《理论力学》期末复习资料.ppt课件.ppt

1、一、质点运动学：一、质点运动学：rdtvdardtrdvrr 1 1、直角坐标分量式：、直角坐标分量式：zky jxirzvayvaxvazzyyxx 2 2、平面极坐标分量：、平面极坐标分量：rrr0rvrvr rrarrar223 3、自然坐标分量、自然坐标分量dtdsv dtdvavan2ddszvyvxvzyx大小大小大小大小)(),(ttrr1二、质点动力学：二、质点动力学：牛顿运动定律牛顿运动定律_三条推论三条推论、自然坐标分量式平面极坐标分量式直角坐标分量式3. 2. 1amF三、非惯性系力学：三、非惯性系力学： rv vv. 10 v2) r( rdtda aa. 202) (

2、. 30vmrmrdtdmamFam0FmrFududuh)()(22220zFyFyz,0 xFzFzx0yFxFxy2比耐公式比耐公式四、质点组动力学四、质点组动力学1 1、三条基本定理：、三条基本定理：动能定理及其守恒定律对质心的动量矩定理：律动量矩定理及其守恒定质心运动定理：动量定理及其守恒定律.(3)F rdtJd.(2)Frm).1 (ieiicieic 2 2、柯尼希定理：、柯尼希定理：iiicrmmvT222121对平面平行运动刚体：对平面平行运动刚体：222121ccImvT3 3、变质量运动微分方程：、变质量运动微分方程：ieiFudtdmdtvmd)(3五、刚体力学五、刚

3、体力学：（：（平面平行运动）平面平行运动）1 1、运动学：、运动学： 特点：特点： 对任何基点都相同。对任何基点都相同。 刚体上任何一点的速度和加速度刚体上任何一点的速度和加速度) (rrdtdaarvvApAp 瞬心：瞬心：纯滚动条件0v0,vAr rx,rx,rxccc作水平面纯滚动：2 2、静力学、静力学( (平衡条件平衡条件) )：iieiiiieiFrMF0043 3、动力学：、动力学：基本动力学方程：基本动力学方程：iiCiiyiixcMFFxm ccIymiiciincniicFmaFmaFrm 2 22mR52I,ml121I21I球杆圆盘，mR动能定理：动能定理：EVI21m

4、v21d)I21mv21(d2c2c2c2c机械能守恒W六、分析力学：六、分析力学：1 1、虚功原理：、虚功原理：0zFyFxF, 0rFiiiziiyiixiii适用条件：理想约束，质点组和刚体适用条件：理想约束，质点组和刚体 可求约束力可求约束力5解题步骤：解题步骤： 选对象和确定选对象和确定q 找主动力找主动力 建立坐标系，列出虚功方程建立坐标系，列出虚功方程 将虚位移化成独立变量将虚位移化成独立变量 令独立的虚位移前的系数等于零，解出结果令独立的虚位移前的系数等于零，解出结果2 2、拉氏方程：、拉氏方程：sQqTqT , 2 , 1,dtdsqLqL , 2 , 1, 0dtd解题步骤

5、：解题步骤： 选研究系统选研究系统 取广义坐标取广义坐标 求求 或或 QL)(VTL 列出拉氏方程列出拉氏方程 解出结果解出结果6 1、判断一个力场是不是保守力场的判据是？ 力场存在势能的充要条件是？保守力做功特点？ 质点组机械守恒条件是？ 2、由？定理可推出可变质量动力学方程，其表达式为？ 3、在定、动坐标原点重合的空间转动坐标系中，质点所受的牵连惯性力有？科氏惯性力为？ 4、比耐公式适用条件？一质点受有心力 作用，负号表示有心力为？力，则列出求解其轨道的微分方程为？ 5、质点系的内力不能改变？则能改变？概念举例：概念举例：2rkmF7 6、水面上浮着一只小船。如果船上一人向船尾走去，则船向

6、？移动，若水的阻力不计，人和船组成的系统其质心速度为？质心加速度为？ 7、研究平面平行运动刚体的运动学规律时基点可任意选取吗？ 研究其动力学问题时基点可任意选取吗？ 通常取哪一点为基点？ 8、作平面平行运动刚体上任一点的速度公式和加速度公式为？ 9、在光滑的水平面上放一半径为r，质量为m1的圆环，有一质量为m2的甲虫沿此环爬行，则由甲虫和圆环组成的系统所受的外力矢量和为？质心加速度为？8例例1 1、已知质点的运动方程：已知质点的运动方程：求轨道、速度、加速度的大小。求轨道、速度、加速度的大小。计算题举例：计算题举例：ct21,aerbtct2解解：轨道方程为：轨道方程为：cbaer2btabe

