复变函数与积分变换课件.ppt

1、1 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那那末末内内任任一一点点为为于于它它的的内内部部完完全全含含闭闭曲曲线线内内的的任任何何一一条条正正向向简简单单为为内内处处处处解解析析在在区区域域如如果果函函数数D 0zC证明证明: , )( 0连续连续在在因为因为zzf, 0 则则, 0)( 2D 0zCK , 0时时当当 zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的的内内部部全全在在的的正正向向圆圆周周半半径径为为为为中中心心设设以以CRzzKRRz R Czzzzfd)( 0则则 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)

2、(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(20003 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明上不等式表明, , 只要只要 R R 足够小足够小, , 左端积分的左端积分的模就可以任意小模就可以任意小, ,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, , 左端积分的值与左端积分的值与 R R 无关无关, , 所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能. .证毕证毕 Czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式柯西介绍柯西介绍 Kzzzzfzfd)()(004关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明: :(1) 公式

3、不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法, , 而且给出了解析函数的一个积而且给出了解析函数的一个积分表达式分表达式. . (这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(2) (2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值上的平均值. ., 0 ieRzzC 是圆周是圆周如果如果.d)(21)(2000 ieRzfzf(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)5典型例题典型例题:例例1:1:解解: 44.d3211)2(;dsin21(1) zzzzzzzzi 求下列积分求下列

4、积分 4dsin21(1)zzzzi , sin)( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf , 4 0内内位于位于 zz6 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi; 0 由柯西积分公式由柯西积分公式0sinzz7例例2:2: 2.d1 zzzze计算积分计算积分解解: , )( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zezf , 2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 8例例3:3:.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解: )1(12zz)(1izizz i

5、zizz )(1)(zf , 21 )( 内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由柯西积分公式由柯西积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 9例例4:4:解解: :).1( ,d173)( , 3 222ifzzfyxCC 求求表表示示正正向向圆圆周周设设 根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, , , 内时内时在在当当Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf 故故 , 1 内内在在而而Ci ).136(2)1( iif 所以所以10练习练习: :;211 (1): ,d14s

6、in 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 解解: : 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 1(2) 1;2z (3) 2.z 11;211 (2): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解: :12 22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理由闭路复合定理, , 得得. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 解解: 22d14sinzzzz 2112d14sinzzz

7、z 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 1314定理定理:（高阶导数公式）（高阶导数公式）. , )( ), 2, 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而而且且它它的的内内部部全全含含于于线线任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在函函数数其其中中导导数数为为阶阶它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 证明证明: , 0内任一点内任一点为为设设Dz , 1 的的情情况况先先证证 n15根据导数的定义根据导数的定义, ,zzfzzfzfz )()(lim)(

8、0000从柯西积分公式得从柯西积分公式得,d)(21)(00 Czzzzfizf,d)(21)(00 Czzzzzfizzfzzfzzf )()(00,d)(d)(2100 CCzzzzfzzzzzfzi16 Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I CzzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020 , )( 上解析上解析在在因为因为Czf,上连续上连续所以在所以在 C17 , )( 上有界上有界在在故故Czf,)( , 0 MzfM 使得使得于是于是D 0zC , 0上各点的最

9、短距离上各点的最短距离到曲线到曲线为从为从设设Czdd , 适当地小适当地小并取并取z , 21 dz 满足满足 , 0dzz 则则 , 110dzz 00zzzzzz ,2d ,210dzzz ,3dMLzI 18,3dMLzI . 的长度的长度为为这里这里CL , 0 z如果如果, 0 I那末那末zzfzzfzfz )()(lim)(0000,d)()(2120 Czzzzfi再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限zzfzzfz )()(lim000.d)()(2! 2)( 300 Czzzzfizf 可得可得19至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解至此我们证明了一个解析函数的导数仍

10、然是解析函数析函数. .依次类推依次类推, , 利用数学归纳法可证利用数学归纳法可证.d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf证毕证毕高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用: : 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分. .20典型例题典型例题:例例1:1:解解: CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225 为正向圆周为正向圆周其中其中计算下列积分计算下列积分 , 1 )1(cos )1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz , cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnz

