一《周髀算经》与弦图课件.ppt

1、中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝中国传统数学的形成与兴盛：公元前中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至世纪至公元公元14世纪。分成三个阶段：两汉时期；魏晋世纪。分成三个阶段：两汉时期；魏晋南北朝时期；宋元时期。南北朝时期；宋元时期。主要数学典籍：主要数学典籍：周髀算经周髀算经与与九章算术九章算术等等古代数学家：刘徽、祖冲之父子等古代数学家：刘徽、祖冲之父子等中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成 1983 198319841984年间考古学家在湖北江陵张家山年间考古学家在湖北江陵张家山出土的一批西汉初年（约为公元前出土的

2、一批西汉初年（约为公元前170170年前后）年前后）的的竹简竹简，共千余支。经初步整理，其中有历谱、，共千余支。经初步整理，其中有历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学数学著作著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫书的书名叫算数书算数书，它是中国现存最早的数学专著。它是中国现存最早的数学专著。 中国现存最早的中国现存最早的数学书数学书算数书算数书(西汉西汉, 约公元约公元前前170年年, 1983-1984年间湖北江年间湖北江陵张家山出土陵张家山出土)算数书算数书算数书算数书研究得知，这研究得知

3、，这“本本”竹简竹简算数书算数书和和九章九章算术算术（公元（公元1 1世纪）有许多相同之处，体例世纪）有许多相同之处，体例也是也是“问题集问题集”形式，大多数题都由问、答、形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与术三部分组成，而且有些概念、术语也与九九章算术章算术的一样。的一样。周髀周髀b 算经算经 （髀：量日影的标杆）是我国（髀：量日影的标杆）是我国最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要内容是周代传下来的有关内容是周代传下来的有关测天量地测天量地的理

4、论和方的理论和方法。法。周髀算经也是中国最古的算书，成书确切周髀算经也是中国最古的算书，成书确切年代没有定论，一般认为在公元前年代没有定论，一般认为在公元前2、3世纪。世纪。李约瑟认为：李约瑟认为：“最妥善的办法是把周髀算经最妥善的办法是把周髀算经看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。” 周髀算经周髀算经周髀算经中的勾股定理 周公问商高关于计算的问题，商高答曰：周公问商高关于计算的问题，商高答曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。勾广三，股修

5、四，径隅五。” 荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾股定理的一般形式。陈子曰：股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾、至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至股各自乘，并而开方除之，得邪至日，日，” 九章算术九章算术 九章算术九章算术成书于公元前后，是我国最重要、成书于公元前后，是我国最重要、影响最深远的一本数学著作。影响最深远的一本数学著作。它不是出自一个它不是出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国中的数学内容，有

6、些也可以追溯到周代。中国儒家的重要经典著作儒家的重要经典著作周礼周礼记载西周贵族子记载西周贵族子弟必学的六门课程弟必学的六门课程“六艺六艺”（礼、乐、射、御、（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是书、数）中有一门是“九数九数”。九章算术九章算术是由是由“九数九数”发展而来。在秦焚书（公元前发展而来。在秦焚书（公元前213213年）之前，至少已有原始的本子。年）之前，至少已有原始的本子。九章算术九章算术(东汉东汉, 公元公元100年年)九章算术九章算术 后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风等人均对九章算术作过注。特别是风等人均对九章算术作过注。特别是刘徽的注，加进了不

7、少自己的精辟见解，刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解，阐述了重要的数学理论。九章算术注阐述了重要的数学理论。九章算术注是九章算术得以流芳百世的重要补充是九章算术得以流芳百世的重要补充和媒介。和媒介。 九章算术九章算术 对九章算术的评价对九章算术的评价日本数学家小苍金之助把九章算术说成是中日本数学家小苍金之助把九章算术说成是中国的几何原本。吴文俊教授也认为，九章国的几何原本。吴文俊教授也认为，九章算术和刘徽的九章算术注，在数学的发展算术和刘徽的九章算术注，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊的几何原历史中具有崇高的地位，足可与希腊的几何原本东西辉映，各具特色。本东西辉映，各具特色。196

