湖北省恩施州高中教育联盟高二（上）期中数学试卷含答案.pdf

1、第 1 页，共 18 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1.已知集合 = |0.5(2+2 + 4) 0，集合 = |21 4，则集合 = ()A. (,1B. (,1)C. (,1 3, + )D. (,1) (3, + )2.定义在 R 上的奇函数()满足( + 2) = ()，(1) = 1，则(1) + (2) + + (2019) = ()A. 1B. 0C. 1D. 20193.“直线1： + 93 = 0与2： + 1 = 0平行”的一个必要不充分条件是()A. = 3B. = 3C. = 3D

2、. = 04.已知非零向量，满足| = 3，| = | + |，则| ()| = ()A. 3B. 3C. 9D. 95.在等差数列中，2+4+6= 39，1+6+11= 27， 则数列的前 9 项的和等于()A. 297B. 144C. 99D. 666.已知函数() = cos(146)( )，把函数()的图象向左平移83个单位得函数()的图象，则下面结论正确的是()第 2 页，共 18 页A. 函数()是偶函数B. 函数()在区间,2上是减函数C. 函数()的最小正周期是4D. 函数()的图象关于直线 = 4对称7.已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若/，

3、， ，则/；若/，/，则/；若 m，n 是异面直线，则存在，使 ， ，且/；若，不垂直，则不存在 ，使 其中正确的命题有()A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个8.已知等差数列的前 n 项和有最大值，且20212020 0的最大正整数 n 的值为()A. 4041B. 4040C. 2021D. 20209.数学家欧拉于 1765 年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心(三边中垂线的交点)、重心(三边中线的交点)、垂心(三边高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知 的顶点为(0,0)，(5,0)，

4、(2,4)，则该三角形的欧拉线方程为()A. + 25 = 0B. 25 = 0C. 2 + 10 = 0D. 210 = 010.已知直线 l 为圆2+ 2= 4在点( 2, 2)处的切线， 点 P 为直线 l 上一动点， 点 Q 为圆( +2)2+ 2= 1上一动点，则|的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 3 211.边长为 6 的两个等边 ， 所在的平面互相垂直，则四面体 ABCD 的外接球的体积为()A. 60 15B. 20 15C. 203D. 27 6第 3 页，共 18 页12.在各项均为正数的等比数列中，公比 (0,1)，若3+5= 10，26= 16，数列的前 n

5、项和为，且=log2，则当11+22+ +取得最大值时，n 的值为()A. 9B. 10C. 9 或 10D. 10 或 11二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）13.已知直线 l 的倾斜角是直线43 + 2 = 0的倾斜角的一半，则直线 l 的斜率是_14.设复数 = 1 + ，则复数22的共轭复数是_15.直线(1 + )(12) + 36 = 0( )被圆2+ 2= 25截得的弦长的最小值是_16.已知数列满足：1= 1，2= 3， + 2= + 1+2.某同学已经证明了数列 + 12和数列 + 1+都是等比数列，则此数列的通项公式是=_三、解答题（本大题共 6 小题，共

6、72.0 分）17.已知圆心为 C 的圆经过点(1,1)和(2,2)，且圆心 C 在直线 l： + + 5 = 0上(1)求圆 C 的方程；(2)若过点(1,1)的直线 m 被圆 C 截得的弦长为2 21，求直线 m 的方程18.在 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且1 += 2(1)求角 A；(2)若 =3，求 + 的最大值第 4 页，共 18 页19.已知数列的前 n 项和为，且满足3= 42(1)求的通项公式；(2)设数列的前 n 项和为，且=2，若不等式 对任意正整数 n 恒成立，求实数的取值范围20.如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点

7、 F 是 BC 的中点，将 ， ，分别沿 DE、DF 折起，使 A、C 两点重合于点 P(1)求证：平面 平面 PEF；(2)求二面角的正弦值；(3)求点 P 到平面 DEF 的距离第 5 页，共 18 页21.某工厂 2019 年初有资金 1000 万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除( 1 = |1 3， = |1 2 = | 3， = (,1故选：A可以求出集合 A，B，然后进行补集的运算即可本题考查了描述法、区间的定义，对数函数和指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】B【解析】解： ( + 2) = ()， ( + 4

