概率论基础-PPT课件.ppt

1、 第一章第一章 概率论基础概率论基础 第一节第一节 概概 率率 空空 间间 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三节第三节 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第四节第四节 随机变量的特征函数随机变量的特征函数 第五节第五节 n维正态随机变量维正态随机变量 第六节第六节 条件数学期望条件数学期望 第七节第七节 随机变量序列的收敛性随机变量序列的收敛性 1 .复随机复随机 变量变量 设设X，Y为二维（实）随机变量，则称为二维（实）随机变量，则称 为复随机变量为复随机变量.2.数学期望数学期望 3 .特征函数特征函数 jYXZ)()()(YjEXEZE 设设X为随机变量，称复随机变

2、量为随机变量，称复随机变量 的数学期望的数学期望jtXe)(tXjtXeE为为X的特征函数，其中的特征函数，其中t是实数。是实数。 还可写成还可写成 )(tXsincostXjEtXE 第四节第四节 随机变量的特征函数随机变量的特征函数 4特征函数与分布函数的关系特征函数与分布函数的关系特征函数与分布函数特征函数与分布函数 相互唯一确定。相互唯一确定。特别特别 当当 存在时，有存在时，有 )()(xfxF)(tdxxfeitx)()(xfdtteitx)(215特征函数的性质特征函数的性质 性质性质1 对任何实数对任何实数t， 1| )(|tX证证 1| )(| )(|itXitXXeEeEt

3、所以特征函数一定存在。所以特征函数一定存在。性质性质2 证证性质性质3设设a，b为任意实数，为任意实数， ，则，则Y的特的特征函数征函数 有有证证 )()(ttXX )( tXsincosXtiXtE）（）（sincostXiEtXEsincostXiEtXE)(tXbaXY)(tY)()(atetXitbY)()(baXitYeEt)itbXatieeE（)XatiitbeEe（)(ateXitb性质性质4 性质性质5设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量 的的特征函数分别为特征函数分别为 ， ， 则和则和 若随机变量若随机变量X的的 n阶绝对矩存在，即阶绝对矩存在，即 |nXE则则X的特

4、征函数的特征函数 有有n阶导数，且有阶导数，且有 ) (tX)0()()()(kXkkiXEnk, 2 , 1rXXX，21)(1t)(2t)(trrXXXY21的特征函数为的特征函数为 )(tY)(1t)(2t)(tr例例2 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布，求求X的特征函数。的特征函数。解解 由于由于 所以所以 ekkXPk！）（)(tXekekkitk！0！keekitk)(0iteee)1(itee例例3 设随机变量设随机变量X服从服从a，b上的均匀分布，求上的均匀分布，求X的的特征函数。特征函数。 解解 X的概率密度为的概率密度为 所以所以 其它01

5、)(bxaabxfdxabetbaitxX1)()(abiteeitaitb例例4 设设X B（n，p），求），求X的特征函数的特征函数 及及和和 。 解解 X的分布律为的分布律为所以所以 )(tX）（ XE）（XDknkknqpckXP ）（)(tXknkknnkitkqpce0knkitknnkqpec)(0nitqpe)(由性质由性质4知知 npqpedtdiXEtnit0|)(）（2202222|)()(pnnpqqpedtdiXEtnit）（故故 ）（ XD22)XEXE（）（npq例：求正态分布的特征函数。例：求正态分布的特征函数。2 212( )j ttXte 12(,)nXXX

6、X设设 是是n维随机向量，其联合分布函数维随机向量，其联合分布函数为为 则称则称为为n维随机变量维随机变量X的特征函数。的特征函数。12( )(,),nF xF x xx11()12( )( ,)nndefj t Xt XjtXntt ttE eE e定义定义1.4.3 练习：练习：设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为01200.20.30.210.10.10.1X Y（1）求）求X的特征函数。的特征函数。（2）求）求(X，Y)的特征函数。的特征函数。121212121212:( ,)=(,)( ),( ,)=( )( )( )性质5 设是 维随机变量的特征函数，是随机变

