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1、第二章 投影基础知识 问题的提出问题的提出n如何用二维平面图反映三维空间物体？n解决要求：一一对应性直观性度量性n解决方法：o将复杂的问题分解成简单的问题o将具体的问题抽象成几何模型 投影法投影法 n实例：物体在光的照射下就会产生影子在墙上。n讨论：墙上影子可以反映一个物体的实际形状吗？n只能反映部分形状n只在特殊情况下反映真实尺寸 n可以通过投影想象实际物体形状n结论：通过投影将三维物体转换成二维平面物体，但还不能完全反映真实情况。n问题：是否可以通过投影解决二维平面反映三维物体？投影法投影法n通过空间点A的直线L称为投射线。 n通过空间任一点A的投射线与投影面的交点a为A点的投影。n利用投

2、射线使物体在指定面上产生图象的方法就是投影法投影法的分类投影法的分类投影法中心投影法平行投影法正投影斜投影投影法的分类投影法的分类n投射中心S为一点n投射中心S为无限远 成影现象成影现象:光源光源光线光线被投影物体被投影物体影子影子地面地面new中心投影中心投影:S中心投影中心投影投射线投射线被投影物体被投影物体投影面投影面Hnew斜投影斜投影:new正投影正投影:本教材所学的主要内容本教材所学的主要内容 投射线投射线的方向垂的方向垂直于直于投影投影面面H H且彼此且彼此平行平行. .newnew二、正投影的投影特性二、正投影的投影特性1.从属性从属性2.平行性平行性3.类似性类似性4. 真实

3、性真实性5. 积聚性积聚性1.1.从属性从属性: :直线上的点的投影仍在直线的投影上直线上的点的投影仍在直线的投影上. .C CB BA Aa ac cb bE Ef fF Fe enew2.平行性平行性:a ac cb bd dD DA AC CB B 两平行直线两平行直线 的的投影仍相互平行投影仍相互平行.new3.类似性：new4.4.真实性真实性 若线段和平面图形平行于投影面若线段和平面图形平行于投影面, ,则则其投影反映实长或实形。其投影反映实长或实形。new 5.5.积聚性积聚性 若线段和平面的图形垂直于投影面，若线段和平面的图形垂直于投影面，其投影积聚为一点或一直线段。其投影积聚

4、为一点或一直线段。new工程上常用的投影法工程上常用的投影法 n1、透视图：用中心投影法生成的投影图n优点：直观性好，多用于效果图、广告图n缺点：作图困难，度量性差；不用于施工图n2、轴测图：用平行投影法生成的单面投影图（正斜两种）n度量性和作图便利性比透视图好，直观和立体感好，有一定度量性 n多用于补充图、构思图工程上常用的投影法工程上常用的投影法 n3、多面正投影图：用正投影法将物体向多个投影面投影后将多个投影图展开到同一平面上所形成的图。n作图方便，度量性好，多用于施工图。n4、标高投影图 三、三视图的形成三、三视图的形成l（内容在另一个课件上）第二节第二节 点的投影点的投影l点是构成形

5、体的基本元素。l线和面都是由点组成的，因此必须掌握好点的投影规律。第二章第二章 点的投影点的投影S SA AB Ba a1.1.点的单面投影点的单面投影(b)(b)newnew点的两面投影点的两面投影一、两面投影体系一、两面投影体系new第一角投影的二面投影板第一角投影的二面投影板轴轴轴轴轴轴正面投影正面投影坐标圆点坐标圆点水平投影水平投影H Hnew二面投影板的展开二面投影板的展开new二、点的两面投影二、点的两面投影Aaaaxnew点的正面投影点的正面投影aa点的水平点的水平投影投影a aaaA空间点空间点newaaXO点的两面投影图点的两面投影图axaa投影连线垂直于投影连线垂直于轴轴n

