上海市交大附中高二（上）期中数学试卷含答案.pdf

1、第 1 页，共 17 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1.下列等式中不恒成立的是()A. = B. = ()C. ( )2=22D. |2|2= ( + ) ()2.方程328 + 22= 0所表示的曲线的对称性是()A. 关于 x 轴对称B. 关于 y 轴对称C. 关于 = 轴对称D. 关于原点对称3.已知1(1,1)与2(2,2)是直线 = + 1(为常数)上两个不同的点，则关于 x和 y 的方程组1 + 1 = 12 + 2 = 1的解的情况是()A. 无论 k，1，2如何，总是无解B. 无论 k，1，

2、2如何，总有唯一解C. 存在 k，1，2，使之恰有两解D. 存在 k，1，2，使之有无穷多解4.如图，在同一平面内，点 P 位于两平行直线1、2两侧，且 P 到1，2的距离分别为1，3，点 M，N 分别在1，2上，| + | = 8，则 的最大值为()第 2 页，共 17 页A. 15B. 12C. 10D. 9二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）5.若 = (2,1)是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的正切值为_6.直角坐标平面 xOy 中，若定点(1,2)与动点(,)满足 = 4，则点 P 的轨迹方程是_7.已知圆244 + 2= 0的圆心是点P， 则点P到直线1

3、= 0的距离是_ 8.若向量，满足| = 1,| = 2且与的夹角为3，则| + | = _9.行列式42354112中第 2 行第 1 列元素的代数余子式的值为10，则 =_10.点(3,4)关于直线 = 1的对称点的坐标是_11.己知两点(3,4)，(1,5)，直线 l： = 1与线段 AB 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围_12.已知点(10,2)，(5,7)，若在 x 轴上存在一点 P，使|最小，则点 P 的坐标为_13.若圆2+ 2= 2( 0)和曲线|3+|4= 1恰有六个公共点，则 R 的值是_14.给出以下关于线性方程组解的个数的命题1 + 1 = 12 + 2 = 2

4、，1 + 1 + 1 = 12 + 2 + 2 = 23 + 3 + 3 = 3，1 + 1 + 1 = 12 + 2 + 2 = 2，1 + 1 = 12 + 2 = 23 + 3 = 3(1)方程组可能有无穷多组解；第 3 页，共 17 页(2)方程组可能有且只有两组不同的解；(3)方程组可能有且只有唯一一组解；(4)方程组可能有且只有唯一一组解其中真命题的序号为_15.如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，半径为 1 的动圆 Q 的圆心 Q 在边 CD 和 DA 上移动(包含端点 A， C，)， P 是圆 Q上及其内部的动点，设 = +(, )，则 + 的取值范围是_16.若实数1，

5、2，1，2：满足21+ 21= 1,22+ 22= 1，12+12=12，则|1+11| + |2+21|的最大值为_三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）17.已知直线:(2 + ) + ( + ) + = 0及点(3,4)(1)证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程18.已知 = (,1)， = (1,)， 4,4(1)求| + |2的最大值；(2)设与的夹角为，求的取值范围第 4 页，共 17 页19.在平面直角坐标系中，给定非零向量，对任意向量，定义 = 2( )|2 (1)若 = (1,2)， = (1,1)

6、，求；(2)设 = (1,2).证明 ： 若位置向量的终点在直线3 + 4 + 5 = 0上，则位置向量的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程20.已知两个定点(0,4)，(0,1)，动点 P 满足| = 2|，设动点 P 的轨迹为曲线E，直线 l： = 4(1)求曲线 E 的轨迹方程；(2)若 l 与曲线 E 交于不同的 C、D 两点，且 = 120(为坐标原点)，求直线l 的斜率；(3)若 = 1，Q 是直线 l 上的动点，过 Q 作曲线 E 的两条切线 OM、ON，切点为M、N，探究：直线 MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由第 5 页，共 17 页21.在平面直角

