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1、第九章概第九章概 率率第一节随机事件的概率第一节随机事件的概率 最新考纲1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式。J基础知识基础知识 自主学习自主学习1概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有_。我们把这个常数叫做随机事件A的_，记作_。(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而_是一个确定的值，因此，人们用_来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用_作为随机事件概率的估计值。(3)概率的几个基本性质概率的取值范围：_。

2、必然事件的概率：P(A)_。不可能事件的概率：P(A)_。稳定性概率P(A)概率概率频率0P(A)1102互斥事件和对立事件事件定义性质互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能_的两个事件A与B称作互斥事件P(AB)_，(事件A，B是互斥事件)；P(A1A2An)_(事件A1，A2，An任意两个互斥)对立事件在一个随机试验中，两个试验不会_发生，并且一定_发生的事件A和 称为对立事件P( )_同时发生P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)同时有一个1P(A)判一判(1)事件发生的频率与概率是相同的。()解析错误。频率是在相同的条件下重复n次试验，频数与试验次数的比值，它是概率的一

3、个近似值，频率是随机的，概率是一个客观存在的确定的数值。(2)随机事件和随机试验是一回事。()解析错误。在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果无法确定，叫做随机试验。(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值。()解析正确。由概率的定义可知，在大量重复试验中，概率是频率的稳定值。(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生。()解析正确。两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生。(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。()解析正确。由对立事件和互斥事件的定义可知，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。 练

4、一练1下列事件中，随机事件的个数为()物体在只受重力的作用下会自由下落；方程x22x80有两个实根；某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；下周六会下雨。A1B2 C3 D4解析为必然事件，为不可能事件，为随机事件。答案B2从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有两个红球解析对于A中的两个事件不互斥，对于B中的两个事件互斥且对立，对于C中的两个事件不互斥，对于D中的两个事件互斥而不对立。答案D3(2016安徽合肥模拟)从一箱产品中随机抽取一件，

5、设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.7，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A0.7 B0.2C0.1 D0.3解析“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”，事件A抽到一等品，P(A)0.7，“抽到的不是一等品”的概率是10.70.3。答案DR热点命题热点命题 深度剖析深度剖析【例1】(2015陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：考点一随机事件的频率与概率日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252

6、627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率。 【规律方法】求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：(1)列举法；(2)列表法；(3)树状图。 变式训练1假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。【例2】判

7、断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；【解】是互斥事件，不是对立事件。“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件。(2)至少有1名男生和至少有1名女生；【解】不是互斥事件，也不是对立事件。“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生。考点二随机事件的关系(3)至少有1名男生和全是女生。【解】是互斥事件且是对立事

8、件。“至少有1名男生”，即“选出的两人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件。两个事件互斥且对立。【规律方法】事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系。变式训练2下列命题：将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；若事件A与B互为对立

9、事件，则事件AB为必然事件。其中真命题是()A BC D解析对，将一枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故错。对，对立事件首先是互斥事件，故正确。对，互斥事件不一定是对立事件，如中两个事件，故错。对，事件A、B为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发生，故正确。答案B考点三互斥事件、对立事件的概率(2)(2015洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：至多2人排队等候的概率是多少？【解】记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4

10、人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥。记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56。排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04至少3人排队等候的概率是多少？【解】记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥。解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DE

11、F)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44。解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44。【规律方法】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便。变式训练3(2016北京模拟)有编号为1,2,3的三个白球，编号4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球。(1)求取

12、得的两个球颜色相同的概率；解从六个球中取出两个球的所有结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个。 (2)求取得的两个球颜色不相同的概率。 解从六个球中取出两个球的所有结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个。 S思想方法思想方法 感悟提升感悟提升 1个区别频率与概率的区别频率与概率有

13、本质的区别。频率随着试验次数的改变而发生变化，概率是大量随机事件现象的客观规律，是一个常数。 2个注意点求概率问题时应注意的两点(1)正确认识互斥事件与对立事件的关系；对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件。(2)需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义。 第九章概第九章概 率率第二节古典概型第二节古典概型 最新考纲1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。J基础知识基础知识 自主学习自主学习1古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型。(1)有

14、限性：试验的所有可能结果_，每次试验只出现其中的一个结果。(2)等可能性：每个试验结果出现的可能性_。2古典概型的概率公式如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为只有有限个相同判一判(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”。()解析错误。根据古典概型的特征可知(1)错误。(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件。()解析错误。“一正一反”包含“一正一反”和“一反一正”两种结果，故掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个

15、事件不是等可能事件。 (3)从3，2，1,0,1,2，中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同。()解析正确。根据古典概型概率计算公式可知正确。 3(2015广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A0.4 B0.6 C0.8 D14在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖。甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是_。5从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_。R热点命题热点命题 深度剖析深度剖析考点一简单古典概型的概率(2)(2015山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演

16、讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率。(2)(2015四川卷)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下

17、规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位。若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就坐，则此时共有4种坐法。下表给出了其中两种坐法。请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；解余下两种坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5座位号3241532541若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率。解若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为：乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451乘客P1P2P3P4P5座位号213452314523

18、4152345123541243152435125341【例2】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c。(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；考点二较复杂的古典概型的概率(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率。(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率。【规律方法】求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解。(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求

19、解。 变式训练2(1)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料。若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力。(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率。古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高。考点三古典概型的综合应用角度三：古典概型与统计相结合3(2015安徽卷)某企业为了解下属某部门

20、对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：40,50)，50,60)，80,90)，90,100。 (1)求频率分布直方图中a的值；解因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006。(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；解由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4。(3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在40,50)的概

21、率。解【规律方法】求解与古典概型有关的交汇问题的方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算。S思想方法思想方法 感悟提升感悟提升 4种方法基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型。(2)列表法：此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法。(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求。(4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公

22、式求概率。 2个技巧求解古典问题概率的技巧处理较为复杂的概率问题的两种方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件的概率，再由P(A)1P( )求事件A的概率。 1个原则构建不同的概率模型解决问题的原则建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易解决的古典概型问题。第九章概第九章概 率率第三节模拟方法第三节模拟方法概率的应用概率的应用最新考纲1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义。J基础知识基础知识 自主学习自主学习1模拟方法对于某些无法确切知道概率的问题，常借助_来

23、估计某些随机事件发生的概率。用_可以在短时间内完成大量的重复试验。(2)几何概型中的G也可以是_或_的有限区域，相应的概率是_或_。模拟方法模拟方法面积 形状 位置 空间中直线上体积之比长度之比判一判(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率。()解析正确。由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确。(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的。()解析错误。虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等。(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等。()解析正确。由几何概型的定义知，该说法正确。(4

24、)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形。()解析正确。由几何概型的定义知，该说法正确。练一练1一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s，黄灯的时间为5 s，绿灯的时间为40 s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是()2在区间(15,25内的所有实数中随机抽取一个实数 a，则这个实数满足 17a20 的概率是( ) A.13 B.12 C.310 D.710 3.如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_。0.18 4有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是_。5点A

25、为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_。0.05 R热点命题热点命题 深度剖析深度剖析考点一与长度(角度)有关的几何概型【规律方法】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同。解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)。(2)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_。考点二与体积有关的几何概型【规律方法】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于

26、某些较复杂的也可利用其对立事件去求。与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，且主要有以下几个命题角度：角度一：与平面图形面积有关的问题考点三与面积有关的几何概型2若将一个质点随机投入如图所示的长方体ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()4某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)。【规律方法】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解。S思想方法思想方法 感悟提升感悟提升 1条规律对几何概型概率公式中“测度”的认识几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法。 2种方法判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系。(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域。