2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题 解答版.doc

1、一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合，则集合中元素的个数为_.【答案】5【解析】试题分析：考点：集合运算2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为_.【答案】6考点：平均数3.设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_.【答案】【解析】试题分析：考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_.S1I1While I10 SS2 II3End WhilePrint S（第4题图）【答案】7【解析】试题分析：第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;结束循环，输出考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1

2、只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.【答案】考点：古典概型概率6.已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 的值为_.【答案】【解析】试题分析：由题意得：考点：向量相等7.不等式的解集为_.【答案】【解析】试题分析：由题意得：，解集为考点：解指数不等式与一元二次不等式8.已知，则的值为_.【答案】3【解析】试题分析：考点：两角差正切公式9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 【答案】【解析】试题分析：由体积相等得：考点

3、：圆柱及圆锥体积10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】考点：直线与圆位置关系11.数列满足，且（），则数列的前10项和为 【答案】【解析】试题分析：由题意得：所以考点：数列通项，裂项求和12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 【答案】【解析】试题分析：设，因为直线平行于渐近线，所以c的最大值为直线与渐近线之间距离，为考点：双曲线渐近线，恒成立转化13.已知函数，则方程实根的个数为 【答案】4考点：函数与方程14.设向量，则的值为 【答案】【解析】试题分析：因此考点：向量数量积

4、，三角函数性质二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在中，已知.（1）求的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】考点：余弦定理，二倍角公式16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，.求证：（1）； （2）.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得考

5、点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理17.（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； 当t为何值时，公路l的长

6、度最短？求出最短长度.【答案】（1）（2）定义域为，千米（2）由（1）知，（），则点的坐标为，设在点处的切线交，轴分别于，点，考点：利用导数求函数最值，导数几何意义18.（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）（2）或（2）当轴时，又，不合题意当与轴不垂直时，设直线的方程为，将的方程代入椭圆方程，得，则，的坐标为，且若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意从

7、而，故直线的方程为，则点的坐标为，从而因为，所以，解得此时直线方程为或考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系19.（本小题满分16分） 已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c的值.【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减；当时， 在，上单调递增，在上单调递减（2）考点：利用导数求函数单调性、极值、函数零点20.（本小题满分16分） 设是各项为正数且公差为d的等差数列 （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等

8、比数列，并说明理由.【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在（2）令，则，分别为，（，）假设存在，使得，依次构成等比数列，则，且令，则，且（，），化简得（），且将代入（）式，则显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在，使得，依次构成等比数列（3）假设存在，及正整数，使得，依次构成等比数列，则，且分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），则，且将上述两个等式两边取对数，得，且化简得，且再将这两式相除，化简得（）令，则令，则令，则令，则由，知，在和上均单调故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立所以不存在，及正整数，使得，依次构成等比数列考点：等差、等比数列的定义及性

9、质，函数与方程附加题21.A（选修41：几何证明选讲） 如图，在中，的外接圆圆O的弦交于点D求证：ABCEDO（第21A题）【答案】详见解析考点：三角形相似21.B（选修42：矩阵与变换）已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值.【答案】,另一个特征值为【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值试题解析：由已知，得，即，则，即，所以矩阵从而矩阵的特征多项式，所以矩阵的另一个特征值为考点：矩阵运算，特征值与特征向量21.C（选修44：坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.【答案】考点：圆的极

10、坐标方程，极坐标与之间坐标互化21.D（选修45：不等式选讲）解不等式【答案】【解析】试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可试题解析：原不等式可化为或解得或综上，原不等式的解集是考点：含绝对值不等式的解法22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,. （1）求平面与平面所成二面角的余弦值； （2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长PABCDQ【答案】（1）（2）考点：空间向量、二面角、异面直线所成角23.（本小题满分10分）已知集合，令表示集合所含元素的个数.（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）下面用数学归纳法证明：当时，结论成立；假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，考点：计数原理、数学归纳法 更多精品word总结，可以关注数海之旅公众号20读者QQ群228046175