7、坐标系 xOy 中已知(1,1)，(2,1)，(,)为三个不同的定点以原点 O 为圆心的圆与线段 AB，AC，BC 都相切()求圆 O 的方程及 m，n 的值；()若直线 l： = + ( )与圆 O 相交于 M，N 两点，且 = 12，求t 的值；()在直线 AO 上是否存在异于 A 的定点 Q，使得对圆 O 上任意一点 P，都有|= (为常数)？若存在，求出点 Q 的坐标及的值；若不存在，请说明理由第 6 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据数量积的满足的交换律，可知 A 项恒成立；由数量积与实数运算的结合律可知 B 项恒成立；对于 C 项，( )2= (|c

8、os )2，只有cos = 1时，C 项才能成立，即 C 项不恒成立；对于 D 项，由平方差公式可知，D 项恒成立；故选：C利用平面向量数量积的运算律进行判断本题考查了平面向量数量积的运算律，属于基础题目2.【答案】D【解析】解：将方程中的 x 换为，y 换为方程变为328 + 22= 0与原方程相同，故曲线关于原点对称，故选：D根据对称的性质，将 x 用，同时 y 用代替看方程是否与原方程相同本题考查点(,)关于 x 轴的对称点为(,)；关于 y 轴的对称点为(,)；关于原点的对称点为(,)；关于 = 的对称点为(,)3.【答案】B【解析】解：1(1,1)与2(2,2)是直线 = + 1(为

9、常数)上两个不同的点，直线 = + 1的斜率存在， =2121，即12，并且1= 1+1，2= 2+1， 2112= 1212+21=211 + 1 = 12 + 2 = 1， 2 1得：(1221) =21，即(12) =21 方程组有唯一解故选：B第 7 页，共 17 页判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1，1，2，2，2的关系，然后求解方程组的解即可本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用4.【答案】A【解析】解：由点 P 位于两平行直线1，2的同侧，且 P 到1，2的距离分别为 1，3，可得平行线1、2间的距离为 2；以直线2为x轴，以过点P且与直

10、线2垂直的直线为y 轴，建立坐标系，如图所示：由题意可得点(0,1)，直线 l2 的方程为 = 2，设点(,0)、点(,2)， = (,1)、 = (,3)， + = ( + ,4)； | + | = 8， ( + )2+16 = 64， + = 4 3，或 + = 4 3；当 + = 4 3时， = + 3 = (4 3) + 3 = 2+4 3 + 3，它的最大值为(2 3)2+4 3 2 3 +3 = 15；当 + = 3时， = + 3 = (4 3) + 3 = 24 3 + 3，它的最大值为(2 3)24 3 (2 3) + 3 = 15；综上可得， 的最大值为 15故选：A建立适

11、当的坐标系，利用坐标表示向量、，根据| + | = 8求出 的解析式，再求其最大值本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，是综合题5.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了方向向量与斜率的关系，考查了运算求解的能力，属于基础题第 8 页，共 17 页【解答】解： = (2,1)是直线 l 的一个法向量 可知直线 l 的一个方向向量为(1,2)，直线 l 的倾斜角为得， = 2故答案为：26.【答案】 + 24 = 0【解析】解：设点(,)，则 = (,)因为(1,2)所以 = (1,2)因为 = 4，所以(,) (1,2) = 4即 + 2 = 4，即 + 24 = 0

12、故答案为： + 24 = 0设点(,)，根据点 P 和 A 的坐标，进而可得和，再代入 = 4，答案可得本题主要考查了利用向量的关系求点的轨迹方程属基础题7.【答案】22【解析】解：由已知得圆心为：(2,0)，由点到直线距离公式得： =|201|1 + 1=22；故答案为：22 先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可本题考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题8.【答案】 7【解析】解： | = 1,| = 2且与的夹角为3 | + |2= |2+ |2+ 2|cos3= 7 则| + | =7故答案为： 7根据| + |2= |2+|2+2|cos3可得答案第 9 页，

13、共 17 页本题主要考查向量的数量积运算，属基础题9.【答案】14【解析】解：由题意得21= (1)3212= 2 2 + 1 = 10解得： = 14故答案为：14根据余子式的定义可知， 在行列式中划去第 2 行第 1 列后所余下的 2 阶行列式带上符号(1) + 为21，求出其表达式列出关于 k 的方程解之即可此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题10.【答案】(5,2)【解析】解：依题意，设点(3,4)关于直线 = 1的对称点 Q 的坐标是(,)，则 PQ 中点坐标为( + 32, + 42)，又 直线 = 1，所以 + 32 + 42= 143 1 =

