(新教材)2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：6.2.1-向量的加法运算.ppt

1、6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算基础预习初探基础预习初探分析下列实例分析下列实例:(1):(1)飞机从广州飞往上海飞机从广州飞往上海, ,再从上海飞往北京再从上海飞往北京( (如图如图),),这两次位这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的. . (2)(2)有两条拖轮牵引一艘轮船有两条拖轮牵引一艘轮船, ,它们的牵引力分别是它们的牵引力分别是F F1 1=3 000 N,F=3 000 N,F2 2=2 000 N,=2 000 N,牵牵引绳之间的夹角为引绳之间的夹角为=60=60( (如图如图),),如果只用一条拖轮来

2、牵引如果只用一条拖轮来牵引, ,也能产生跟原来也能产生跟原来相同的效果相同的效果. . 【思考思考】1.1.从物理学的角度从物理学的角度, ,上面实例中位移、牵引力说明了什么上面实例中位移、牵引力说明了什么? ?体现了向量体现了向量的什么运算的什么运算? ?2.2.上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则? ?提示提示: :1.1.后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移, ,四边形四边形OACBOACB的对角线的对角线 表示表示的力是的力是 与与 表示的力的合力表示的力的合力. .体现了向量的

3、加法运算体现了向量的加法运算. .2.2.三角形法则和平行四边形法则三角形法则和平行四边形法则. .OC OAOB 【概念生成概念生成】1.1.向量加法的定义向量加法的定义求两个向量求两个向量_,_,叫做向量的加法叫做向量的加法. .和的运算和的运算2.2.向量求和的法则向量求和的法则 向量求和向量求和的法则的法则 三角形三角形法则法则已知非零向量已知非零向量a, ,b, ,在平面上任取一点在平面上任取一点A,A,作作 = =a, , = =b, ,则向量则向量 叫做叫做_, ,记作记作_, ,即即a+ +b= + = .= + = .当当a, ,b不共线时不共线时, ,这种求向量和的方法这种

4、求向量和的方法, ,称为向量加称为向量加法的法的_法则法则. .对于零向量与任一向量对于零向量与任一向量a的和有的和有_ AB BC AC a与与b的和的和a+ +bAB BC AC 三角形三角形a+0=0+0=0+a= =a. .向量求向量求和的法和的法则则平行四边形平行四边形法则法则以同一点以同一点O O为起点的两个已知向量为起点的两个已知向量a, ,b为邻边作为邻边作 OACB,OACB,则以则以O O为起点的对角线为起点的对角线 就是就是a与与b的和的和. .把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的_法则法则OC 平行四边形平行四边形向量的加法运算满

5、足交换律向量的加法运算满足交换律: :a+b=b+a向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义. .核心互动探究核心互动探究探究点一向量加法运算法则的应用探究点一向量加法运算法则的应用【典例典例1 1】如图如图, ,已知向量已知向量a, ,b, ,c, ,求作和向量求作和向量a+ +b+ +c. . 【思维导引思维导引】有两种方法作图有两种方法作图: :方法一方法一: :让两个向量首尾相接让两个向量首尾相接, ,作出和向量再和第三个向量首尾相接作出和向量再和第三个向量首尾相接. .方法二方法二: :让两个向量

6、有共同起点相加让两个向量有共同起点相加, ,再和第三个向量相加再和第三个向量相加. .【解析解析】方法一方法一: :可先作可先作a+ +c, ,再作再作( (a+ +c)+)+b, ,即即a+ +b+ +c. .如图如图, ,首先在平面内任取一首先在平面内任取一点点O,O,作向量作向量 = =a, ,接着作向量接着作向量 = =c, ,则得向量则得向量 = =a+ +c, ,然后作向量然后作向量 = =b, ,则向则向量量 = =a+ +b+ +c为所求为所求. .OB OAAB BC OC 方法二方法二: :三个向量不共线三个向量不共线, ,用平行四边形法则来作用平行四边形法则来作. .如图

7、如图,(1),(1)在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,作作 = =a, =, =b. .(2)(2)作平行四边形作平行四边形AOBC,AOBC,则则 = =a+ +b. .(3)(3)再作向量再作向量 = =c. .(4)(4)作平行四边形作平行四边形CODE,CODE,则则 = += +c= =a+ +b+ +c. . 即为所求即为所求. .OB OAOC OD OE OC OE 【类题通法类题通法】应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)(1)三角形法则可以推广到三角形法则可以推广到n n个向量求和个向量求和, ,作图时要求作图时要求

