上海中学高三（上）期中数学试卷含答案.pdf

1、第 1 页，共 17 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1.王昌龄从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还” ，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.在等比数列中，1= 1，公比| 1，若=12345，则 = ( ) A. 9B. 10C. 11D. 123.若存在 1,2，使得| 21|2 0成立，则实数 a 的取值范围是()A. (12,34)B. (,12) (32, + )C. (14,34)D. (,14) (34,

2、 + )4.给定函数()和()，令() = (),()，对以下三个论断：(1)若()和()都是奇函数，则()也是奇函数；(2)若()和()都是非奇非偶函数，则()也是非奇非偶函数；(3)()和()之一与()有相同的奇偶性；其中正确论断的个数为()A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）5.已知集合 = |4 2， = |26 0，则 = _第 2 页，共 17 页6.函数 =22的定义域是_7.等比数列中，公比 = 4，且前 3 项之和是 21，则数列的通项公式= _ 8.设奇函数()在(0, + )上为增函数，且(1) = 0，则不

3、等式()() 0, 0, + 2 = 5，则( + 1)(2 + 1)的最小值为_10.若不等式2 + 0的解集为| 2或 3，则不等式(2+ + )(1) 0的解集为_11.已知等差数列的首项及公差均为正数，令=+2020( , 2020)，当是数列的最大项时， = _12.若不存在整数x使不等式(24)(4) 0，若()的最小值为 + 1，则实数 a 的取值范围为_三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）17.已知实数 a、b 满足0 1，0 14”是“ + 114( )恒成立”的充要条件；(3)若 14，求证：存在 ，使得 201921.已知() = 2|，其中 0， 0(1)

4、若 = 2， = 1，写出()的单调区间；(2)若函数()恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2，求 a、b 的值；(3)若函数()在2,2上有四个不同零点1、2、3、4，求|1| + |2| + |3| + |4|的最大值第 5 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题根据充分条件和必要条件的定义判断即可【解答】解：不破楼兰终不还，则可知若要返回家乡，必破楼兰，必要性成立，但“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，充分性不成立，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件故选：B2.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的性

5、质、通项公式的灵活应用，属于基础题根据等比数列的性质得15=24= 23，结合条件和等比数列的通项公式列出方程，求出 m 的值【解答】解：根据等比数列的性质得，15=24= 23，又=12345，所以= 53，因为=11= 1，3=12= 2，所以1= (2)5，所以1 = 10，即 = 11，故选：C3.【答案】D【解析】解：命题存在 1,2，使得| 21|2 0成立的否定为 1,2，使得| 21|2 0成立第 6 页，共 17 页由 1,2，使得| 21|2 0成立，得2 21 2，即12 32，当 1,2时，12的最大值为14，32的最小值为34 命题 1,2，使得| 21|2 0成立为

6、真命题的 a 的取值范围为14,34，则命题 1,2，使得| 21|2 0成立为假命题的 a 的取值范围为(,14) (34, + )，即存在 1,2，使得| 21|2 0成立的实数 a 的取值范围是(,14) (34, + )故选：D写出原命题的否定，求出对 1,2，使得| 21|2 0成立的 a 的取值范围，再由补集思想求解本题考查命题的否定，考查数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题4.【答案】A【解析】解：(1)若() = ，() = 3，则() =, 03, 0，则()为非奇非偶函数，故(1)错误，(2)若() = 2，() = 2，则() =2, 02, 0，则()

7、为偶函数，故(2)错误，(3)由(1)(2)知，()和()与()的奇偶性没有关系，故(3)错误，故正确的个数为 0 个，故选：A根据函数奇偶性和新定义函数的应用，利用特殊值法以及排除法进行判断即可本题主要考查命题的真假判断，涉及函数奇偶性的判断，利用特殊值法以及排除法是解决本题的关键比较基础5.【答案】|2 2【解析】解： 集合 = |4 2， = |26 0 = |2 3， = |2 2故答案为：|2 0，解不等式可得| 4 故答案为：4, + )根据对数及根式有意义的条件可得 0，log2 2，解不等式可得本题是函数定义域最基本的考查，建立使函数有意义的不等式之后，关键是要准确解不等式，属

8、于基础试题7.【答案】41【解析】解：因为公比 = 4，且前 3 项之和是 21，所以21 =1(143)14，解得1= 1，所以=1 41= 41，故答案为：41根基题意和等比数列的前 n 项和公式先求出1，代入等比数列的通项公式化简即可本题考查等比数列的前 n 项和公式、通项公式的应用，属于基础题8.【答案】(1,0) (0,1)【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性转化不等式及数形结合法解不等式问题由函数()是奇函数，将原等式转化为() 0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解【解答】解： 函数()是奇函数 () = () 不等式()() 0

