36 (427)427427548548(548)(427)(548)(427)427427PQPQmnyymnnmmnkmnxxmnnmmn 31112 mn ， 因为22mnk，所以123113112224mnkkmn . 12 分 方法二：方法二：(2)AMyk x：，(2)ANyt x：，可得3()(1,3 ),(1,3 ),(1,)2ktMkNtH， 因为OMON，所以91kt ， 6 分 由22

22、(2)143yk xxy，整理可得：2222(43)16(1612)0kxk xk， 所以221612( 2)43Pkxk ，则2226812,4343PPkkxykk， 8 分 同理可得：2226812,4343QQttxytt， 所以2212222121243311434368684()364343PQPQktyyktktkktxxktktkt ， 因为23()2kkt，所以123124kk . 12 分 21. 【解析】 （1）当1a 时，1e( )lnln2xf xxx， 则1122e(1)1(1)( )()1xxxxxfxexxxx， 2 分 设1( )e1xxxx，则( ) x在(

23、1,)为增函数. 当1x 时，( ) x ，(2)20e.所以存在0(1,2)x ，使得0()0 x.4 分 当0(1,)xx时，( )0 x，则( )0fx，即( )f x在0(1,)x为减函数； 当0(,)xx时，( )0 x，则( )0fx，即( )f x在0(,)x 为增函数； 所以函数( )f x在(1,)只有一个极值点，即唯一极小值点； 6 分 （2）由22e(1)1(1)( )(e)1x ax axxxfxxxxx， 设( )e1x axxx，则( ) x在(1,)为增函数. 高三理科数学参考答案（模拟二）第5页(共 6 页) 当1x 时，( ) x ，因为11e1a，11(1)

24、ee10aaaa . 所以存在0(1,1)xa，使得0000()e01xaxxx. 8 分 由于（1）可知0000e( )()lnln(1)xaf xf xxax 又因为000e1xaxx，所以0001()lnln(1)1f xxax， 即证：对任意00111,lnln(1)1xxaxa， 即证：对任意00111,lnln(1)1xxaxa. 10 分 设1( )ln (1)1g xx xx，则( )g x在(1,)单调递减， 因为0(1,1)xa，所以0()(1)g xg a，即0011lnln(1)1xaxa， 故对任意11,( ).xf xa 12 分 22. （10 分）选修 4-4：

25、坐标系与参数方程 【解析】 （1）因为曲线C的参数方程为22cossin2xy （为参数） 所以1cos2sin2xy ，所以曲线C的普通方程为22(1)1xy， 1 分 所以曲线C的极坐标方程为2cos. 3 分 因为直线l的极坐标方程为cos()04a， 所以cossin20a， 即直线l的直角坐标方程为20 xya. 5 分 （2）方法一：方法一：设曲线C的圆心为(1,0)C，因为点O在圆上，且4AOB， 所以2ACB，则点(1,0)C到直线l的距离为22， 7 分 所以|12 |222ad，则0a 或2a ， 9 分 当0a 时，直线l过原点O，不符合题意； 所以2a . 10 分 高

26、三理科数学参考答案（模拟二）第6页(共 6 页) 方法二：方法二：设1020(,), (,)4AB ，所以102cos，202cos()4，6 分 又因为点,A B在直线l上，所以10cos()04a，20cos()02a， 则00002coscos()2cos()cos()442， 8 分 则04或034，则0a 或2a ， 当0a 时，直线l过原点O，不符合题意； 所以2a . 10 分 23. （10 分）选修 4-5：不等式选讲 【解析】 （1）因为|1|( )2xf x，所以|1|24xx，则|1| 2xx， 1 分 112xxx ，解得1x ， 112xxx ，解得113x， 所以不等式的解集为1 ,)3； 5 分 （2）|1|3|1|3|( )(4)222 22xxxxyf xf x 7 分 |1| |3|42 22 28xx . 9 分 当且仅当1x 时，( )(4)yf xf x取得最小值 8. 10 分