7、量的特征函数，则随机变量相互独立的充要条件是innnXinnXXXnt ttnXXXXtXXXXt ttttt1212112212:( ,)=(,)( )= (,)性质3 设是 维随机变量的特征函数，则随机变量的特征函数为nnnnYnt ttnXXXXYa Xa Xa Xta t a ta t1. n维随机变量的特征函数及其性质与维随机变量的特征函数及其性质与1维类似，维类似，具体参见教材具体参见教材2. 对于取值非负的随机变量只需要将原来的傅里对于取值非负的随机变量只需要将原来的傅里叶变换改成拉普拉斯变换即可叶变换改成拉普拉斯变换即可3. 关于傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质可参见积关于傅里叶

8、变换与拉普拉斯变换的性质可参见积分变换教材分变换教材 第五节第五节 n维正态随机变量维正态随机变量 多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今为止多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今为止, ,多多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的的, ,多元正态分布是多元分析的基础。另一方面，许多元正态分布是多元分析的基础。另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。于多元正态分布。 本节将介绍多元

9、正态分布的定义，并简要给出本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给出它的基本性质。它的基本性质。 |B|B|为协方差矩阵为协方差矩阵B B的行列式。的行列式。 定义定义1.5.11.5.1：若：若n n元随机向量元随机向量 的概率密度函数为：的概率密度函数为： 则称则称 遵从遵从n n元正态分布，也称元正态分布，也称X X为为n n元元正态变量。记为正态变量。记为12(,)nXXXX111/2/211(,)exp(x)(x)2(2 )(0) nnf xxBBB12(,)nXXXXX (, ) NB)()(2)()1(2122122222112112121),( yyxrxreryxf当当n=1,

10、2n=1,2时，可以验证，此定义和通常定义的正态分布时，可以验证，此定义和通常定义的正态分布一致。一致。22212() ( )xf xe 定理定理1.5.11.5.1：设：设 ，则存在n阶正交矩阵A，使得 是是n n维独立正态随机变量，且维独立正态随机变量，且12( ,)() nYY YYXA(0,),0kkkYNddB其中是 的特征值，k=1, 2, , n. 定理定理1.5.21.5.2：设：设 ，则X的特征函数为11( )( ,)exp()2ntttj ttBtX (, ) NBX (, ) NB 定理定理1.5.31.5.3：设设 ，则(1)若 是常数，则12,nl ll1111(,c

11、ov(,)nnnnkkkki kikkkikYl XNll lXXX (, ) NB（2）若mn,则X的m个分量构成的m维随机变量服从m为正态分布 ，其中 分别是 的均值向量和协方差矩阵.12(,)mXXXX(,)N,X（3）若m维随机变量Y是X的线性变换，即Y=XC，则Y服从m维正态分布 ( ,) YNC C BC(4) 独立的充要条件是他们之间两两不相关。 12,nXXX回忆：条件分布函数 离散型 若若 ，则称，则称 为在条件为在条件 下，随机变量下，随机变量X的条件分布律的条件分布律 。0)jyYP （,)|) 1 ,2,3,)ijijijjjPX x Y ypPX x Y yiPY y

12、p （ixX jyY ,)|) 1 ,2,3,)ijijjiiiPX x Y ypPY y X xjPX xp （同样同样为在条件为在条件 下，随机变量下，随机变量Y的条件分布律。的条件分布律。 第六节第六节 条件数学期望条件数学期望 4条件分布函数 连续型 称为在条件称为在条件 下，随机变量下，随机变量X的条件分布律的条件分布律 。同样同样称为在条件称为在条件 下，随机变量下，随机变量Y的条件分布律。的条件分布律。 )(),()|(yfyxfyxfYyY )(),()|(xfyxfxyfXxX 注意注意：分母不等于：分母不等于0一般情况称称 为在条件为在条件 下，随机变量下，随机变量X的条件

13、分布律的条件分布律 。|( | )|)XYFx yPX x Y y（XxYy同样同样为在条件为在条件 下，随机变量下，随机变量Y的条件分布律。的条件分布律。 |( | )|)YXFy xPY y X x（一、条件期望的定义一、条件期望的定义1.6.3 设（X,Y）是二维随机变量， 分别是X和Y的条件分布函数，则称为X在条件Y=y下的条件数学期望.称为Y在条件X=x下的条件数学期望.| (x|y), (y|x) X YY XFF| (X|y)= ( | ) defX YExdFx y| (Y|x)= ( | ) defY XEydFy x离散型离散型 其中其中连续型连续型 其中其中)|(jyYX