11、zzzfinzfd)()(2!)( 100)( 根据公式根据公式21 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周内以内以在在 , 2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 , , )1( 2122围围成成的的区区域域内内解解析析在在由由则则函函数数CCCzez 221C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(2

12、2Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei231C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同理可得同理可得,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i24例例2:2:.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求积分求积分解解: , 1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z , 2 10内内在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzf

13、inzfd)()(2!)( 100)( 根据公式根据公式25 12dcos)2(zzzzze , cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez , 1 00内内在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 26例例3:3:解解: :) (.d 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由柯西积分定理得由柯西积分定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西积分公式得由柯西积分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i 27, 1)3( n Cnn

14、zzzzfinzfd)()(2!)( 100)( 根据公式根据公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni28课堂练习课堂练习 CzzzzzzgzC.d)()( , 302400求求的简单闭曲线的简单闭曲线是不通过是不通过设设答案答案 ;0)( , 00 zgCz外外在在 .)16(2)( , 2000izzgCz 内内在在29例例4:4:解解: :. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求积分求积分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有两个奇点有两个奇点函数函数, 23)1( z 2, z仅包含奇点仅包含奇点,1)( 3z

15、zf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 3031)2( z , 0 2 内内都含在都含在和和两个奇点两个奇点Czz 2, 0 21和和分别包含分别包含和和作简单闭曲线作简单闭曲线CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式, , Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz31 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 32 Czzfd )(ddCu xv

16、 y(dd )Civ xu y ttztzfzzfCd)()(d)(331010( )d ( )(). zzfG zG z34作业：习题二习题二(A) 7：1），），3），），5），），9）；）； 8：2），），4）. 11醉翁亭记 1反复朗读并背诵课文，培养文言语感。2结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。3把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。4体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者

17、北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇醉翁亭记。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(10071072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、

18、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。醉翁亭记就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1初读文章，结合工具书梳理

19、文章字词。2朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能

20、划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：

21、若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬

22、日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见我的积累本。目标导学四：解读文段，把握文本内容1赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集

23、中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，

24、美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁

25、之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也”前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色1在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使文章越发显得音调铿锵，形成一种骈散结合的独特风格。如“野芳发而幽香，佳木

26、秀而繁阴”“朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也”。(2)文章多用判断句，层次极其分明，抒情淋漓尽致，“也”“而”的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。(3)文章写景优美，又多韵律，使人读来不仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词“而”的用法用法文本举例表并列1.蔚然而深秀者；2.溪深而鱼肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧哗者表递进1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接1.渐闻水声潺潺，而泻出于两峰之间者；2.若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝；3.野芳发而幽香，佳木秀而繁阴；4.水落而石出者；5.临溪而渔；6.太守归而宾客从也

27、；7.人知从太守游而乐表修饰1.朝而往，暮而归；2.杂然而前陈者表转折1.而不知人之乐；2.而不知太守之乐其乐也虚词“之”的用法用法文本举例表助词“的”1.泻出于两峰之间者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之乐；4.山间之朝暮也；5.宴酣之乐位于主谓之间，取消句子独立性而不知太守之乐其乐也表代词1.望之蔚然而深秀者；2.名之者谁(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之乐)【教学提示】更多文言现象请参见我的积累本。三、板书设计路线：环滁琅琊山酿泉醉翁亭风景：朝暮之景四时之景山水之乐(醉景)风俗：滁人游太守宴众宾欢 太守醉宴游之乐(醉人)心情：禽鸟乐人之乐乐其乐与民同乐(醉情) 可取之处重视朗读，有利于培养学生的文言语感，并通过节奏划分引导学生理解文意，突破了仅按注释疏通文义的桎梏，有利于引导学生自主思考；不单纯关注“直译”原则，同时培养学生的“意译”能力，引导学生关注文言文的美感，在一定程度上有助于培养学生的核心素养。不足之处文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。 会员免费下载