6、ew点在两投影面体系中的投影规律点在两投影面体系中的投影规律 n点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴。n点的正面投影到OX轴的距离，反映该点到H面的距离；点的水平投影到OX轴的距离，反映该点到V面的距离。点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律 n点的三面投影体系是在两投影面体系的基础上，再增加一个侧立投影面W构成的。n过空间任一点A向三个投影面做垂线，求得点A三个投影面上的投影。n利用三个投影面上投影，可以唯一确定点A在空间的位置。 点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律 n点的正面投影与水平投影的

7、连线垂直于OX轴：n点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴：n点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ的距离。 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 n讨论：三投影面体系中投影和点的坐标的讨论：三投影面体系中投影和点的坐标的关系关系n点的X坐标等于点的正面投影到OZ的距离也等于点的水平投影到OYH轴的的距离；n点的Y坐标等于点的水平投影到OX轴的距离及点的侧面投影到OZV的距离；n点的Z坐标等于点的正平投影到OX轴的距离及点的侧面投影到OYW轴的距离。 例一：已知点的坐标求三面投影例一：题解利用点的两个投影求第三个投影n如果知道点的两个投影，则该点在空间的位置就确定了，因

8、此它的第三投影也唯一确定。 点在投影面和投影轴上的投影规律点在投影面和投影轴上的投影规律 n点在投影面上； 点在投影轴上点的两个投影落在投影轴上； 点的三个投影和其本身重合两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置n两点的正面投影反映两点的上下、左右位置关系：n两点的水平投影反映两点的左右、前后位置关系。 n两点的侧面投影反映两点的上下、前后位置关系。n空间两点的相对位置，由它们的坐标差所确定。（相对坐标和绝对坐标）例二：两点的相对位置例二：两点的相对位置例二：题解例二：题解重影点及投影可见性重影点及投影可见性nA，B两点位于垂直某投影面的同一条投射线上时，两点在该投影面上的投影

9、重合，则该两点叫做重影点。n不可见的点的投影用投影点外加括号方式表达。n根据重影点针对不同投影面，分别叫对H面重影点，对V面重影点，对W面重影点。重影点及投影可见性重影点及投影可见性n如何判断重影点的可见性？n正面投影-前遮后n水平投影-上遮下n侧面投影-左遮右例：重影点及投影可见性例：重影点及投影可见性例：题解例：题解第三节第三节 直线的投影直线的投影l直线的投影实际是两个点的投影。l各种位置直线的投影特性。l直线上点的投影。直线对平面相对位置直线对平面相对位置 n投影面平行线投影面平行线平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面 n投影面垂直线投影面垂直线 垂直于一个投影面，平行于另二个投影面

10、n一般位置直线一般位置直线 倾斜于三个投影面的直线。 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性 n投影面平行线种类投影面平行线种类n正平线：V，对H、W面倾斜。n水平线：H，对V、W倾斜。n侧平线：W对H、V倾斜。 n投影面平行线投影特性投影面平行线投影特性n在直线所平行的投影面上，投影反映实长；n且其投影与投影轴的夹角反映直线与相应投影面的倾角；n在另外两个投影面上的投影小于实长，且平行于相应的投影轴。 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性反映实长反映实长正平线正平线正平线正平线反映实长反映实长正平线投影图正平线投影图NEW投影面平行线

11、的投影面平行线的投影特性投影特性水平线水平线eff ef e 反映实长反映实长abcNEWEF实长实长f efe f e水平线投影图水平线投影图NEW投影面平行线的投影面平行线的投影特性投影特性侧平线侧平线反映实长反映实长DCcdc d cdNEW实长实长dcdc d c侧平线投影图侧平线投影图NEW总结总结:投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性 在所平行的投影面上的投影反在所平行的投影面上的投影反映实长；映实长； 其它两投影平行于相应的投影其它两投影平行于相应的投影轴，且小于实长。轴，且小于实长。 它与两投影轴的夹角分别反映该直线对另外两个投影轴的真实夹角。投影面垂直线的投影特性投影