9、可转化为：() 0根据条件可作一函数图象：第 8 页，共 17 页 不等式()() 0， 0， + 2 = 5，则( + 1)(2 + 1)=2 + + 2 + 1=2 + 6= 2 +6；由基本不等式有：2 +6 2 26= 4 3；当且仅当2 =6时，即： = 3， + 2 = 5时，即： = 3 = 1或 = 2 =32时，等号成立，故( + 1)(2 + 1)的最小值为4 3；故答案为：4 310.【答案】(3,1) (2, + )【解析】解：2 + 0的解集为| 2或 3，所以其对应的方程2 + = 0有两个根2，3，且 0，2 + = ( + 2)(3) = 26，所以 = ， =

10、 6第 9 页，共 17 页(2+ + )(1) 0，即(2+6)(1) 0，即( + 3)(2)(1) 0，由穿针引线法，得 (3,1) (2, + )故答案为：(3,1) (2, + )由不等式与方程的关系，求出对应方程的解，利用两根式表示出2+ + ，代入利用穿针引线法求出即可考查高次不等式的解法，一元二次不等式与方程的关系，这里用了穿针引线法，中档题11.【答案】1010【解析】解：设= ，2020= ，=+2020( , 4，不合题意，当 0且 2时，原不等式化为( +4)(4) 4， = (4, +4)，要使不存在整数 x 使不等式(24)(4) 0成立，须 +4 5，解得：1 4

11、；当 = 2时， = ，合题意，当 0，第 10 页，共 17 页 = (, +4) (4, + )，不合题意，故答案为：1 4设原不等式的解集为 A，然后分 k 大于 0 且不等于 2，k 等于 2，小于 0 和等于 0 四种情况考虑，当 k 等于 0 时，代入不等式得到关于 x 的一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集 ； 当 k 大于 0 且 k 不等于 2 时，不等式两边除以 k 把不等式变形后，根据基本不等式判断 +4与 4 的大小即可得到原不等式的解集；当 k 等于 2 时，代入不等式，根据完全平方式大于 0，得到 x 不等于 4，进而得到原不等式的解集；当 k 小于

12、0 时， 不等式两边都除以 k 把不等式变形后， 根据 +4小于 4， 得到原不等式的解集，综上，得到原不等式的解集；此题考查了一元二次不等式的解法， 考查了分类讨论的数学思想， 同时考查了运算能力，是一道中档题13.【答案】224【解析】【分析】本题考查集合的新定义问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题若满足条件，则：(1,7)、(2,6)、(3,5)、4 这四组数中的每一组数，同时属于或不属于A，进行分析求解【解答】解：若满足条件，则：(1,7)、(2,6)、(3,5)、4 这四组数中的每一组数，同时属于或不属于 A，可知：(1,7)属于集合 A 是一种情况，不属于集合 A 又是一种

13、情况，共两种情况，同理：(2,6)，(3,5)，4 同(1,7)类似各有两种情况， 满足条件的集合个数为24， (1,7)、(2,6)、(3,5)，4 出现和不出现的次数是相等的， (1,7)、(2,6)、(3,5)，4 出现的次数均为 8， 总容量为：8 (8 + 8 + 8 + 4) = 224，故答案为：22414.【答案】(,372 1, + )第 11 页，共 17 页【解析】解： = 0时，不符合题意，所以 0， () = 22+23 = 0在1,1上有解， (221) = 32在1,1上有解1=22132在1,1上有解，问题转化为求函数 =22132在1,1上的值域设 = 32，

14、 1,1，则2 = 3， 1,5， =12( +76)，设() = +7， () = 172， 1, 7)时，() 0，此函数()单调递增， 的取值范围是 73,1，1 73,1， 1或 372故答案为(,372 1, + )先确定 0，将() = 22+23 = 0在1,1上有解，转化为1=22132在1,1上有解，求出函数 =22132在1,1上的值域，即可确定 a 的取值范围本题考查二次函数在给定区间上的零点问题，解题的关键是分离参数，转化为1=22132在1,1上有解，属于中档题15.【答案】89【解析】【分析】本题考查了数列的前 n 项和，考查了新定义“好数列” ，主要考查分析和解决

15、问题的能力和计算能力，属于中档题由条件分析出要想项数最少，需要数列前面递增，后面对称递减，再结合等差数列的求和公式即可求解【解答】解：由题可知，数列要想项数最少，需要各项最大，又因为数列首项和末项都是 1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于 1，所以需要数列前面递增，后面对称递减，第 12 页，共 17 页又各项之和是 2019，中间可能存在相等的项，设除去相等项后的各项为：1，2，3，(1)，n，(1)，3，2，1， 令各项和：1 + 2 + 3 + + (1) + + (1) + + 2 + 1= 21 + 2 + 3 + + (1) + = 2 (1) 1 + (1)2+ = (1) +