8、81968年德国沃格尔（年德国沃格尔（VogelVogel）把九章算术译把九章算术译成德文出版时加的评论认为：成德文出版时加的评论认为：“在古代算术中，在古代算术中，包含如此丰富的包含如此丰富的246246个算题，现存的埃及和巴比个算题，现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。以希腊而论，所伦算题与之相比，真望尘莫及。以希腊而论，所保存的古算题为我们所熟知者，也属于希腊化时保存的古算题为我们所熟知者，也属于希腊化时代。代。” l 方田方田九章算术九章算术l 粟米粟米 l 衰分衰分l 少广少广l 商功商功 l 均输均输 l 盈不足盈不足 l 方程方程 l 勾股勾股世界数学古典名著世界数学古典

9、名著 l 以筹算为基础的以筹算为基础的中国古代数学体系中国古代数学体系正式形成正式形成 第一章第一章“方田方田”讲述有关平面图形（土地田讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包括分数算法，亩）面积的计算方法，包括分数算法，38个个问题。如：问题。如： 一一今有田广十五步，从十六步，问为田几何？今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩。答曰：一亩。 二二又有田广十二步，从十四步，问为田几何？又有田广十二步，从十四步，问为田几何？答曰：一百六十八步。答曰：一百六十八步。 方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一倾。百四

10、十步除之，即亩数，百亩为一倾。 九章算术九章算术 九章算术九章算术 五五今有十八分之十二，问约之得几何？今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。答曰：三分之二。 六六又有九十一分之四十九，问约之得几又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。何？答曰：十三分之七。约分术曰：可半者半之，不可半者，副置约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。等也，以等数约之。 九章算术九章算术 第二章第二章“粟米粟米”讲述有关粮食交换中的比例讲述有关粮食交换中的比例问题。书中的问题。书中的“今有术今有术”给出比

11、例式中已知给出比例式中已知三数求第四数的方法，欧洲迟至三数求第四数的方法，欧洲迟至15世纪才出世纪才出现。现。第三章第三章“衰分衰分”讲述配分比例和等差、等比讲述配分比例和等差、等比等问题。等问题。 第四章第四章“少广少广”讲述由田亩面积求边长，由讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长的算法，这是世界上最早的多球体积求经长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法则的记载。位数开平方、开立方法则的记载。 九章算术九章算术 第五章第五章“商功商功”讲述各种土木工程中的体讲述各种土木工程中的体积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经

12、验，创造修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造了许多有关土方体积计算和估算的方法，了许多有关土方体积计算和估算的方法，本章即为经验和方法的理论总结，诸如长本章即为经验和方法的理论总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式都与现在一致，只是圆周率取公式都与现在一致，只是圆周率取3，误，误差较大。差较大。九章算术九章算术 第六章第六章“均输均输”讲述纳税和运输方面的计讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比较复杂的比例计算问算问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。题。第七章第七章“盈不足盈不足”讲述算术中盈亏问题的讲述算术中盈亏问题的解法。盈不足术实际上

13、是一种线性插值法。解法。盈不足术实际上是一种线性插值法。该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特别重视，被称为到特别重视，被称为“契丹算法契丹算法”。后来。后来传入欧洲，传入欧洲，1313世纪意大利数学家斐波那契世纪意大利数学家斐波那契的算经一书中专门有一章讲的算经一书中专门有一章讲“契丹算契丹算法法”。 九章算术九章算术第八章第八章“方程方程”讲述线性方程组的解法，讲述线性方程组的解法，还论及正负数概念及运算方法。还论及正负数概念及运算方法。 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下实三十九斗；

14、上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？中、下禾实一秉各几何？ 勾股术第九章第九章“勾股勾股”在周髀算经中勾股定理在周髀算经中勾股定理的基础上，形成了应用问题的的基础上，形成了应用问题的“勾股术勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。从此它成了中算中重要的传统内容之一。 今有池方一丈，葭今有池方一丈，葭jiji生其中央，出水一尺。生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭

15、长一丈三尺。答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。 术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。葭长。 刘徽和祖冲之父子刘徽和祖冲之父子2、中算发展的第二时期：数学稳步发展、中算发展的第二时期：数学稳步发展 从公元从公元220年东汉分裂，到公元年东汉分裂，到公元581年隋朝年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辨之风再起，在数学上尊儒学