7、r bteabr2 c212222242cbrrrv)4()2()(22222cbrrrrra 9例例2 2、一质点作平面运动，在选定的极坐标系下径向速度和横向速度分别为一质点作平面运动，在选定的极坐标系下径向速度和横向速度分别为恒量恒量c1和和c2。求质点的轨迹方程和加速度的大小。设。求质点的轨迹方程和加速度的大小。设t0时时r= =b，= = 0。0r 0 rr221rccrr rc2rccrrrarcrrrar2122222 2221222ccrcaaar解：解：dtcdrrbt01质点的轨道方程为质点的轨道方程为: :已知已知tcbr1ln)ln(1120012btcbccdttcbc

8、dtbrccln1221ccber 1cr 2cr10例例3 3、已知质点的运动方程已知质点的运动方程 x=2*m*sin(t/3)，y=2*m*cos(t/3)。求其轨。求其轨道方程和曲率半径，切向加速度和法向加速度。道方程和曲率半径，切向加速度和法向加速度。 0dtdvamvan2292tmx3cos32tmy3sin32222294myxv解：解：2224myx质点的轨道方程为质点的轨道方程为m211例例4 4、一质点受有心力一质点受有心力 作用，列出求解其作用，列出求解其轨道的微分方程。轨道的微分方程。2rkmF解：解：222hkududmrFududuh)()(222222kmurk

9、mF例例5 5、如下图所示，船长为如下图所示，船长为L=2=2a，质量为，质量为M的小船，在船头上站一质量为的小船，在船头上站一质量为m的的人，人，如不计水的阻力。试证当人非匀速从船头走到船尾时，船移动的距离为多少如不计水的阻力。试证当人非匀速从船头走到船尾时，船移动的距离为多少? ?解：解：00cvt时ieiF0)(0camM)x(mMxx1010c0amM)x(mMxx11caMm2mxxxx101cc0aLx01213例例6 6、如图所示质量为如图所示质量为m的质点，在光滑的水平圆盘面上沿着弦的质点，在光滑的水平圆盘面上沿着弦AB滑动，圆滑动，圆盘以匀角速盘以匀角速绕铅重轴绕铅重轴c转动

10、，如质点被两个弹簧系住，弹簧的倔强系数各转动，如质点被两个弹簧系住，弹簧的倔强系数各为为k，质点在，质点在O点时弹簧未形变。求质点的振动周期。点时弹簧未形变。求质点的振动周期。yx21TTrm2vm2hcoscos22rxxhxxmxkxm2 02xmmkx 222mkmxmrmxk cos2解：解：14例例7 7、有一链条，堆放在一倾角为有一链条，堆放在一倾角为 的斜面底边，的斜面底边，今用一沿光滑斜面向上的力今用一沿光滑斜面向上的力F拉链条，使链条以拉链条，使链条以加速度加速度a沿斜面作匀加速运动，试求此力沿斜面作匀加速运动，试求此力F与链与链条在斜面上的长度条在斜面上的长度x函数关系。设

11、链条的质量线函数关系。设链条的质量线密度为密度为 。mg解解：0u根据可变质量运动微分方程可得：根据可变质量运动微分方程可得：sin)(mgFdtmvd2sinsinvmamgdtdmvdtdvmmgFaxv22)sin3(gaxF15例例8 8、已知均质圆柱、已知均质圆柱A与滑轮与滑轮B的质量均为的质量均为m1，半径相同，圆柱，半径相同，圆柱A向下作纯滚向下作纯滚动，物体动，物体C的质量为的质量为m2，斜面不光滑，斜面不光滑，A、B轮轴处摩擦不计。求圆柱轮轴处摩擦不计。求圆柱A质质心加速度及绳子对心加速度及绳子对C物的拉力。物的拉力。解：解：（1）分别取）分别取圆柱圆柱A、滑轮、滑轮B球球

12、和物体和物体C为研究对象为研究对象（2）受力分析、运动分析）受力分析、运动分析2T1T1Tfgm2gm1N2212121)(rmrTT滑轮滑轮BamgmT222物体物体CcamTfgm111sin12121rmfr 圆柱圆柱Agmmmmac21212singmmmmmmmT)2( 2sin)2(3212121211gmmmmmT221112)2sin2(vA,CvC21rraac约束条件：约束条件：纯滚动纯滚动、绳子刚性（不可伸长）绳子刚性（不可伸长）16例例9 9、质量为质量为M、半径为、半径为R的匀质圆柱放在粗糙的斜面上，斜面的倾角为的匀质圆柱放在粗糙的斜面上，斜面的倾角为 ，圆柱外绕有细