12、面垂直线的投影特性 n投影面垂直线种类投影面垂直线种类n正垂线：V面，H，Wn铅垂线：H面，V，Wn侧垂线：W面，H，V 。 n投影面垂直线投影特性投影面垂直线投影特性n当直线AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影ab变成一个点ab。（积聚性）积聚性）n在另外两个投影面的投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。（平行性） 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性铅垂线铅垂线 水平投影积水平投影积聚为聚为 一点；其一点；其它两个投影平行它两个投影平行于轴，并反于轴，并反映直线实长映直线实长；直线与；直线与H面的夹角面的夹角 90实长实长NEWNEW投

13、影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性铅垂线铅垂线NEW铅垂线的投影铅垂线的投影NEW投影面垂直线的投影面垂直线的投影特性投影特性正垂线正垂线)(dcdcc d CDNEW正垂线的投影正垂线的投影)(dcc cdd NEWc投影面垂直线的投投影面垂直线的投影特性影特性侧垂线侧垂线ef)( fe ef NEWNEW侧垂线的投影侧垂线的投影ef ef)( fe NEW一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性n直线的各投影均对投影轴倾斜；n直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角。n当直线AB倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影ab长度小于实长，缩短多少，根据对投影面夹角

14、大小确定。 讨论：如何判断直线于投影面关系n投影面平行线：n有两个平行于投影轴的投影n投影面垂直线：n有两个垂直于投影轴的投影n有一个投影积聚成一点n一般位置直线：n有两个不平行于投影轴的投影铅垂线铅垂线正垂线正垂线正平线正平线NEWNEW直线与点的相对位置直线与点的相对位置一、点在直线上一、点在直线上二、点不在直线上二、点不在直线上三、直线的迹点三、直线的迹点一、 C点在点在直线上直线上ABa bab baCcc cNEW点在直线上上。点在直线上上。NEWabcc ca b ba 点的投影在直线的同面投影上，并点的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。符合点的投影规律。 C点在直线上点

15、在直线上NEWABa bab ba 二、点不在二、点不在 直线上。直线上。dd dDNEW例：例：判断点是否在直线判断点是否在直线 上上解法：解法： 点的投影不符合点在直线上的投影规律，点的投影不符合点在直线上的投影规律，故点不在直线上。故点不在直线上。NEWd0M0解法解法例：例：判断点是否在直线判断点是否在直线 上上O O 点的投影不符合直线上点定比性，故点点的投影不符合直线上点定比性，故点不在直线上。不在直线上。NEW直线上点投影的特性直线上点投影的特性 n从属性：点在直线上，点的投影在直线的同面投影上。n定比性：点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比 。例：直线上点投影的特性例：直线

16、上点投影的特性 例：直线上点投影的特性例：直线上点投影的特性 第四节第四节 平面的投影平面的投影l平面的表示法。l各种位置平面的投影。l平面上的点和直线。平面的表示方法平面的表示方法 n几何元素表示平面： 不在同一直线上的三点； 一直线和直线外一点； 相交两直线； 平行两直线； 平面图形。各种位置的平面各种位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面投影面垂直面投影特性投影面垂直面投影特性n垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 正垂面：垂直于V面，对H，W面倾斜 铅垂面：垂直于H面，对V，W面倾斜 侧垂面：垂直于W面，对H，V面倾斜n投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投

17、影特性： 平面所垂直的投影面上的投影积聚为直线，与投影轴的夹角，分别反映平面对另两个投影面的真实倾角。（积聚性）（积聚性） 在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。（类似性）类似性） 铅垂面的投影铅垂面的投影new投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性铅垂面铅垂面new铅垂面铅垂面newppp正垂面正垂面的投影的投影qqq投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性new正垂面正垂面qqqnew侧垂面侧垂面R的投影的投影rrr投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性r侧垂面侧垂面的投影的投影rrnew投影面平行面投影特性投影面平行面投影特性n平行于一个投影面，垂直于另两个投影面。