14、E)|(1jiiiyYxXPx)(),()|(jjijiyYPyYxXPyYxXP)|(yYXEdxyxfx)|()|(yxf条件概率密度条件概率密度 二、全数学期望公式二、全数学期望公式 定理定理1 对一切随机变量对一切随机变量X和和Y，有有 连续型连续型 是随机变量是随机变量Y的函数，当的函数，当 时取值时取值因而它也是随机变量。因而它也是随机变量。 )|(YXEyY )|(yYXE离散型离散型 )|(YXEE)(XE)()|()(1jjjyYPyYXEXEdyyfyYXEXEY)()|()(证证 只证（只证（X，Y）是离散型随机向量时的情况）是离散型随机向量时的情况 )()|(1jjjy

15、YPyYXE)()|(11jjijiiyYPyYxXPx),(11jijiiyYxXPx),(11jijiiyYxXPx)()(1XExXPxiii例：设设 (X, Y)是定义在概率空间是定义在概率空间( ,F F, P)上的两个离散型上的两个离散型随机变量，其联合分布律为随机变量，其联合分布律为求求 E(X|Y) 的分布律，的分布律， E(E(X|Y)及及EX. X Y(x1 =)1(x2 =) 2(x3 =) 3pj(y1 =) 12/274/271/277/27(y2 =) 25/277/273/2715/27(y3 =) 31/272/272/275/27pi8/2713/276/27

16、解解：为了为了求求E(X|Y = yj) ，先求出，先求出P(X = xi ,Y= yj) (i,j=1,2,3)1. 当当Y= y1=1时有时有P(X = 1 |Y=1) =P(X = 1 ,Y= 1)/ P(Y= 1)= =P(X = 2 | Y =1) =P(X = 2 , Y = 1)/ P(Y = 1)= =P(X= 3 | Y =1) =P(X = 3 , Y = 1)/ P(Y = 1)= =故故2/277/27274/277/27471/277/2717713713742721) 1|() 1 | (31iYiXiPYXE 同样可以求得同样可以求得因此因此随机变量随机变量E(X

17、|Y) 的分布律为的分布律为1528)2|()2 | (31iYiXiPYXE511)3|()3 | (31iYiXiPYXE E(X |Y ) 13/7 28/15 11/5PE(X |Y) =E(X |,Y = j )= P(Y = j ) 7/27 15/27 5/27 随机变量随机变量 E(X|Y) 的的数学期望为数学期望为而而 从而可得从而可得 EE(X|Y) =E(X). (当当 E(X) )该式表明：局部加权后的加权平均等于总体的加权平均该式表明：局部加权后的加权平均等于总体的加权平均。275227551127151528277713) | (YXEE27522763271322

18、781)()(31iiXiPXE定义1.6.4 12(,)nXXXX设 是n维随机变量，是 的条件分布函数，则称是 在条件下的条件数学期望。称 为 在条件 下的条件数学期望。 111|,111(x |,) iiinX XXXXiiinFxxxxiX111111|,111(|,)( |,)iiiniiindefX XXXXiinE XxxxxxdFx xxxxiX111111,iiiinnXxXxXxXx111(|,)iiinE XXXXXiX111,iinXXXX定理1.6.1 111( (|,)iiiniE E XXXXXEX定理1.6.2 111(|,)iiiniE XXXXXEX设 相互

19、独立，则 12,nXXX定理1.6.3 设 是n维随机变量， 是连续函数，则 12(,)nXXX111(,)iing xxxx111111111111(,)|,)(,) (|,)iiiniiniiniiinE X g XXXXXXXXg XXXXE XXXXX定理1.6.4 1111( (|,)|,)(|,)nnknkE E XXXXXE XXX设 是n维随机变量，kn-1,则 12,nXXX 一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走通道可选择，他从第一个通道出去要走3个小时可个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走到

20、达安全地带，从第二个通道出去要走5个小时又个小时又返回原处，从第三个通道出去要走返回原处，从第三个通道出去要走7个小时也返回个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他到达安全地点平均要花多长时间。试问他到达安全地点平均要花多长时间。 例例1 解解 设设X表示矿工到达安全地点所需时间，表示矿工到达安全地点所需时间，Y表示表示他选定的通道，则由定理他选定的通道，则由定理1可知可知 )( XE)|(YXEE) 1() 1|(YPYXE) 2() 2|(YPYXE) 3() 3|(YPYXE )7()5(331EXEX15)(XE所以所以