8、“首尾相连首尾相连”, ,即即n n个首尾个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n n个向量的终点的向量个向量的终点的向量. .(2)(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和平行四边形法则只适用于不共线的向量求和, ,作图时要求两个向量的起点重作图时要求两个向量的起点重合合. .(3)(3)求作三个或三个以上的向量的和时求作三个或三个以上的向量的和时, ,用三角形法则更简单用三角形法则更简单. .提醒提醒: :(1)(1)三角形法则中强调三角形法则中强调“首尾相接首尾相接”, ,平行四边形法则中强调的是平行四边形法则中强调的是

9、“共起共起点点”; ;(2)(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和三角形法则适用于任意两个非零向量求和, ,而平行四边形法则仅适用于不共而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和线的两个向量求和. . 【定向训练定向训练】如图如图, ,已知已知向量向量a, ,b, ,求作向量求作向量a+ +b. . 【解析解析】( (1)1)作作 = =a, =, =b, ,则则 = =a+ +b, ,如图如图(1).(1).(2)(2)作作 = =a, =, =b, ,则则 = =a+ +b, ,如图如图(2).(2).(3)(3)作作 = =a, =, =b, ,则则 = =a+ +b, ,如图如图

10、(3).(3).OAOB OAOB AB AB OAOB AB 【补偿训练补偿训练】如图所示如图所示, ,设设O O为正六边形为正六边形ABCDEFABCDEF的中心的中心, ,求下列向量求下列向量: : (1) ;(1) ;(2) .(2) .【解析解析】(1(1) )由图可知由图可知, ,四边形四边形OABCOABC为平行四边形为平行四边形, ,所以由向量加法的平行四边形法则得所以由向量加法的平行四边形法则得 . .(2)(2)由图可知由图可知, , ,所以所以 OAOC BCFE OAOCOB BCFEODAO BCFEAOODAD. 探究点二向量加法运算律的应用探究点二向量加法运算律的

11、应用【典例典例2 2】化简下列各式化简下列各式:(1) (2) :(1) (2) 【思维导引思维导引】首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连, ,然后利用向量然后利用向量加法的结合律求和加法的结合律求和. .AB DF CD BC FA ；AB DE)CD BC EA. （【解析解析】(1) (1) (AC CD)(DF FA)AD DA 0. AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA 2 (AB DE) CD BC EA(AB BC)(CD DE)EAAC CE EA AE EA 0. （ ）【类题通法类题通法】向量运算中化简的

12、两种方法向量运算中化简的两种方法(1)(1)代数法代数法: :借助向量加法的交换律和结合律借助向量加法的交换律和结合律, ,将向量转化为将向量转化为“首尾相接首尾相接”, ,向量向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量. .有时也需将一个向有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量量拆分成两个或多个向量. .(2)(2)几何法几何法: :通过作图通过作图, ,根据三角形法则或平行四边形法则化简根据三角形法则或平行四边形法则化简. .提醒提醒: :利用代数方法通过向量加法的交换律利用代数方法通过向量加法的交换律, ,使各向量使各向量“首

13、尾相连首尾相连”, ,通过向量通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序加法的结合律调整向量相加的顺序. .【定向训练定向训练】设设A,B,C,DA,B,C,D是平面上任意四点是平面上任意四点, ,试化简试化简: : 【解析解析】 AB CD BC ；DB AC BD CA. AB CD BC (AB BC)CD AC CD AD. DB AC BD CA (DB BD)(AC CA)0 0 0. 探究点三向量加法的实际应用探究点三向量加法的实际应用【典例典例3 3】在某地抗震救灾中在某地抗震救灾中, ,一架飞机从一架飞机从A A地按北偏东地按北偏东3535的方向飞行的方向飞行800 km800

14、km到达到达B B地接到受伤人员地接到受伤人员, ,然后又从然后又从B B地按南偏东地按南偏东5555的方向飞行的方向飞行800 km800 km送往送往C C地医地医院院, ,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. .【思维导引思维导引】解答本题首先正确画出方位图解答本题首先正确画出方位图, ,再根据图形借助于向量求解再根据图形借助于向量求解. .【解析解析】如图所示如图所示, ,设设 , , 分别表示飞机从分别表示飞机从A A地按北偏东地按北偏东3535的方向飞行的方向飞行800 km,800 km,从从B B地按南偏东地按南偏东5555的方向飞行的方向飞行

15、800 km.800 km.则飞机飞行的路程指的是则飞机飞行的路程指的是| |+| |;| |+| |;两次飞行的位移的和指的是两次飞行的位移的和指的是 + = .+ = .依题意依题意, ,有有| |+| |=800+800=1 600(km).| |+| |=800+800=1 600(km).又又=35=35,=55,=55,ABC=35,ABC=35+55+55=90=90. .所以所以| |= | |= 从而飞机飞行的路程是从而飞机飞行的路程是1 600 km,1 600 km,两次飞行的位移和的大小为两次飞行的位移和的大小为800 km.800 km.AB BC AB BC AB