14、 1，解得 = 5 = 2，所以 Q 点坐标为(5,2)，故答案为：(5,2)设点(3,4)关于直线 = 1的对称点 Q 的坐标是(,)，根据 直线 = 1，PQ的中点在直线 = 1上列方程即可求得 x，y本题考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题11.【答案】arctan53,2) (2,6【解析】解：如图，直线 l 恒过(0,1)，因此要使直线l： = 1与线段AB有公共点，则 k 介于直线 PA 与直线 PB的斜率之间又，(3,4)，(1,5)，=4(1)30=53，=5(1)10第 10 页，共 17 页= 6， 6或 53，从而倾斜角：arctan53,2) (2,6；故答案为：

15、arctan53,2) (2,6由两点式求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线倾斜角的取值范围本题考查了直线斜率的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题12.【答案】(12,0)【解析】解：由题意，点(10,2)关于 x 轴的对称点为(10,2)，画出直线，交 x 轴于点P，此时|取得最小值，如图所示；设点(,0)，则= (5,7)，= (10,2)，由与共线有，7(10) + 2(5) = 0， = 12， (12,0)故答案为：(12,0)求出点 A 关于 x 轴的对称点，画出直线，交 x 轴于点 P，利用向量共线求出点 P的坐标即可本题考查了直线方程的应用问题，是基础题13

16、.【答案】3【解析】解：圆2+ 2= 2( 0)和曲线|3+|4= 1恰有六个公共点，如图所示，此时 = 3故答案为 3第 11 页，共 17 页可作出圆2+ 2= 2( 0)和曲线|3+|4= 1恰有六个公共点，根据图形判断即可本题考查直线与圆的位置关系， 考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14.【答案】(1)(4)【解析】解：对于(1)，方程组表示两直线的交点情况，当两直线重合时，可能有无穷多组解，故(1)正确；对于(2)，方程组表示三个平面的交点情况，若方程组有两组不同的解，即两个交点，则必有一条公共直线，即无数个交点，故(2)错误；对于(3)，方程组表示两个

17、平面的交点情况，若有且只有唯一一组解，由平面的基本性质：公理 2 可得可得一条公共直线，有无数个交点，故(3)错误；对于(4)，方程组表示三条直线的交点，当它们共点时，方程组有且只有唯一一组解，故(4)正确故答案为：(1)(4)运用直线和平面方程，当两直线重合时，即可判断(1)；运用平面的基本性质，即可判断(2)(3)；由三条直线共点，即可判断(4)本题考查线性方程组的解的情况，注意运用几何意义，结合图形是解题的关键，属于基础题15.【答案】124,2 +24【解析】【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得 = (0,4)， = (4,0)，= (4,0) + (0,4) = (4,4).由图

18、可知，当动圆 Q 的圆心经过点 D 时，(4 +22,4 +22).此时 + 取得最大值：4 + 4 = 8 +2，可得 + = 2 +24.当动圆 Q 的圆心为点 C 或点 A 时，利用三角函数求 + 的最小值本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【解答】如图所示，边长为 4 的长方形 ABCD 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心 Q 在边 CD和 DA 上移动(包含端点 A，C，)，P 是圆 Q 上及内部的动点，第 12 页，共 17 页向量 = +(,n 为实数)， = (0,4)， = (4,0)，可得= (4,0) +

19、(0,4) = (4,4)当动圆Q的圆心经过点D时，如图：(4 +22,4 +22).此时 + 取得最大值：4 + 4 = 8 +2，可得 + = 2 +24当动圆Q的圆心为点C时， BP与 相切且点P在x轴的下方时， = (4 + ,)，此时，4 + 4 = 4 2sin( +4)， + 取得最小值为：124，此时(422,22).同理可得，当动圆 Q 的圆心为点 A 时，BP 与 相切且点 P 在 y 轴的左方时， + 取得最小值为：124，此时(22,422). 则 + 的取值范围为124,2 +24.故答案为：124,2 +24.16.【答案】2 +6【解析】【分析】本题考查代数式的最