13、绳，绳子跨过一轻滑轮，并悬挂一质量为圆柱外绕有细绳，绳子跨过一轻滑轮，并悬挂一质量为m的物体。设圆柱的物体。设圆柱体作纯滚动，圆柱体和滑轮间的绳子与斜面平行，求被悬挂物体的加速度体作纯滚动，圆柱体和滑轮间的绳子与斜面平行，求被悬挂物体的加速度及绳子中的张力。及绳子中的张力。 解：解：RaaRaMRRfTMaMgfTmaTmgTTT12121221,21)(sinmMgmMTgmMMmaa83)sin43(83)sin2(42)(rrdtdaaAp17例例1010、半径为半径为r r的实心匀质圆柱质量为的实心匀质圆柱质量为m1，其中部绕以细绳，再绕过滑轮，其中部绕以细绳，再绕过滑轮B与物体与物体

14、A相连，物相连，物A的质量为的质量为m2，物，物A与水平面间的摩擦系数为与水平面间的摩擦系数为m m，试求物体，试求物体A A和圆柱中心和圆柱中心C的加速度各为多少？（滑轮与绳子的质量均忽略不计）的加速度各为多少？（滑轮与绳子的质量均忽略不计） TTgm1gm2fN解：解：21112221rmIamTgmgmfamfTcAmraaTrIAc解上述方程得：解上述方程得： gmmmmaA212133mgmmmmac21213)2(m18例例1111、（作业（作业3.23.2）长为长为2 2L的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒身则如图示斜靠在与墙相距为身则如图示斜靠在与

15、墙相距为d（dLcos ）的光滑棱角上。用虚的光滑棱角上。用虚功原理求出棒在平衡时与水平面所成的角功原理求出棒在平衡时与水平面所成的角 。mgxyo)tansin(dLyc0)seccos(2dLyc0)seccos(2dLmgLd3cos解解：0cymg虚功原理方程虚功原理方程19例例1212、如下图所示的机构，已知各杆长为如下图所示的机构，已知各杆长为L，弹簧的原长，弹簧的原长L，弹性系数，弹性系数 k，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量忽略不计。试用虚功原理求平衡，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量忽略不计。试用虚功原理求平衡时时p的大小与角度的大小与角度 之间的关系。之间的关系。 TTyxo解

16、：解：02ADypxTsincosLxLxDDcos2sin2LyLyAA)tansin2(tan)cos2(tankLLLkTp0)cos2sin2(pLTL0cos2sin2pLTL20例例1313、如下图所示的机构，已知各杆长为如下图所示的机构，已知各杆长为L，弹簧的原长也，弹簧的原长也L，弹性系数为，弹性系数为 k，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量也忽略不计。试用虚功原理求平衡时，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量也忽略不计。试用虚功原理求平衡时 p的大小与角度的大小与角度 之间的关系。之间的关系。oTTxy解：根据虚功原理得：解：根据虚功原理得： 02cbypxT)cos1 (2Lxbsi

17、n2Lxbsin2LLyccos2Lyc0)cos2sin2cos2(pLLkLsin21kLp 21例例14、用光滑铰链连成一六边形，六根杆同长用光滑铰链连成一六边形，六根杆同长l同重同重w，其中一杆用螺钉固，其中一杆用螺钉固定在天花板上，上下杆的中点用一细绳相连接，绳长定在天花板上，上下杆的中点用一细绳相连接，绳长a（a 2l），求绳中张），求绳中张力。力。解：解：06BEyTywcos,sinlylyEEcos2,sin2lylyBB0)cos2cos6(TlwlwT 3w6TTE22例例15、如图的机构中，如图的机构中，AB=BC=L，BE=BD=b，弹簧的倔强系数为，弹簧的倔强系数为

18、k，当，当x=a时，弹簧拉力为零，该系统在力时，弹簧拉力为零，该系统在力F作用作用下平衡，杆重不计。求平衡时下平衡，杆重不计。求平衡时x=?TTyx解解： 根据虚功原理列出方程：根据虚功原理列出方程： 0EDcxTxTxFcos)(cos)(cos2bLxbLxLxxEDc代入上面的方程可得：代入上面的方程可得：FbLT Lx2cos)cos2cos2(0bbkT)cos2(aLbbkTLbab0cos222kbFLax)22(aLbLxbkFbL230sinlg 例例16、试用牛顿方法和拉氏方法证明单摆的运动微分方程试用牛顿方法和拉氏方法证明单摆的运动微分方程其中其中 为摆线与铅直线之间的夹