16、BC AC AB BC AC 2222|AB|BC|800800800 2 km . （）2【类题通法类题通法】应用向量加法解决物理学问题的基本步骤应用向量加法解决物理学问题的基本步骤(1)(1)表示表示: :用向量表示相关的量用向量表示相关的量, ,将所有解决的问题转化为向量的加法问题将所有解决的问题转化为向量的加法问题. .(2)(2)运算运算: :应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则, ,进行相关运算进行相关运算. .(3)(3)还原还原: :根据向量运算的结果根据向量运算的结果, ,结合向量共线、相等概念回答原题结合向量共线、相等概念回答原题

17、. .易错警示易错警示: :在根据实际问题转化为向量问题时在根据实际问题转化为向量问题时, ,由于对实际问题的审题不准确导由于对实际问题的审题不准确导致解题错误致解题错误. .【定向训练定向训练】如图如图, ,用两根绳子把重用两根绳子把重10 N10 N的物体的物体W W吊在水平杆子吊在水平杆子ABAB上上,ACW=150,ACW=150, ,BCW=120BCW=120, ,求求A A和和B B处所受力的大小处所受力的大小( (绳子的重量忽略不计绳子的重量忽略不计).). 【解析解析】如图如图, ,设设 、 分别表示分别表示A,BA,B所受的力所受的力,10 N,10 N的重力用的重力用 表

18、示表示, ,则则 易得易得ECG=180ECG=180-150-150=30=30, ,FCG=180FCG=180-120-120=60=60, ,所以所以| |=| |cos 30| |=| |cos 30=10=10 =5 . =5 .| |=| |cos 60| |=| |cos 60=10=10 =5. =5.所以所以A A处所受的力的大小为处所受的力的大小为5 N,B5 N,B处所受的力的大小为处所受的力的大小为5 N.5 N.CE CFCG CECFCG. CE CG 323CFCG 123【补偿训练补偿训练】一艘船以一艘船以5 km/h5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶的

19、速度向垂直于对岸的方向行驶, ,航船实际航行方向与水流方航船实际航行方向与水流方向成向成3030角角, ,求水流速度和船实际速度的大小求水流速度和船实际速度的大小. .【解析解析】如图所示如图所示, , 表示水流速度表示水流速度, , 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度表示船垂直于对岸的方向行驶的速度, , 表示船实际航行的速度表示船实际航行的速度,AOC=30,AOC=30,| |=5.,| |=5.因为四边形因为四边形OACBOACB为矩形为矩形, ,所以所以 所以水流速度大小为所以水流速度大小为5 km/h,5 km/h,船实际速度大小为船实际速度大小为10 km/h.10 km/h.OA

20、OB OC OB |AC|OB|OA|5 3 |OC|10tan 30sin 30 ，3【课堂小结课堂小结】课堂素养达标课堂素养达标1.1.化简化简 的结果等于的结果等于( () )A. A. B. B. C. C. D. D. 【解析解析】选选B. B. OPPQPSSP QP OQ SPSQ OP PQ PS SP OQ 0 OQ. 2.2.在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中, ,下列结论中错误的是下列结论中错误的是( () )【解析解析】选选C.C.因为因为 , ,所以所以C C错误错误. .A.AB DC B.AD AB ACC.AB BD AD D.AD CB 0 AB A

21、D DBBD AD 3.3.下列等式错误的是下列等式错误的是( () )A.a+0=0+a=aA.a+0=0+a=aB. B. C. C. D. D. 【解析解析】选选B.B.由向量加法可知由向量加法可知 AB BC AC 0 AB BC AC CA AC MN NP PM AB BC AC AC AC0. 4.4.在矩形在矩形ABCDABCD中中, ,若若AB=3,BC=2,AB=3,BC=2,则则| |=_.| |=_.【解析解析】因为因为 且且AC= ,AC= ,所以所以 答案答案: : AB BC AB BC AC ，22ABBC13|AB BC|13. 135.5.已知向量已知向量a,b,c,a,b,c,如图如图, ,求作求作a+b+c.a+b+c. 【解析解析】在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,作作 = =a, =, =b, =, =c, ,如图如图, ,则由向量加法的三角形法则则由向量加法的三角形法则, ,得得 =a+b, =a+b+c, =a+b, =a+b+c, 即为所作向量即为所作向量. .OAAB BC OB OC OC