18、 正平面：平行于V面，对H，W面垂直 水平面：平行于H面，对V，W面垂直 侧平面：平行于W面，对H，V面垂直n n投影面平行面投影特性：投影面平行面投影特性： 平面所平行的投影面上的投影反映实形；（实形性）（实形性） 平面在另外两个投影面上的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。 （积聚性）（积聚性）水平面水平面的投影的投影qqq投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性水平面水平面qqqqqq水平面水平面的三面投影的三面投影投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性正平面正平面正平面的三面投影的三面投影侧平面侧平面的投影的投影Rrrr投影面平

19、行面的投影特性投影面平行面的投影特性rrrnew一般位置平面投影特性一般位置平面投影特性n对V，H，W面都倾斜，不在同一直线上的三点构成的平面。n投影特性投影特性 一般位置平面的投影特性：三面投影仍为平面图形，且面积缩小。其投影为和原来形状类似的图形。（类似性）（类似性） cbaabcbacACB一般位置平面的投影一般位置平面的投影投影为空间平面的类似形投影为空间平面的类似形newYW c aY PW一般位置平面的投影一般位置平面的投影 c b a b a b c投影为小于三角形实形的类似形投影为小于三角形实形的类似形new平面和直线投影特点平面和直线投影特点n实形性：投影反映实形。 直线或平

20、面平行于投影面时。n积聚性：投影积聚成一点或一条线。 直线或平面垂直于投影面时。n类似性：投影成为缩小的类似形。直线或平面倾斜于投影面时。例：例：已知平面的两投影，求第三投影。已知平面的两投影，求第三投影。new例：找出图中所标各例：找出图中所标各面的第三投影，并判断面的第三投影，并判断它们的空间位置。它们的空间位置。new1322水平面水平面侧平面侧平面铅垂平面铅垂平面实形实形PQBFECp 例：找出投影图中所标的平面、平面及、例：找出投影图中所标的平面、平面及、直线的三投影，并判断它们的空间位置。直线的三投影，并判断它们的空间位置。qqq pp平面为一般位置平面；平面为一般位置平面；平面为

21、正平面。平面为正平面。直线为正平线；直线为正平线；直线为水平线。直线为水平线。实实形形实实长长new总结总结n在平面作图中要注意利用实形性、积聚性和类似性的性质。n平面的三个投影中，必然有一个是封闭线框。一般情况下投影图上的一个封闭线框表示空间一个面的投影。 平面上的点和直线平面上的点和直线 n点和直线在平面上的几何条件是： (1)点在平面上，则该点必定在平面上的一条直线上。 (2)直线在平面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。n上述几何条件，是解决有关平面上点和直线的作图和判别等习题的依据。可以解决三类问题： 判别已知点、线是否属于平面； 完

22、成已知平面上的点和直线的投影； 完成多边形的投影。 cb ba aaabcbbaaccAC CB B平面内的点和直线平面内的点和直线M Maabcmmmmm m 若一直线若一直线通过平面上的通过平面上的两点，则此直两点，则此直线在该平面上线在该平面上。此直线上的。此直线上的任意点都在该任意点都在该平面在上。平面在上。new例：判别已知点、线是否属于平面例：判别已知点、线是否属于平面例：完成多边形的投影例：完成多边形的投影YW c aY c b a b a b c m m m 例：例：已知点在平面三角形上，作已知点在平面三角形上，作出点的三面投影。出点的三面投影。 例例：求作平面梯形：求作平面梯形ABCDABCD上的梯形上的梯形EFGHEFGH的水平投影。的水平投影。 题解：题解：adegfh1c2bdefc1ag2hb例：已知平面四边形例：已知平面四边形ABCDABCD的水平投影的水平投影abcdabcd和正面和正面投影投影a a b b d d ，试完成四边形的，试完成四边形的正面投影正面投影。new