21、 如果如果 1依分布收敛依分布收敛 设设 ， 分别为随机变量分别为随机变量 及及X 的的分布函数分布函数 随机变量序列随机变量序列 依分布收敛于依分布收敛于X，记作，记作 nX则称则称)(xFn)(xFnX 对于的每一个连续点对于的每一个连续点x，有，有 )(xF)()(limxFxFnnXXLn一、收敛性一、收敛性 第七节第七节 随机变量序列的收敛性随机变量序列的收敛性如果如果2依概率收敛依概率收敛 对于任意给定的正数对于任意给定的正数 ，有，有 随机变量序列随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于X，记作，记作 nX则称则称00|limXXPnnXXPn如果如果3r阶收敛阶收敛 对于所有的对

22、于所有的 有有 随机变量序列随机变量序列 r阶收敛于阶收敛于X，记作，记作 且且 nXnX|rnXE|rXE则称则称0|limrnnXXEXXrn4概率概率1收敛（或几乎处处收敛）收敛（或几乎处处收敛） 如果如果 随机变量序列随机变量序列 以概率以概率1收敛于收敛于X，或称，或称 几乎处处收敛于几乎处处收敛于X，记作，记作 1limXXPnn则称则称nXnXXXsan.（2）若）若 r阶收敛，则阶收敛，则 必为依概率收敛；必为依概率收敛； 收敛性之间的关系收敛性之间的关系 nXnX（3）若）若 几乎处处收敛，则几乎处处收敛，则 必为依概率收敛；必为依概率收敛； nXnXr阶收敛与几乎处处收敛不

23、存在确定的关系。阶收敛与几乎处处收敛不存在确定的关系。 注注（1）若）若 依概率收敛，则依概率收敛，则 必为依分布收敛。必为依分布收敛。nXnX 第二章第二章 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机过程的定义及其分类随机过程的定义及其分类 随机过程的分布及其数字特征随机过程的分布及其数字特征 复随机过程复随机过程 几种重要的随机过程简介几种重要的随机过程简介 概率论主要是以概率论主要是以一个或有限个随机变量一个或有限个随机变量为为研究对象的研究对象的. 随着科学技术的不断发展随着科学技术的不断发展,人们发现几乎一人们发现几乎一切可观察现象都具有随机性切可观察现象都具有随机性. 必须对一些随

24、机现象的必须对一些随机现象的变化过程变化过程进行研究进行研究.即需要研究即需要研究无穷多个随机变量无穷多个随机变量数学模型数学模型确定性的函数确定性的函数无穷多个无穷多个( (一族一族) )相相关的随机变量关的随机变量( (随机过程随机过程) )随机变量随机变量( (随机向量随机向量) )概率论概率论随机过程随机过程随随机机性性方方法法确定性方法确定性方法随机过程随机过程是概率论的深入和发展是概率论的深入和发展.它是研究客观世界中随机演变过程的它是研究客观世界中随机演变过程的规律性规律性的的学科学科.随机过程的理论与方法在自动控制、雷达与通信、随机过程的理论与方法在自动控制、雷达与通信、生物工

25、程、天文气象、地质能源、社会科学及工生物工程、天文气象、地质能源、社会科学及工程技术、经济管理等许多领域有着极为广泛的应程技术、经济管理等许多领域有着极为广泛的应用。用。 课程任务 掌握随机过程的基本概念掌握随机过程的基本概念. 掌握随机过程的基本理论和分析方法掌握随机过程的基本理论和分析方法. 具备处理随机现象的思想与方法具备处理随机现象的思想与方法. 具有应用随机过程的理论和方法来分析问具有应用随机过程的理论和方法来分析问题和解决问题的能力题和解决问题的能力. 基本内容 随机过程基本概念随机过程基本概念 随机分析随机分析 平稳过程平稳过程 马尔科夫过程（链）马尔科夫过程（链）例例1. 考察

