1、笔记-面积处理 5：对角线乘积的一半解题心得如图，若四边形 ABCD 的对角线 AC BD ，则它的面积可以这样计算：1 1 1SABCD = D + D = + = S S BD AO BD CO BDABD BCD2 2 2AC如果四边形 ABCD 的对角线不垂直呢？设对角线 AC 与 BD 之间的夹角为a .它的面积是这样计算的：SABCD=1 1 1SD S BD AO BD CO BD AC+ = sina + sina = sinaABD DBCD2 2 2- 1 -解题笔记【例 1】（2016 全国卷理 20）设圆 x2 + y2 + 2x -15 = 0 的圆心为 A ，直线l
2、 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合，l 交圆A 于C, D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E .（1）证明： EA + EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（2）设点 E 的轨迹为曲线C ，直线l 交C 于 M , N 两点，过 B 且与l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形1 1MPNQ 面积的取值范围.- 2 -【例 2】（2021 深圳一模理 20）已知点 A(1,0) ，点 B 是圆O1 :(x +1)2 + y2 =16 上的动点，线段 AB 的垂直平分线与BO 相交于点C ，点C 的轨迹为曲线 E .1（1）求 E 的方程；（2）过点 1,
3、l l 与曲线 E 交于 M , N 两点，直线l 与圆O 交于 P,Q 两点，O 作倾斜角互补的两条直线l ，若直线1 2 1 2 1当 M , N, P,Q四点构成四边形，且四边形的面积为8 3 时，求直线 l 的方程.1- 3 -解题反思x y2 2【题 1】（2016 北京卷文 19）已知椭圆C : + =1过点 A(2,0), B(0,1)两点.a b2 2（1）求椭圆C 的离心率；（2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，求证：四边形 ABNM 为定值.- 4 -x y2 2【题 2】（2013 全国卷理
4、 20）经过椭圆 M : + =1(a b 0) 的右焦点的直线 x + y - 3 = 0 交椭圆 M 于a b2 2A, B 两点， P 为 AB 的中点，且直线OP 的斜率为12.（1）求椭圆 M 的方程；（2）C, D 为椭圆 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线CD AB ，求四边形 ACBD 面积的最大值.- 5 -x y2 2【题 3】已知椭圆 ( )C : + =1 a b 0 的离心率为a b2 212，过右焦点 F 的直线l 与C 相交于 A,B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22（1）求椭圆C 的方程；（2）若 P,Q,M,N 是椭圆C 上的四点
5、，已知 PF 与 FQ共线，MF 与 FN 共线，且 PF MF = 0，求四边形 PMQN面积的最小值.- 6 -x y2 2【题 4】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 1( 0)+ = a b a b2 2的离心率为22，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与CD ，当直线 AB 斜率为 0 时， AB + CD = 3 2 .（1）求椭圆的方程；（2）求由 A, B,C, D 四点构成的四边形的面积的取值范围.- 7 -x2【题 5】过椭圆 + y =1的右焦点作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于 A, B 和C, D .24（1）求证：1AB1+ 为定值；CD（2）求四边形 ABCD 面积的最值.- 8 -
