数学分析定积分课件.ppt

1、下午11时13分0秒上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出下午11时13分1秒一、主要内容一、主要内容1 1、定积分的定义、定积分的定义的取法均无关。的取法均无关。及及该极限与该极限与iT iiiiTbaxxfdxxf)()(lim )(10| 定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。与积分变量记号的选择无关。 badxxf)( badttf)( baduuf)(上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出下午11时13分2秒求出求出及特殊的点集及特殊的点集取特殊的分割取特殊的分割,

2、 )1(iT iiiTbaxfdxxf)(lim )(0| 殊殊点点。取取左左端端点点、右右端端点点或或特特等等分分，通通常常对对inba ,（2） 利用牛顿利用牛顿-莱布尼兹公式。莱布尼兹公式。babaxFaFbFdxxf| )()()()(2 2、定积分的计算、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：法求出其值：上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出下午11时13分2秒3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义面积的代数和。面积的代数和。4 4、定积分的性质、定积分的性质线性、线性、 关于积分区间的可加性、关

3、于积分区间的可加性、估值不等式、估值不等式、积分第一、第二中值定理。积分第一、第二中值定理。5 5、定积分与不定积分的联系、定积分与不定积分的联系（1 1）变上限积分的导数公式；）变上限积分的导数公式；保号性、保号性、),()(xfdttfdxdxa )()()()(xaxafxbxbf )()()(xbxadttfdxd上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出下午11时13分2秒（2 2）牛）牛- -莱公式。莱公式。（3 3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。不一定可积。因为因为“含有第一类间断点的函数含有第一类间断点的

4、函数”都没有原函数，都没有原函数，而而“含有有限个第一类间断点的函数含有有限个第一类间断点的函数”都可积。都可积。所以可积函数不一定有原函数。 0 , 01 , 10 ,1sin)(22xxxxxxf且且 0 , 01 , 10 ,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且且上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出下午11时13分2秒无界，从而不可积，无界，从而不可积，在在11)( xf),(11)(xfxf的原函数是的原函数是，在在但但 即说明有原函数的函数不一定可积。上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出下午11时13分2秒6 6、可积条件、可积条件

5、必要条件必要条件 若函数若函数f在在a,b上可积，则上可积，则f在在a,b上必定有界。上必定有界。 充要条件（充要条件（1） 函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当： ，使使分分割割T , 0 . Tiix, 0T分分割割、 使得属于使得属于T的所有小区间中，的所有小区间中， 充要条件（充要条件（2） 函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当： 对应于振幅对应于振幅 的那些小区间的那些小区间 的总长的总长. kkx kk 上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出下午11时13分2秒7 7、可积函数类、可积函数类1、在、在a,b上连续的函数在上连续的函数在a,b可积

6、。可积。2、在、在a,b上只有有限个间断点的有界函数在上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。上可积。 3、在、在 a,b上单调的有界函数在上单调的有界函数在a,b上可积。上可积。 （允许有无限多个间断点）（允许有无限多个间断点） 但并非可积函数只有这但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数类。如：黎曼函数不属于这不属于这3类的任何一类，但它是可积的。类的任何一类，但它是可积的。 在在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在则函数在a,b可积。可积。上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出下午11时13分2秒8 8、利用不定积分计算定积分、

7、利用不定积分计算定积分（1 1）线性；）线性；恒等变形；恒等变形； 换元；换元； 分部积分；分部积分；一些特殊类型函数的积分。一些特殊类型函数的积分。（2 2）与不定积分法的差别）与不定积分法的差别 （3 3）利用对称性、周期性及几何意义。）利用对称性、周期性及几何意义。牛牛- -莱公式莱公式 积分限的确定，换元要换积分限，原函数积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。求出后不需回代。（4） 开偶次方时，要带绝对值。开偶次方时，要带绝对值。上一页上一页 下一下一页页 主主 页页返回返回 退出退出下午11时13分2秒9 9、杂记、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。）定积分

8、可用于计算某类特殊数列的极限。（2） 对对D(x)和和R(x) 的可积问题多一些关注。的可积问题多一些关注。下午11时13分2秒二二 习题选讲习题选讲P206下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P206下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P206下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P206下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P206下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P206下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P215下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P215下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P222下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲

9、P222下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P222下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分3秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P223下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲

10、P233下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P233下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P233下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分4秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲

11、P234下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P234下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P240下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分5秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分6秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分6秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分6秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分6秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分6秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分6秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分6秒二二 习题选讲习题选讲P241下午11时13分6秒二二 习题选讲习题选讲P241