26、考察 0，t0时间内某网站收到的访问次数时间内某网站收到的访问次数(t), 则则(t)是一个随机变量是一个随机变量 如果要长时间内该网站的访问次数如果要长时间内该网站的访问次数, 则需要让则需要让t 变化起来变化起来,即即t趋于无穷大趋于无穷大,则则 (t)是一族随机变量是一族随机变量 此时此时(t) 是与时间有关系的随机变量，称是与时间有关系的随机变量，称 (t), t0,） 是随机过程是随机过程1 第一节第一节 随机过程的定义及其分类随机过程的定义及其分类)cos(tAX(t)其中其中 为常数，为常数，服从服从0,20,2 上的均匀分布上的均匀分布. .若要观察任一时刻若要观察任一时刻t的

27、波形，则需要用一族随机变量的波形，则需要用一族随机变量(t)描述描述. 则称则称(t)，t00 ，+)为随机过程为随机过程由于初位相的随机性，在某时刻由于初位相的随机性，在某时刻tt0，(t0)是一个随机变量是一个随机变量例例.生物群体的增长问题生物群体的增长问题.以以t表示在时刻表示在时刻t某种某种 生物群体的个数生物群体的个数,则对每一个固定的则对每一个固定的t,t是一是一 个随机变量个随机变量 如果从如果从t开始每隔开始每隔24小时对群体的个数观小时对群体的个数观 察一次，则对每一个察一次，则对每一个t，t是一族随机变量是一族随机变量 也记为也记为n，n，.则称则称t ,t, 2 , .

28、 是随机过程是随机过程例例4. 在天气预报中在天气预报中, 以以Xt 表示某地区第表示某地区第t次统计所得次统计所得 到的最高气温到的最高气温,则则Xt 是一个随机变量是一个随机变量.为了预报该地区未来的气温为了预报该地区未来的气温,要让要让t趋于无穷大趋于无穷大,则可得到一族随机变量则可得到一族随机变量: Xt , t=0,1,2,， 称称t，t，2，.， 是随机过程是随机过程以上以上4个例子的共同特点是个例子的共同特点是:对某参数集中的任意一个参数对某参数集中的任意一个参数t,就有一个就有一个随机变量随机变量X(t)与之对应与之对应.表示依赖于一个变动参量的一族随机变表示依赖于一个变动参量

29、的一族随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。述，但也是有规律的。随机过程随机过程 随机过程定义随机过程定义若对每一若对每一 t T,均有定义在均有定义在(,F,P)上的一个上的一个随机变量随机变量X(,t),()与之对应与之对应,则称则称X(,t)为为(,F,P)上的一个上的一个随机过程随机过程(S.P.)记记X(,t), ,tT,简记简记X(t),tT,或或X(t).设设(,F,P)为一概率空间为一概率空间,T为一参数集为一参数集,T R, T T称为参数集或参数空间称为参数集或参数空间, t, t称为参数称为参数, ,一般表一般表示时

30、间或空间示时间或空间. . 参数集通常有以下形式参数集通常有以下形式: T=0,1,2,或或 T= -2,-1,0,1,2, T=a,b,其中其中a 可以为可以为, b可以为可以为+.当参数集为形式时当参数集为形式时,随机过程随机过程X(t)也称为也称为随机序列随机序列1. X(,t),t),实质上为定义在实质上为定义在T T上的二元单值函数上的二元单值函数. 2.对每一个固定的对每一个固定的t, X(t)为一随机变量为一随机变量(r.v.). tTT时时. .该随机变量所有可能取值的集合该随机变量所有可能取值的集合,称为随机过程的称为随机过程的状态空间状态空间.记为记为S. S中的元素称为中

31、的元素称为状态状态.3.对每一个确定的对每一个确定的0,X(0,t)是定义在是定义在T上的普通上的普通函数函数. 记为记为 x(0,t), 称为为随机过程的一个称为为随机过程的一个样本函数样本函数.也称也称轨道或实现轨道或实现.样本函数的图形称为样本函数的图形称为样本曲线样本曲线 tX(t)tt0状态状态X(t0)=4状态状态X(t0)=5样本曲线样本曲线x1(t)x1(t)x2(t)样本曲线样本曲线x2(t)状态空间状态空间S=0,1,2,., T=0,+)例例1. 考察考察 0，t0时间内某网站收到的访问次数时间内某网站收到的访问次数(t), 则则(t)是一个随机变量是一个随机变量状态空间