16、之后，学术界思辨之风再起，在数学上也兴起了论证的趋势。许多研究以注释也兴起了论证的趋势。许多研究以注释周髀周髀算经算经、九章算术九章算术的形式出现，实质是寻的形式出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。国传统数学稳步发展的时期。九章算术注九章算术注公元公元263年撰年撰九章算术注九章算术注 阐述了中国传统数学的理阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理论体系与数学原理 中国传统数学最具代表性中国传统数学最具代表性的人物的人物 刘徽刘徽(魏

17、晋魏晋, 公元公元3世纪世纪)（中国，（中国，2002）刘徽的数学成就刘徽的数学成就刘徽的九章算术注包含了他本人的许刘徽的九章算术注包含了他本人的许多创造，其中最突出的成就是多创造，其中最突出的成就是“割圆术割圆术”和求积理论。和求积理论。圆周率刘徽用刘徽用“割圆术割圆术”从圆内接正六边形出从圆内接正六边形出发，算到圆内接正发，算到圆内接正192=625边形，得到边形，得到 “徽率徽率”3.143.14。 推测祖冲之可能也是沿用了推测祖冲之可能也是沿用了“割圆术割圆术”，计算到圆内接正计算到圆内接正24576=6212边形，即可边形，即可得祖冲之的结果。得祖冲之的结果。祖冲之祖冲之(南朝宋、齐

18、南朝宋、齐, 429-500年年)刘徽的求积理论刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是又基本的原理之上，这就是“出入相补原出入相补原理理”。刘徽用这条原理成功地证明了九。刘徽用这条原理成功地证明了九章算术中的许多面积公式。章算术中的许多面积公式。刘徽在推证九章算术中的一些体积公刘徽在推证九章算术中的一些体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。限方法与不可分量方法。祖冲之祖冲之刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之推进和发展。冲之推进和发

19、展。祖冲之（祖冲之（429500年），范阳遒县（今河北涞年），范阳遒县（今河北涞源）人，活跃于南朝的宋、齐两代，曾做过源）人，活跃于南朝的宋、齐两代，曾做过一些小官，但他却成为历代为数很少能名列一些小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。正史的数学家之一。祖冲之祖冲之祖冲之的著作祖冲之的著作缀术缀术，取得了圆周率的计，取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在关于圆周率的贡献记载在隋书隋书（唐，魏（唐，魏征主编）的征主编）的律历志律历志中：中：“古之九数，圆古之九数，圆周率三，圆径率一。自张衡、刘徽、王蕃、周率

20、三，圆径率一。自张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。祖冲之皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。祖冲之算出圆周率在算出圆周率在3.1415926与与3.1415927之间，并之间，并以以355/113（=3.1415929）为密率，）为密率，22/7（=3.1428）为约率。）为约率。缀术缀术缀术缀术的另一贡献是祖氏原理的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为不可分量原理，因为1635年意大利数学家卡瓦年意大利数学家卡瓦列里（列里（15981647年）独立提出，对微积分的年）独立

21、提出，对微积分的建立有重要影响。建立有重要影响。 在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家，主要的数学成就在于建立中国数的数学大家，主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。为了教学需要唐初由李淳风等人学教育制度。为了教学需要唐初由李淳风等人注释并校订了注释并校订了算经十书算经十书（约（约656年）。年）。算经十书算经十书 出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自下出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自下令对以前的数学著作进行整理。公元令对以前的数学著作进行整理。公元656年年

22、由李淳风负责编定了算经十书：周髀算由李淳风负责编定了算经十书：周髀算经、九章算术、孙子算经、经、九章算术、孙子算经、五曹算经、张邱建算经、夏侯五曹算经、张邱建算经、夏侯阳算经、缉古算经、海岛算经、阳算经、缉古算经、海岛算经、五经算术和缀术，后因缀术五经算术和缀术，后因缀术失传，而以数术记遗替代。失传，而以数术记遗替代。 孙子算经 鸡兔同笼鸡兔同笼今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。 术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。 物不知数物不知数今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。 孙

23、子歌 明代数学家程大位的算法统宗中所明代数学家程大位的算法统宗中所载的载的“孙子歌孙子歌”以诗歌形式介绍了物不以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：知数问题的解法：“三人同行七十稀，三人同行七十稀，五树梅花廿一，七子团圆整半月，除百五树梅花廿一，七子团圆整半月，除百零五便得知。零五便得知。” 这一问题的解法后经秦九韶推广到一般这一问题的解法后经秦九韶推广到一般情形，被称为情形，被称为“孙子定理孙子定理”，又称为，又称为“中国剩余定理中国剩余定理”。 宋元数学宋元数学中国古典数学中国古典数学的全盛时期的全盛时期3 3、中数发展的第三阶段：宋元数学、中数发展的第三阶段：宋元数学宋元时期（宋元时期（9