19、角，为摆线与铅直线之间的夹角，l为摆线长度为摆线长度。sinmgml 0sinlg 解：解： （1 1）用牛顿法：）用牛顿法： （2 2）用拉氏方法：）用拉氏方法： qcos2122mglmlVTL0sinlg 0LLdtd0sin2mglml mgTl240sinrg 例例17、试用牛顿方法和拉氏方法证明质点的运动微分方程试用牛顿方法和拉氏方法证明质点的运动微分方程（2 2）用拉氏方法：）用拉氏方法： qcos2122mgrmrVTL0sinrg sinmgmr 0sinrg (1)(1)用牛顿法：用牛顿法： 解：解：mgN0LLdtd0sin2mgrmr 25例例18、设有一与弹簧相连的滑

20、块设有一与弹簧相连的滑块A，其质量为，其质量为m1，它可沿光滑水平面无摩擦，它可沿光滑水平面无摩擦来回滑动。弹簧的弹性系数为来回滑动。弹簧的弹性系数为k。在滑块。在滑块A上又连一单摆。摆的质量为上又连一单摆。摆的质量为m2，摆，摆长为长为l（杆子的质量不计）。试用拉氏方程列出该系统的运动微分方程（杆子的质量不计）。试用拉氏方程列出该系统的运动微分方程。解：解：（1）取）取m1+ +m2+ +弹簧为研究系统，此弹簧为研究系统，此系统除了保守力之外，其它力均不作虚功系统除了保守力之外，其它力均不作虚功可以用保守系拉氏方程求解。可以用保守系拉氏方程求解。（2）选广义坐标：）选广义坐标：21,qxq取

21、弹簧原长时取弹簧原长时A所在的位置为坐标原点。所在的位置为坐标原点。（3）求）求T，V，L：222212121vmxmT方法一：方法一：cos222222l xlxv方法二：方法二：sincoscossin2222lylxxlylxxcos2222222222l xlxyxv26cos21),cos2(212122222221glmkxVl xlxmxmTlgmkxl xlmxmmVTLcos21)cos2(21)(2122222221（4 4）列出拉氏方程）列出拉氏方程0sincos00sincos)(022221gxlLLdtdkxlmlmxmmxLxLdtd （5 5）解方程得出结果。）

22、解方程得出结果。sin1cos，00)(22221gxlkxlmlmxmm 若系统做微振动若系统做微振动27例例19、一滑轮可绕过轮心的水平轴转动。在此轮上绕过一条不可伸长的轻一滑轮可绕过轮心的水平轴转动。在此轮上绕过一条不可伸长的轻绳，绳的一端悬一砝码，质量为绳，绳的一端悬一砝码，质量为m，另一端则固定在一铅直弹簧上，弹簧，另一端则固定在一铅直弹簧上，弹簧下端连地，弹簧的弹性系数为下端连地，弹簧的弹性系数为k，已知滑轮的质量为，已知滑轮的质量为M，其质量分布在轮缘，其质量分布在轮缘上。试用拉氏方程求砝码的振动周期。（以弹簧未伸长时砝码所在位置为上。试用拉氏方程求砝码的振动周期。（以弹簧未伸长

23、时砝码所在位置为坐标原点坐标原点O）oxx00 xLxLdtd0)(mgkxxMm 0)(kmgxmmkx kmgxy0yMmky kMmT22解：解： 取 xq 12222)(212121xMmMrxmT2221)(21kxMgHmgxxMmVTL28例例20、质量为质量为m1的质点被限止在水平固定的光滑直线的质点被限止在水平固定的光滑直线ox上滑动，另一质量为上滑动，另一质量为m2的质点以长为的质点以长为a的轻杆（杆质量不计）和的轻杆（杆质量不计）和m1相连，此杆仅能在通过固定直相连，此杆仅能在通过固定直线的竖直平面内运动，如图所示，设此两质点只受重力作用，试用拉格朗日线的竖直平面内运动，如图所示，设此两质点只受重力作用，试用拉格朗日方程得出此系统的运动微分方程。方程得出此系统的运动微分方程。y解：解： 取取 21,qxqO点为零势点点为零势点sin)(2121222222211glmyxmxmVTLsincos212lylxxcossin212lylxxsin)cos()sin(212122212211glmllxmxmL0 xLxLdtd0LLdtd0cossin)(222121 amamxmm0cossin1xa