32、状态空间S=-A,A,参数集参数集T=-,+ tX(t)样本曲线样本曲线x1(t)样本曲线样本曲线x2(t)t0状态状态X(t0)状态状态X(t0)例例2 的样本曲线与状态的样本曲线与状态)cos(tAX(t)cos(tAX(t)其中其中 为常数，为常数，服从服从0,20,2 上的均匀分布上的均匀分布. .t0状态状态X(t0)=18状态状态X(t0)=25样本曲线样本曲线x1(t)样本曲线样本曲线x2(t)状态状态X(t0)=40样本曲线样本曲线x3(t)X(t)t10203040506070024状态空间状态空间S=0,1,2,., T=0,24,)例例.生物群体的增长问题生物群体的增长问

33、题.以以t表示在时刻表示在时刻t某种生物群体的个数某种生物群体的个数,则对每一则对每一个固定的个固定的t,t是一个随机变量是一个随机变量如果从如果从t开始每隔开始每隔24小时对群体的个数观察一次，则对每一个小时对群体的个数观察一次，则对每一个t，t是是一族随机变量一族随机变量三、随机过程三、随机过程的分类的分类1、按参数集和状态分类、按参数集和状态分类 参数集参数集T的是一个可列集的是一个可列集T=0，1，2，离散参数离散参数连续参数连续参数参数参数分类分类参数集参数集T的是一个不可列集的是一个不可列集0|ttT状态状态分类分类离散状态离散状态连续状态连续状态)(tX取值是离散的取值是离散的取

34、值是连续的取值是连续的T离散、离散、I离散离散T离散、离散、I非离散（连续）非离散（连续）参数参数T状态状态I分类分类T非离散（连续）非离散（连续） 、I离散离散T非离散（连续）非离散（连续） 、I非离散非离散（连续）（连续） 离散参数离散参数,离散状态的随机过程离散状态的随机过程 (例例3) 离散参数离散参数,连续状态的随机过程连续状态的随机过程 (例例4) 连续参数连续参数,离散状态的随机过程离散状态的随机过程 (例例1) 连续参数连续参数,连续状态的随机过程连续状态的随机过程 (例例2) 参数集为离散的随机过程也称为参数集为离散的随机过程也称为随机序列，随机序列，或或时间序列时间序列2随

35、机过程的有限维分布函数族随机过程的有限维分布函数族设设X(t),tTT是是S.P.S.P.1.一维分布函数一维分布函数对任意对任意tT, X (t)为一随机变量为一随机变量.称其分布称其分布函数函数 F (t ; x)=P(X(t) x), x R为随机过程为随机过程X(t),tT的一维分布函数的一维分布函数.2.2.二维分布函数二维分布函数对任意固定的对任意固定的t1,t2T, X (t1) ,X (t2)为两个随为两个随机变量机变量.称其联合分布函数称其联合分布函数 F (t1,t2; x1, x2)=P(X(t1) x1, X(t2) x2 ), x1, x2R为随机过程为随机过程X(t

36、),tT的二维分布函数的二维分布函数. 对任意固定的对任意固定的t1,t2, ,tnT, X (t1) ,X (t2), X (tn)为为n个随机变量个随机变量.称其联合分布函数称其联合分布函数 F (t1,t2 ,tn ; x1, x2, xn) = P(X(t1) x1, X(t2) x2 X(tn) xn ) x1 x2, xn R为随机过程为随机过程X(t),tT的的n维分布函数维分布函数. 称随机过程称随机过程X(t),tTT的一维分布函数的一维分布函数, ,二维二维分布函数分布函数,n,n维分布函数维分布函数,的全体的全体 为随机为随机过程的过程的有限维分布函数族有限维分布函数族.

37、有限维分布函数族定义有限维分布函数族定义注注: 有限维分布函数族能够描述随机过程的有限维分布函数族能够描述随机过程的 统计特性统计特性.有限维分布函数族的性质有限维分布函数族的性质对称性对称性),;,(2121nniiiiiixxxtttF),;,(2121nnxxxtttF的任意一个排列，则是设niiin, 2 , 1,21相容性相容性设设mn,则则),;,(2121mmxxxtttF),;,(21121mnmmxxxtttttF例例1.1.设随机过程设随机过程 X(t)=VcosX(t)=Vcost,t(-,+),t,t(-,+),其中其中为常数为常数,V V服从服从0,10,1上的均匀分