24、60-1368）的杰出数学家秦九）的杰出数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为“宋元宋元四大家四大家”。 宋元时期的数学代表著作有数书九章宋元时期的数学代表著作有数书九章（秦九韶）、详解九章算法（杨（秦九韶）、详解九章算法（杨辉）、益古演段（李冶）和四元辉）、益古演段（李冶）和四元玉鉴（朱世杰）等玉鉴（朱世杰）等 宋元数学宋元数学社会背景：公元社会背景：公元960年，北宋王朝的建立结束年，北宋王朝的建立结束了五代十国（了五代十国（907960年）割据的局面。北年）割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火

25、药、指南针、印刷术三大发术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛应用。雕版印书的发达，特别是北宋中期，应用。雕版印书的发达，特别是北宋中期，在宋仁宗庆历年间（约在宋仁宗庆历年间（约10411048年），毕升年），毕升活字印刷术的发明，完成了印刷史上一项重活字印刷术的发明，完成了印刷史上一项重大的革命。大的革命。贾宪三角贾宪三角贾宪（约公元贾宪（约公元11世纪）是北宋人，在世纪）是北宋人，在朝中任左班殿值，约朝中任左班殿值，约1050年完成一部年完成一部叫叫黄帝九章算术细草黄帝九章算术细草的著作，原的著作，原书丢失，但其主

26、要内容被杨辉的书丢失，但其主要内容被杨辉的详详解九章算法解九章算法摘录，因能传世。贾宪摘录，因能传世。贾宪发明了发明了“增乘开方法增乘开方法”，是中算史上，是中算史上第一个完整、可推广到任意次方的开第一个完整、可推广到任意次方的开方程序，一种非常有效和高度机械化方程序，一种非常有效和高度机械化的算法。的算法。贾宪三角贾宪三角在此基础上，贾宪创造了在此基础上，贾宪创造了“开方作法本源图开方作法本源图”（即（即“古法七乘方图古法七乘方图”或贾宪三角），西方人或贾宪三角），西方人叫叫“帕斯卡三角帕斯卡三角”或或“算术三角形算术三角形”，因为法，因为法国数学家帕斯卡（国数学家帕斯卡（16231662年

27、）于年）于1654年发年发表论文表论文论算术三角形，以及另外一些类似的论算术三角形，以及另外一些类似的小问题小问题。天元术天元术李冶（金、元，李冶（金、元，11921279年），金代真定年），金代真定栾城（今河北栾城）人，出生的时候，金栾城（今河北栾城）人，出生的时候，金朝（朝（11151234年）正由盛而衰，曾任钧州年）正由盛而衰，曾任钧州（今河南禹县）知事，（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古年钧州被蒙古军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心学问军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心学问。1248年撰成代数名著年撰成代数名著测圆海镜测圆海镜，该，该书是首部系统论述书是首部系统论述“天元术天元术”（

28、一元高次（一元高次方程）的著作。方程）的著作。天元术天元术“天元术天元术”与现代代数中的列方程法相类似，与现代代数中的列方程法相类似，称未知数为天元，称未知数为天元，“立天元一为某某立天元一为某某”，相，相当于当于“设设x为某某为某某”，可以说是符号代数的，可以说是符号代数的尝试，在数学史上具有里程碑意义。刘徽注尝试，在数学史上具有里程碑意义。刘徽注释释九章算术九章算术“正负术正负术”中云：中云：“正算赤正算赤，负算黑，负算黑”，李冶感到用笔记录时换色的不，李冶感到用笔记录时换色的不便，便在便，便在测圆海镜测圆海镜中用斜画一杠表示负中用斜画一杠表示负数。数。李冶的天元术列方程：李冶的天元术列方

