新定积分几何应用课件.pptx

1、第八节第八节定积分的几何应用一、微元法一、微元法 二二 、平面图形的面积、平面图形的面积 第四四章 三、旋转体的体积以及三、旋转体的体积以及已知平行截面面已知平行截面面四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长积函数的立体体积积函数的立体体积回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、微元法一、微元法曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 当所求量当所求量U符合下列条件：符合下列条件：（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )

2、( ；b ,a（2）就是说，如果把区间就是说，如果把区间分成许多部分区间，分成许多部分区间，Ub ,a对于区间对于区间具有可加性，具有可加性，U相应地分成许多部分量，相应地分成许多部分量，则则U等于所有部分量之和；等于所有部分量之和；而而（1）Ub ,a是与某个变量是与某个变量的变化区间的变化区间有关的量；有关的量；微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法,ban设想把区间设想把区间分成分成个小区间，个小区间， 并记为并记为,dxxx ， 求出相应于这小区间的部分量求出相应于这小区间的部分量U 近似值近似值. U 上连续的在,ba若若 可近似地表示为可近

3、似地表示为某个函某个函数数处的值在x)(xf的乘积，区间长度dx与与dxxf)(U把把称为量称为量且记且记作作dU， 即即dxxfdU)( ； 2）取其中任一小区间取其中任一小区间的的的的微微元元xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积微元曲边梯形的面积微元 badxxfA)(曲边梯形的面积微元曲边梯形的面积微元 badxxfxfA)()(121. 直角坐标系情形直角坐标系情形xxxx x 二、平面图形的面积二、平面图形的面积dxxfdA)( dxxfxfdA)(-)(12 曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2

4、和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解 两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 ,0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223xx .31 2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63

5、于是所求面积于是所求面积21AAA 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAdxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式4 xyxy22 如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA 1t2t在在,)

6、 12t ,t（或（或例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab xo d面积元素面积元素 ddA2)(21曲边扇形的面积曲边扇形的面积.dA 2)(212.极坐标系情形极坐标系情形)( d 曲边扇形面积曲边扇形面积解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2s

7、in41sin2232a 0asa2in2 例例6 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . . 解解: : 利用对称性利用对称性, ,a2cos22 d2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为则所求面积为42a思考思考: : 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆asin2 所围公共部分的面积所围公共部分的面积 . .2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案: :旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转旋转轴轴圆柱圆柱圆锥圆锥1、旋

8、转体的体积、旋转体的体积圆台圆台三、立体体积三、立体体积取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，dxxfdV2)( 元元为为此此旋旋转转体体体体积积的的体体积积微微旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( xyoabxyoab)(xfy x（薄片法）（薄片法）解解xhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 直线直线 方程为方程为OPyrhPxodxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr )(yx dyy2)( dcVxyocd解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax

9、)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633a (柱壳法柱壳法)dx|xf|xVbay)(2 a2柱壳体积柱壳体积xxxdyyx2柱面

10、面积柱面面积xyxd2元元为为此此旋旋转转体体体体积积的的体体积积微微xydxdV2利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a dx|xf|xVbay)(2 a2解法解法122,x,x 取取积积分分变变量量利用柱壳法利用柱壳法ydxxdV)3(2 dxxxV 222)4)(3(2.64 dxxx)4)(3(22 解法解法2取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积微元为体积微元为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412d

11、yy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab2.2.已知平行截面面积的立体的体积已知平行截面面积的立体的体积xdxx 如果知道一个立体垂直于一定轴的各个截面面积，如果知道一个立体垂直于一定轴的各个截面面积，)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积那么，这个立体的体积也可用定积分来计算那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形截面面积截面面积,

12、tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R RR xyo x四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上任意插入是曲线弧上的两个端点，在弧上任意插入分点分点 BM,M,M,M,MAnni110定义定义当折线段的当折线段的最大最大边长边长 0 0时时, ,若折线的长度趋向于一个确定的极限若折线的长度趋向于一个确定的极限, ,则称则称此极限为曲线弧此极限为曲线弧 ABAB 的弧长的弧长 , ,即即iiMM1ni 10lims并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.

13、 .定理定理: : 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的. .( (证明略证明略) )iiMM12121)()( iiiiyyxx22)()(iiix fx iiMM1ni 10 lims而而iinix f21)(1 0 lim1、曲线弧由直角坐标方程给出、曲线弧由直角坐标方程给出:曲线弧方程为曲线弧方程为)(xfy ),(bxa 0M,yxfii )(令令xoyA1M2M1 nMBnM具具有有且且函函数数)(xf.连连续续导导函函数数BM,M,M,M,MAnni110,nb ,abxxxxan小区间小区间个个分成分成将将用分点用分点210 n,iy,xMMiiii21)(n,

14、i ,MMii211 与与连接连接,n,i ,yyy,xxxiiiiii2111 令令badxx fba 2)(1iinix f21)(1 0lim 因此所求弧长因此所求弧长xdysba 21设设,xdyxsxa 21)(则则,dxyds21 ,yx s21)( 即得即得弧微分弧微分(弧长微元弧长微元)也可写成也可写成.dydxds222)()()( 曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t2、曲线弧由参数方程给出、曲线弧由参数方程给出:弧长微元弧长微元: :因此所求弧长因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs其中其中)(),(tt 在在, 上具有连

15、续导数上具有连续导数.曲线弧为曲线弧为)( )( yx)sin()cos()( ds,d )()(22弧长弧长.ds )()(223 3、曲线弧由极坐标方程给出、曲线弧由极坐标方程给出: :解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 解解 taytax33sincos根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 解解,a ds)()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 作作 业业 P316 1(2)(6) 2(1) 3(2) 6. 7. 9(1)(6)10(1)(3)12(1)(2) 13. 14.