16、= 2 2019，得 44，当 n 为 44 时，项数为43 2 + 1 = 87项，2019442= 83，将 83 分成小于或等于 44 的项，最少可以分成两项，故这个数列至少有87 + 2 = 89项，故答案为：8916.【答案】22 2 1,1【解析】解：(1)若 0，即 0时，() =2 + 2, 0 + 1,0 1， ()在(,0上单调递减，最小值为(0) = 2，在(0, + )上最小值为 + 1，故只需2 + 1即可，解得0 1；(2)若0 1，即1 0时，则() =2 + 2, 02 + 1,0 + 1, 12 + 1, 1， ()在(,0上先减后增，最小值为(2) = 22

17、4，在(0, + )上最小值为 + 1，故只需224 + 1即可，解得22 2 2 + 2 2，又1 0， 1 1，即 1时，() =2 + 2, 02 + 1,0 11,1 0，而()的最小值为 + 1 0，故只需令224= + 1即可，解得 = 22 2或 = 2 + 2 2(舍)，第 13 页，共 17 页综上，a 的取值范围是22 2 1,1故答案为：22 2 1,1讨论与 0，1 的大小关系，判断()在两区间(,0和(0, + )上的单调性与最小值，列不等式解出 a 的范围本题考查了分段函数的单调性与最值计算，分类讨论思想，属于中档题17.【答案】解：已知实数 a、b 满足0 1，0

18、 1， 1，所以 + 2，由 =14，得11=14，化简得4( + ) = 3 + 4 34( + )2+4，当且仅当 = 时成立，解得 + 4，或者 + 43(不成立)故 + 的最小值为 4【解析】(1)“1“的代换，再用基本不等式求出；(2)利用换元法，得到4( + ) = 3 + 4，再利用基本不等式求出 + 的范围，即可求出结果考查“1“的巧妙代换，基本不等式的应用，换元法，中档题18.【答案】解：(1) () 1， |1| 1， 1 1 1， 0 2， 当 0时，0 2；当 = 0时， ；当 0时，不等式的解集为0,2；当 = 0时，不等式的解集为 R；当 0， = 0和 0，由题意

19、可得 0，由() = 0，可得 =30，由() = 0，可得 = ，由题意可得两零点之间无正整数，由于5 6 = 30，所以当0 6，不满足题意；第 15 页，共 17 页当 6时，0 30 0，求得()，()的零点，讨论当 a 的取值范围，由不等式的性质得出所求范围本题考查了新定义的理解和运用问题， 也考查了函数的单调性和函数值的符号判断问题，是难题20.【答案】解：(1) 1= 0， + 1= 2+，其中 ， 当 = 1时，2= 0 + = ，当 = 2时，3= 2+，当 = 3时，4= (2+)2+ = ， 若2、3、4依次成公差不为 0 的等差数列， 23=2+4，得 = 1 2(2)

20、证明：充分性： + 1= 2+，其中 ， + 1 ， 14， + 114( )恒成立 “ 14”“ + 114( )恒成立”必要性： + 1= 2+，其中 ， ， + 1 ，又 + 114( )恒成立， 14，第 16 页，共 17 页 “ + 114( )恒成立”“ 14”(3) + 1= 2+= (12)2+(14) 14，又 14， 令 = 14 0，由1 ，12 ，21 ，将上述不等式相加，得：1 (1)，即 (1)，取正整数 2019+1，就有 (1) (2019) = 2019【解析】(1)写出2，3，4.若2、3、4依次成公差不为 0 的等差数列， 得23=2+4，进而求出 m

21、的值(2)证明充分性，再证必要性即可(3)因为 + 1= 2+= (12)2+(14) 14，由1 ，12 ，.21 ， 上述不等式相加， 得1 (1)， 即 (1)， 取正整数 2019+1，就可得出结论本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.【答案】解：(1) = 2， = 1时，() = 22|1| =22 + 2, 12+ 22, 1=(1)2+ 1, 1( + 1)23, 1， ()在(,1单调递减，在(1,1)上单调递增，在1, + )单调递增；(2)由题意() = 2| = 0有三个解，且他们的和为2， 时，() = 2 + = 0只有一解， = 24 = 0， = 4， = 2，联立解得 = 4， = 1，综上所述 = 4， = 1；第 17 页，共 17 页(3)() = 2| = 0即2 + = 0或2+ = 0，设2 + = 0的两根为1，2， 则1+2= ，1 0，2 0； 设2+ = 0的两根为3，4， 则3+4= ，34= 时，方程有唯一解，进而利用判别式求解；(3)() = 2| = 0即2 + = 0或2+ = 0，进而由韦达定理及求根公式 1 求解；考察分段函数的单调性，分段函数图象的理解运用，判别式的应用，韦达定理，求根公式，属于高档题；