29、程：x3+336x2+4184x+2488320=0。大衍术大衍术秦九韶（约秦九韶（约12021261年），南宋普州安岳年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和县（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和县）守，）守，1244年，因母丧离任，回湖州（今浙年，因母丧离任，回湖州（今浙江吴兴）守孝三年。此间，秦九韶专心致志江吴兴）守孝三年。此间，秦九韶专心致志于研究数学，于于研究数学，于1247年完成数学名著年完成数学名著数书数书九章九章， 内容分为九类：大衍类、天时类、内容分为九类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易

30、类，其中大衍使得宋代算书、军旅类、市易类，其中大衍使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。在中世纪世界数学史上占有突出的地位。中国剩余定理中国剩余定理秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证明。到算法给出证明。到18、19世纪欧拉（世纪欧拉（1743）和）和高斯（高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还了严格证明。高斯的

31、成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作法是一致的，因此关于这一算法被称作“中中国剩余定理国剩余定理”。 垛积术垛积术杨辉（公元13世纪），南宋钱塘（今浙江杭州）人，曾做过地方官，足迹遍及钱塘、台州、苏州等地，是东南一带有名的数学家和数学教育家。杨辉的主要数学著作之一详解九章算法（1261年）是为了普及九章算术中的数学知识而作，它从九章算术的246道题中选择了80道有代表性的题目，进行详解，其中主要的数学贡献是“垛积术”。垛积

32、术垛积术垛积术垛积术是由多面体体积公式导出相应的垛积术公式。另一贡献是所谓的“杨辉三角”，其实是记载了贾宪的工作。四元术四元术朱世杰（约朱世杰（约12601320年），寓居燕山（年），寓居燕山（今北京附近），当时的北方，正处于天今北京附近），当时的北方，正处于天元术逐渐发展成为二元术、三元术的重元术逐渐发展成为二元术、三元术的重要时期，朱世杰在经过长期游学、讲学要时期，朱世杰在经过长期游学、讲学之后，终于在之后，终于在1299年和年和1303年在扬州刊刻年在扬州刊刻了他的两部代表作了他的两部代表作算学启蒙算学启蒙和和四四元玉鉴元玉鉴。四元术四元术四元术是多元高次方程列方程和解方程的方四元术是多

33、元高次方程列方程和解方程的方法，未知数最多可达四个，即天元、地元、法，未知数最多可达四个，即天元、地元、人元和物元。如人元和物元。如四元玉鉴四元玉鉴卷首卷首“假令四假令四草草”之之“四象会元四象会元”，其中四元布列意为即，其中四元布列意为即元气（常数项）居中，天元（未知数元气（常数项）居中，天元（未知数x）于）于下，地元（未知数下，地元（未知数y）于左，人元（未知数）于左，人元（未知数z）于右，物元（未知数）于右，物元（未知数u）于上，所以上述）于上，所以上述方程指方程指“ ”。授时历授时历授时历授时历设定一年为设定一年为365.2425天，比地球绕天，比地球绕太阳一周的实际运行时间只差太阳一

34、周的实际运行时间只差26秒，早于欧秒，早于欧洲洲1582年开始使用的年开始使用的“格里历格里历”300年，使用年，使用时间长达时间长达363年（年（12811643年），中国古代年），中国古代的历法也发展到了高峰。的历法也发展到了高峰。此外，此外，1276年，郭守敬根据镜成象原理发明年，郭守敬根据镜成象原理发明了了“景符景符”测影器，制造了世界闻名的简仪测影器，制造了世界闻名的简仪、高表、窥（、高表、窥（ku）几、仰仪、日晷（）几、仰仪、日晷（gu）、）、浑天象等浑天象等12种天文仪器，元至元十三年（种天文仪器，元至元十三年（l276年）建造的河南登封观星台留存至今。年）建造的河南登封观星台留存至今。总结总结古希腊数学以几何定理的演绎推理为特古希腊数学以几何定理的演绎推理为特征、具有公理化模式，与中国传统数学征、具有公理化模式，与中国传统数学以计算为中心、具有程序性和机械性的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化模式相辉映，交替影响世界数学算法化模式相辉映，交替影响世界数学的发展。这一时期创造的宋元算法，如的发展。这一时期创造的宋元算法，如隙积术、大衍术、开方术、垛积术、招隙积术、大衍术、开方术、垛积术、招差术、天元术等在世界数学史上占有光差术、天元术等在世界数学史上占有光辉的地位。辉的地位。