8、) = ()， ()的周期为 4， ()是 R 上的奇函数，则(0) = 0， (2) = (0) = 0，(3) = (1) = 1，(4) = (2) = 0， (1) + (2) + (3) + (4) = 0，(1) + (2) + (3) = 0， (1) + (2) + (3) + + (2019) = 504(1) + (2) + (3) + (4) + (1)+ (2) + (3) = 0故选：B根据( + 2) = ()即可得( + 4) = ()，可知()的周期为 4，再根据()是 R上的奇函数即可得出(0) = 0，并得出(2) = 0，(3) = (1)，从而得出(1)

9、 + (2) + (3) = 0，(1) + (2) + (3) + (4) = 0，可求考查奇函数、周期函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为 0，已知函数求值的方法3.【答案】C【解析】解；直线1： + 93 = 0与2： + 1 = 0平行的充要条件是9 = 2，且 3，即 = 3，故 = 3是 = 3的必要不充分条件，第 8 页，共 18 页故选：C根据直线的平行关系，结合充分必要条件的定义，从而求出答案本题考查了充分必要条件，是一道基础题4.【答案】C【解析】解： | = | + |， ()2= ( + )2， 2 = 2 ， = 0，且| = 3， | ()| = |2

10、 | = 9故选：C可对| = | + |两边平方得出 = 0，再根据| = 3，然后进行数量积的运算即可求出| ()|的值本题考查了向量数量积的运算，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题5.【答案】C【解析】解：在等差数列中，2+4+6= 39，1+6+11= 27， 34= 39，36= 27，解得：4= 13，6= 9，5=12(4+6) = 11则数列的前 9 项的和 =9(1+ 9)2= 95= 99故选：C在等差数列中，2+4+6= 39，1+6+11= 27，可得：34= 39，36= 27，可得：5=12(4+6).利用求和公式可得：数列的前 9 项的和 =9(1+

11、 9)2= 95本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.【答案】B第 9 页，共 18 页【解析】解：把函数() = cos(146)( )的图象向左平移83个单位，得函数() = ( +83) = cos14( +83)6 = cos(14 +2) = sin14的图象，函数() = sin14是定义域 R 上的奇函数，A 错误； ,2时，14 4,2，() = sin14是单调减函数，B 正确；() = sin14的最小正周期为 =214= 8，C 错误； = 4时，(4) = 2 = 0，()的图象不关于 = 4对称，D 错误故选：B由函数图象平移法

12、则得出函数()的解析式，再判断选项中的命题是否正确本题考查了三角函数图象平移的问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题7.【答案】B【解析】解：若/， ， ，则/或 m 与 n 异面，故错误；若/，/，则/或 ，故错误；若 m，n 是异面直线，则存在，使 ， ，且/，故正确；若，不垂直，由面面垂直的判定可知，不存在 ，使 ，故正确 其中正确的命题有 2 个故选：B由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一核对四个命题得答案本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的线面关系，是基础题8.【答案】B【解析】解： 等差数列存在最大值且= 1+(1)2， 2021，2021

13、2020 12020+ 20212020 02020+2021 0，4040=(1+ 4040) 40402=(2020+ 2021) 40402 0，故选：B第 10 页，共 18 页等差数列的前 n 项和存在最大值 0；20212020 1可以判断出1与 d 的关系4040=(1+ 4040) 40402；本题考查等差数列的性质及其前 n 项和的性质，属于中等题型9.【答案】A【解析】解： 的顶点为(0,0)，(5,0)，(2,4)， 重心(73,43)设 的外心为(52,)，则| = |， (52)2+ 2=(522)2+ (4)2，解得 =54.可得(52,54).则该三角形的欧拉线方