38、布上的均匀分布. .确定确定X(t),X(t),t(-,+)的两个样本函数的两个样本函数.求求t=0,t=3t=0,t=3/4/4时时,随机变量的概率密度函数随机变量的概率密度函数.求求t= t= 22 时时X(t) 的分布函数的分布函数.解解(1) 取取V=1/2, 1/3分别得到两个样本函数分别得到两个样本函数ttxcos21)(1ttxcos31)(2(2)X(0)1( )0fx其它10 x时，43tVVtX2243cos)(上均匀分布，则，为而时， 10,0cos)(0VVVtXt则利用公式其导数为的反函数为由于函数,2)(,2)(22xhxxhVVx0)()()()43X(xhxhf

39、xfV其它1)(0 xh02其它120 x02其它022x(3)( )cos0,22,2tX tVX时，此时 （）是单点分布 则)2()()2(xXPxFX0100 xx例例2 设随机过程设随机过程 X(t)=A+Bt, t0,其中其中A,B 是相互是相互独立的随机变量独立的随机变量,且都服从标准正态分布且都服从标准正态分布N(0,1).求求该随机过程的一维和二维分布该随机过程的一维和二维分布解解对任意的对任意的t0, X(t)=A+Bt, 有题意知有题意知X(t)是正态分布是正态分布.又又 EX(t)=0, DX(t)=1+t2所以所以S.P.的一维分布为的一维分布为X(t) N(0,1+t

40、2)又对任意的又对任意的t10, t20, X(t1)=A+Bt1 N(0,1+t12), X(t2)=A+Bt2 N(0,1+t22), (定理定理 正态变量的线性变换是正态变量正态变量的线性变换是正态变量) page24 定理定理1.5.3(3)121211( )( )()X tX tABtt即由由A,B独立知独立知, (A,B)服从二维正态服从二维正态分布分布所以所以( X(t1), X(t2) ) 也服从二维正态也服从二维正态分布分布)(EX)(EX)(X)EX()(X),(X(212121ttttttCov又21211)B)(ABE(At ttt所以协方差矩阵为所以协方差矩阵为222

41、121211111tt tt ttM而而( X(t1), X(t2) ) 的均值向量为的均值向量为 =(0, 0) 0, 0),()()(2121ttMNtXtX所以该所以该S.P.的二维分布为的二维分布为例例3.0,cosA)(S.P.Xttt设其中其中A具有以下概率分布具有以下概率分布. 3 , 2 , 1,31)(iiAP试求试求 (1)该该S.P.的一维分布函数的一维分布函数(, ),(4, )2xFFx(2)该该S.P.的二维分布函数的二维分布函数),;3, 0(21xxF解解21()cos,442XAA（）232222111333分布律为 0,1,3; )2,31,x分布函数为F(

42、4222223222322xxxx12122(0,;,)(0),()33Fx xP Xx Xx（ ）12(,)2AP Axx12(,2)P Ax Ax0,1,32,31,12()(2)P AxP Ax121222xxxx1111112233xxxx 12(2)xx2222211 222 2323xxxx或12(2)xx定义定义 (随机过程的有限维特征函数族随机过程的有限维特征函数族)设设X(t),tT是一个是一个S.P.对于任意固定的对于任意固定的t1,t2,tn T, X(t1),X(t2),X(tn)是是n个随机变量个随机变量,称称1212( , ,., ;,.,)nnt tt u uu1

43、( )11( ,;,)niiiju X tnnedF ttxxE)()(11nntXutXuje为为S.P.X(t),tTS.P.X(t),tT的的n n维特征函数维特征函数. .(ui R, i=1,2,n) 1212 ( , ,.,.,),1,2,., nniit tt u uutT uR in 称;为随机过程的有限维特征函数族为随机过程的有限维特征函数族4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征有限维分布函数族虽然能够完整描述随机有限维分布函数族虽然能够完整描述随机过程的统计特征过程的统计特征,但是在实际中很难得到但是在实际中很难得到.因此因此,如同随机变量一样如同随机变量一样,也用数字特

44、征来也用数字特征来表征随机过程表征随机过程.即将随机变量的数字特征即将随机变量的数字特征推广到随机过程中推广到随机过程中.但要注意其区别但要注意其区别:随机过程的数字特征随机过程的数字特征不再是确定的数不再是确定的数,而是确定的时间的函数而是确定的时间的函数.1. 均值函数均值函数对任意的对任意的tT,T,若若EX(t)EX(t)存在存在, ,则称则称EX(t)为为S.P.X(t)的的 均值函数均值函数.记记mX(t) 即即 mX(t)= EX(t) tT设设X(t)是一是一S.P.2. 方差函数方差函数设设X(t)是一是一S.P.对任意的对任意的tT, 若若 DX(t)=EX(t)-mX(t