20、大值的求法，考查圆的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题设(1,1)，(2,2)， = (1,1)， = (2,2)，A，B 两点在圆2+ 2= 1上，且| = 1，A，B 到直线 + 1 = 0的距离1+2=|1+ 11|2+|2+ 21|2，由此利用两平行线的距离能求出|1+11| + |2+21|的最大值【解答】解：设(1,1)，(2,2)， = (1,1)， = (2,2)， 实数1，2，1，2：满足21+ 21= 1,22+ 22= 1，12+12=12， ，B 两点在圆2+ 2= 1上，且 = 1 1 cos =12， = 60， 是等边三角形，| = 1

21、，A 到直线 + 1 = 0的距离1=|1+ 11|2，第 13 页，共 17 页B 到直线 + 1 = 0的距离2=|2+ 21|2，则 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 + = 1平行时1+2最大，可设 AB： + + = 0，( 0)，由圆心 O 到直线 AB 的距离 =2，可得2 122= 1，解得 =62，有两平行线的距离为1 +622=2+32，1+2=|1+ 11|2+|2+ 21|22 +3， |1+11| + |2+21| 2 +6， |1+11| + |2+21|的最大值为2 +6故答案为：2 +617.【答案】解：(1)直线 l 方程可化为：(2 + + 1) +

22、 ( + 1) = 0由2 + + 1 = 0 + 1 = 0，解得 = 2且 = 3， 直线恒 l 过定点 A，其坐标为(2,3)；(2) 直线 l 恒过定点(2,3)， 当点 P 在直线 l 上的射影点恰好是 A 时，即 时，点 P 到直线 l 的距离最大， 的斜率=433 + 2=15， 直线 l 的斜率 =1= 5，由此可得点 P 到直线 l 的距离最大时，直线 l 的方程为3 = 5( + 2)，即5 + + 7 = 0【解析】本题给出直线经过定点，求直线外一点 P 到直线的距离最大时直线的方程着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题(1)直线 l 方程

23、化成(2 + + 1) + ( + 1) = 0，再联解关于 x、y 的方程组2 + + 1 = 0 + 1 = 0，即可得到直线 l 经过的定点坐标；(2)设直线 l 经过的定点为 A，由平面几何知识，得到当 时，点 P 到直线 l 的距离最大，因此算出直线 PA 的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线 l 的斜率，即可求出此时直线 l 的方程18.【答案】解：(1) = (,1)， = (1,)，第 14 页，共 17 页所以 + = (1 + ,1 + )，所以( + )2= (1 + )2+(1 + )2= 2 + 2 + 2 + sin2 + cos2= 3 + 2 2sin( +

24、4)；又 4,4，所以 +4 0,2，所以sin( +4) 0,1，所以| + |2的最大值为3 + 2 2；(2)设与的夹角为，则 = | |= + sin2 + 1 1 + cos2= + 2 + sin22，设 + = ，其中 4,4，则 =2sin( +4) 0, 2；所以 =212，所以2 + sin22 = 2 +422+ 14=422+ 94，所以 =422+ 94；当 = 0时， = 0；又 (0, 2时，2 (0,2， =22+922，且 = 2+92的最小值是2 +92，所以的最大值为292=223；综上知，0 223；又 0,，所以的取值范围是arccos223,2.【解

25、析】(1)求出 + 以及( + )2，根据的取值求得| + |2的最大值；(2)求出的解析式，利用三角函数的性质求得的取值范围，即可得出的取值范围本题考查了平面向量的模长与夹角的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题19.【答案】解：(1)由题意知， = (1,2)， = (1,1)， = 1 (1) + 2 1 = 1，|2= (1)2+ 12= 2，第 15 页，共 17 页= (1,2)(1,1) = (2,1)；(2)由 = (1,2)，根据题意设 = (0,30+ 54)，则 =030+ 52= 0+ 52，|2= 12+ 22= 5，= (0,30+ 54)25(0+ 52)(1