14、程为43=43547352(73)，化为： + 25 = 0故选：A 的顶点为(0,0)，(5,0)，(2,4)，可得重心.设 的外心为(52,)，利用| = |，解得.利用点斜式即可得出该三角形的欧拉线方程本题考查了直线非常、欧拉线的应用、三角形重心外心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.【答案】A【解析】解：根据题意，圆2+ 2= 4的圆心为(0,0)，设( 2, 2)，则=2020= 1，直线 l 为圆2+ 2= 4在点( 2, 2)处的切线，则直线 l 的斜率 = 1，直线 l 经过点( 2, 2)，则直线 l 的方程为 + = 2 2，圆( +2)2+ 2= 1，设其圆

15、心为 N，则( 2,0)，半径 = 1，圆心 N 到直线 l 的距离 =|222|1 + 1= 3，点 Q 为圆( +2)2+ 2= 1上一动点，则|的最小值为 = 31 = 2；故选：A第 11 页，共 18 页根据题意，求出直线 l 的方程，由圆( +2)2+ 2= 1的方程分析其圆心半径，结合直线与圆为位置关系分析可得答案本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，关键是求出直线 l 的方程11.【答案】B【解析】解：如图所示，等边 的高为6 60 = 3 3， 它的外接圆半径为23 3 3= 2 3， 内切圆的半径为13 3 3 =3，设球心到平面CBD的距离为d，则2= 2+(2

16、3)2= ( 3)2+(33)2，解得 =3，所以 =15，所以四面体 ABCD 外接球的体积为 =433=43 ( 15)3= 20 15.故选：B求出 的高，得出它的外接圆半径和内切圆半径，利用球心到平面 CBD 的距离列方程求出外接球的半径 R，即可求得四面体 ABCD 外接球的体积本题考查了四面外接球的体积计算问题，也考查了计算求解能力，确定四面体外接球的半径是关键12.【答案】D【解析】解：在各项均为正数的等比数列中，公比 (0,1)，若3+5= 10，26= 16，可得35=26= 16，解得3= 2，5= 8或3= 8，5= 2，由 (0,1)，可得3= 8，5= 2，即有2=5

17、3=14，即 =12，=33= 26， ；=log2=log226= 6，前 n 项和=12(5 + 6) =12(11)，则11+22+ += 5 +92+4 + +112=12(5 +112) = 14(212)2+44116，当 = 10或 11 时，11+22+ +取得最大值第 12 页，共 18 页故选：D运用等比数列的性质和通项公式，求得公比，进而得到所求通项公式，再由对数的运算性质可得，运用等差数列的求和公式，以及配方法，结合二次函数的最值求法，可得所求值本题考查等比数列的通项公式和等差数列的通项公式和求和公式的运用， 考查方程思想和化简运算能力，属于中档题13.【答案】3 +1

18、72【解析】解：设直线 l 的倾斜角为， 直线 l 的倾斜角是直线43 + 2 = 0的倾斜角的一半， 2 =43=21tan2，求得 =3 +172，或 =3172(不合题意，舍去)，则直线 l 的斜率为 =3 +172，故答案为：3 +172由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，求得直线 l 的斜率本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题14.【答案】1 + 2【解析】解： = 1 + ，22 =2(1 + )2(1 + ) =221 =2221 = 12， 复数22的共轭复数是1 + 2故答案为：1 + 2把 = 1 + 代入22，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案

19、本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题15.【答案】8【解析】【分析】本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，勾股定理，属于中档题第 13 页，共 18 页由题意可得直线 l 经过定点(0,3).要使直线 l 被圆 C 截得的弦长最短，需 OA 和直线 l垂直，利用勾股定理可得结论【解答】解：圆 O：2+ 2= 25的圆心(0,0)，半径为 5，直线 l：(1 + )(12) + 36 = 0，即( + 26) + ( + 3) = 0，由 + 26 = 0 + 3 = 0,求得 = 0， = 3，故直线 l 经过定点(0,3)要使直线 l 被圆 O 截得的弦长最

20、短，需 OA 和直线 l 垂直，| = 3， 最短的弦长为2 5232= 8故答案为 816.【答案】2 + 1(1)13【解析】解：数列满足：1= 1，2= 3， + 2= + 1+2所以当 = 1时，整理得3=2+21，解得3= 5由于数列 + 12和数列 + 1+都是等比数列，设数列 + 12的公比为 q，所以首项为221= 1，第二项322= 1，则 =322221= 1，所以 + 12= 1 (1)1= (1)1.同理设数列 + 1+的公比为 t，所以数列的首项为2+1= 4，第二项3+2= 8，则 =3+ 21+ 2= 2，所以 + 1+= 4 21= 2 + 1，得：3= 2 +