45、)2 存在存在, 则称则称DX(t)为为S.P.X(t)的的方差函数方差函数. 记记DX(t). 即即 DX(t)= EX(t)-mX(t)2 tT3. 协方差函数协方差函数设设X(t)是一是一S.P. 对任意的对任意的s,tT,若若 Cov(X(s),X(t)=EX(s)-mX(s)X(t)-mX(t)存在存在,则称则称Cov(X(s),X(t)为为S.P.X(t)的的协方差函数协方差函数.记记 CX(s,t). 即即 CX(s,t)= EX(s)-mX(s)X(t)-mX(t) s,tT4. 相关函数相关函数设设X(t)是一是一S.P.对任意的对任意的s,tT, 若若EX(s)X(t) 存

46、在存在, 则称则称EX(s)X(t)为为S.P.X(t)的的相关函数相关函数. (自相关函数自相关函数)记记RX(s,t).即即 RX(s,t)=EX(s)X(t) s,tT显然显然 mX(t)=0时时, CX(s,t)= RX(s,t)5. 均方值函数均方值函数设设X(t)是一是一S.P.对任意的对任意的tT, 若若EX(t)2存在存在,则称则称EX(t)2为为S.P.X(t)的的均方值函数均方值函数. 记记X(t).即即 X(t)= EX(t)2 tT随机过程的数字特征有如下关系随机过程的数字特征有如下关系CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) s,tTT DX(t)=CX(

47、t,t) tTX(t)=RX(t,t) tT 所以最关键的数字特征是均值函数所以最关键的数字特征是均值函数与相关函数与相关函数1. 设设S.P. X(t)=acos(t+). a, 常数常数, U0, 2 求该过程的均值函数求该过程的均值函数,相关函数相关函数,方差函数方差函数. 解解( )( )XmtE X t201cos()20atdt ( , )( )( )XRs tE X s X t22021cos()cos()2cos(),2astdatss t ( , )( , )( )( )XXXXCs tRs tms mt2( , )cos(),2XRs tatss t 2( )( , )2X

48、XaDtCt tt 2. 设设S.P. X(t)=Acost+Bsint t0, 为常数为常数. A,B相互独立相互独立,同服从正态分布同服从正态分布N(0,2) 求该过程的数字特征求该过程的数字特征.解解( )( )0XmtE X tt ( , )( )( )XRs tE X s X t22coscos(sincoscossin)sinsinE AstE ABststE Bst2cos (),tss t 5 两个随机过程的联合分布和两个随机过程的联合分布和 数字特征数字特征在实际问题中在实际问题中,有时需要同时考虑两个或者有时需要同时考虑两个或者两个以上的随机过程两个以上的随机过程.例如例如

49、:一个线性系统的输入信号和输入噪声两者可能一个线性系统的输入信号和输入噪声两者可能同为随机过程同为随机过程.同时考虑一个线性系统的随机输入和随机输出同时考虑一个线性系统的随机输入和随机输出的关系等的关系等.定义定义 设设X(t),tTT和和 Y(t),tT 是是 两个随机过程两个随机过程.则称则称 X(t),Y(t), tT是二维随机过程是二维随机过程.二维过程的概率分布与数字特征有以下定义二维过程的概率分布与数字特征有以下定义定义定义 设设X(t),Y(t), tT是二维随机过程是二维随机过程.12121,1, , ,., , ,.,mnmnt ttT t ttT 对1212( ),( ),

50、(), ( ), ( ), ( )mnX tX tX tY tY tY tmn是维随机变量，称12121212( , ,;,; , , ;,)mmnnF t ttx xxt tty yy 112211( ),( ),(), ( ), ( )mmnnP X tx X txX txY tyY ty( ), ( ),X t Y t tTmn为二维随机过程的维分布函数12121212( , ,;,)( , , ;,)XmmYnnFt ttx xxF t tty yy 若也记和分定义别为随机过程( ), ( ),X t tTY t tTmn和的 维和 维分布函数.( ), ( ),( ), ( ),X