26、,2) = (650+1,7200+34)；即 =650+ 1 = 7200+34，消去0，得7 + 2425 = 0， 向量的终点轨迹是一条直线，且直线方程为7 + 2425 = 0【解析】(1)由题意计算 和|2的值，求出位置向量；(2)用参数设出向量，求出位置向量，再消去参数即可证明的终点轨迹是一条直线，并写出直线方程本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了新定义与运算能力，是中档题20.【答案】解：(1)设点 P 的坐标为(,)，| = 2|，即 2+ (4)2= 22+ (1)2，整理得2+ 2= 4，所以曲线 E 的轨迹方程为2+ 2= 4；(2)依题意， = = 2，且 =

27、 120，则点 O 到 CD 边的距离为 1，即点(0,0)到直线 l：4 = 0的距离 =41 + 2= 1，解得 = 15；(3)依题意， ， ，则 M，N 都在以 OQ 为直径的圆 F 上，因为 Q 是直线 l： = 4上的动点，设(,4)，则圆 F 的圆心为(2,42)，且经过坐标原点，即圆的方程为2+ 2(4) = 0又因为 M，N 在曲线 E：2+ 2= 4上，由2+ 2= 42+ 2(4) = 0，可得 + (4)4 = 0，即直线 MN 的方程为 + (4)4 = 0由 且( + )44 = 0可得， + = 04 + 4 = 0，解得 = 1 = 1，所以直线 MN 是过定点

28、(1,1)第 16 页，共 17 页【解析】(1)设点 P 的坐标为(,)，根据| = 2|列方程化简可得轨迹方程；(2) = = 2，且 = 120，则点 O 到 CD 边的距离为 1，列方程求解即可；(3)依题意， ， ，则 M，N 都在以 OQ 为直径的圆 F 上，Q 是直线l： = 4上的动点，设(,4)，联立两个圆的方程求解即可本题考查轨迹方程，涉及点到直线的距离公式，两点间的距离公式等，属于综合题，难度较大21.【答案】(1)因为圆 O 与 AB 相切，所以半径等于 O 到 AB 的距离直线 AB： = 1，所以 = 1，圆 O：2+ 2= 1圆 O 与 AC 相切，(1,1)，所

29、以直线 AC： = 1，所以 = 1直线 BC：212= + 1 + 13( + 1) + ( + 1)(2) = 0O 到 BC 的距离为 1，所以|322|9 + ( + 1)2= 1 = 3或1(舍)所以 = 3(2)设 = (1,1)， = (2,2)， 因为 M， N 在直线 l 上， 所以1= 1+，2= 2+联立 = + 2+ 2= 1得222 + 21 = 0，所以1+ 2= 12=212则12= =12+12=12+(1+)(2+) = 212(1+2) + 2=21 = 22(3)直线 AO： = ，假设存在这样的 Q，设其坐标为(,)设(0,0)，则2=|2|2=(0+

30、1)2+ (0+ 1)2(0)2+ (0)2由 P 的任意性，令0= 1，0= 0和0= 1，0= 0代入得5(1)2+ 2= 2=1(1)2+ 2(1)2+ 2= 5(1)2+52 = 12或 = 1(舍)所以2=1(1)2+ 2= 2，因为 0，所以 =2将 = 12， =2代入2=(0+ 1)2+ (0+ 1)2(0)2+ (0)2， 则2 =(0+ 1)2+ (0+ 1)2(0+12)2+ (0+12)220+ 20= 1恒成立所以这样的 Q 是存在的，坐标为(12,12)，此时 =2【解析】(1)因为 A、B 已知，所以通过 O 与 AB 的距离求半径，再根据半径求 C 点坐标，注意到 A 点坐标的特殊性，AC 这条直线是垂直于 x 轴的第 17 页，共 17 页(2)将 M、N 点坐标设出来，将直线方程与圆的方程联立，将向量关系转化为韦达定理代入即可求解(3)事实上条件的意思是圆 O 是以 A、 Q 为顶点为定比的阿波罗尼斯圆， 所以这样的 Q点是存在的可以代入特殊点将 Q 点坐标求出来，再代入验证本题考察了直线与圆的方程、点到直线的距离等知识，运用了特殊值法、韦达定理等方法，属于难题