21、 1(1)1，整理得=2 + 1(1)13故答案为：2 + 1(1)13直接利用数列的递推关系式的应用求出新数列的递推式，进一步解出数列的通项公式本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型17.【答案】解：(1)因为(1,1)，(2,2)，所以线段 AB 的中点坐标为(32,12)，第 14 页，共 18 页直线 AB 的斜率=2121= 3，因此线段 AB 的垂直平分线方程是 +12=13(32)，即33 = 0圆心 C 的坐标是方程组33 = 0 + + 5 = 0的解解此方程组，得 = 3 = 2，所以圆心 C 的坐标(3,3)圆

22、 C 的半径长 =(1 + 3)2+ (1 + 2)2= 5，所以圆心为 C 的圆的标准方程是( + 3)2+( + 2)2= 25；(2)因为直线 m 被圆 C 截得的弦长为2 21，所以圆 C 到直线 m 的距离 =2(21)2= 2当直线 m 的斜率不存在时，m： = 1，符合题意当直线 m 的斜率存在时，设 m： + 1 = ( + 1)，即 + 1 = 0所以|3 + 2 + 1|2+ 1= 2，解得 = 34， 3 + 4 + 7 = 0 直线 m 的方程为 = 1或3 + 4 + 7 = 0【解析】(1)确定圆心与半径，即可求圆心为 C 的圆的标准方程(2)由圆的半径，弦长，利用

23、垂径定理及勾股定理求出弦心距 d 的值，再由圆心 C 坐标和直线 + 5 = 0，利用点到直线的距离公式列出关于 k 的方程，求出方程的解即可得到 k 的值本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：二元一次方程组的解法，以及圆的标准方程，求出圆心坐标与半径是解本题的关键18.【答案】解：(1) 1 += 2， 1 += 2，即 + = 2，sin( + )= 2， = 12 0 ， =23(2) =3， =23，第 15 页，共 18 页 由余弦定理可知：2= 2+ 22，即3 = 2+ 2+ = ( + )2，又 ( + )24， + 2， + 的最大值为 2【解析】(1)由正弦定理，三角

24、函数恒等变换的应用化简已知等式可得 = 12，结合范围0 0，所以数列单调递增，=1096 + 59 221109不等式 0， 数列5是10005为首项，65为公比的等比数列 (2)由(1)知5 = (10005) (65)1，= (10005) (65)1+5，11= (10005) (65)10+5 4000， 解得 84.4；所以 x 的最大值为 84【解析】根据题意可以得出与 + 1的关系， 再通过构造出一个新的数列5从而求出其通项公式求解；2029年初资金翻两番，表示的也就是经过 11 年资金达到 4000 万，即11 4000本题考查的是数列的应用，以及学生的理解能力，分析能力22

25、.【答案】解：(1)设(,)，则|= 2，(6)2+ 22+ 2= 2，化简得( + 2)2+ 2= 16(2)当 N 不与 C 重合时， ， 是直角三角形，取 BC 中点(1,0)，则 = 3；当 N 与 C 重合时， = 3所以点 N 的轨迹是以 D 为圆心，半径为 3 的圆在圆 C 内的部分所以点 N 的轨迹方程是(1)2+ 2= 9，( 0，得245设(1,1)，(2,2)，则1+2=8241 + 2，12=162121 + 2， = (14,1) (24,2) = (14) (24) +12= (1 + 2)124(1+2) + 16 = 20为(定值)第 18 页，共 18 页注：本小题也可以用平面几何的知识直接证明【解析】(1)设出 M 的坐标，结合距离公式和条件进行化简即可(2)根据中点性质，进行转化求解即可联立直线和圆的方程，利用消元法结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及向量数量积的公式进行化简即可本题主要考查轨迹方程的应用， 结合距离公式以及直线和圆的位置关系进行转化是解决本题的关键考查学生的计算能力难度中等