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1、理论力学第十章第十章动动 量量 定定 理理1理论力学2理论力学3理论力学4理论力学5理论力学即即 cpmv10-1 10-1 动量与冲量动量与冲量一、动量一、动量 1niiipmv 质点系的动量质点系的动量 ddddciiiirrmmmvtt i icmrrm质心质心 mv质点的动量质点的动量 niiiniizizniiiniiyiyniiiniixixzmvmpymvmpxmvmp111111问题：问题：如何用如何用简便方法简便方法计算刚计算刚 体或刚体系的动量？体或刚体系的动量？结论结论：质点系的动量等于质点系：质点系的动量等于质点系的总质量与其质心速度的乘积。的总质量与其质心速度的乘积。

2、6理论力学45,42321mmm绳的质量和变形不计，绳的质量和变形不计，已知已知:求求: 这三个质点动量的矢量和。这三个质点动量的矢量和。1 12233mmmpvvv投影投影 :vmvmvmpx33322707. 2cosvmvmvmpy33311293. 3sinvmpppyx322263. 458.50arccos),(ppxip58.140arccos),(ppyjp7理论力学杆长：杆长：l，质量：，质量：m，角速度：角速度：。Cmvp 2lm方向与方向与vC一致。一致。均质轮质量：均质轮质量：m，轮心速度：轮心速度：vC。 Cmvp 方向与方向与vC一致。一致。均质圆轮质量：均质圆轮质

3、量： m。 0p8理论力学二、冲量二、冲量1 1常力的冲量常力的冲量 变力的冲量变力的冲量 作用力与作用时间的乘积称为作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量常力的冲量tFI 冲量是矢量，它的方向与常力的方向一致。冲量是矢量，它的方向与常力的方向一致。变力的变力的元冲量元冲量t ddFI 变力的变力的冲量冲量tt0dFI冲量的单位，在国际单位制中：冲量的单位，在国际单位制中：Ns。9理论力学2121dttmvmvF tI10-2 10-2 动量定理动量定理1.1.质点的动量定理质点的动量定理d()dmvFtd()dmvF t或或即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量即质点动量的增量等于作用于

4、质点上的力的元冲量. .1t2t1v2v在在 内内, 速度由速度由 , 有有 即在某一时间间隔内即在某一时间间隔内, ,质点动量的变化等于作用于质点质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量的力在此段时间内的冲量. .质点动量定理的微分形式质点动量定理的微分形式质点动量定理的积分形式质点动量定理的积分形式10理论力学2.2.质点系的动量定理质点系的动量定理(e)iF(i)iF外力外力: : , 内力内力: : 内力性质内力性质: :(i)0iF(i)()0OiMF(i)d0iFt(e)(i)d()ddi iiimvFtFt质点质点: :(e)(i)d()ddi iiimvFtFt 质点

5、系质点系: :(e)(e)dddiipFtI (e)ddipFt 或或质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和矢量和; ;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和力的矢量和. .11理论力学 即在某一时间间隔内即在某一时间间隔内, ,质点系动量的改变量等于在这段质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和时间内作用于质点系外力冲量的矢量和. .质点系动量定理微分形式的投影式质点系动量定理微分形式的投影式 质点

6、系动量定理积分形式的投影式质点系动量定理积分形式的投影式(e)21xxxppI (e)21yyyppI (e)21zzzppI (e)211niippI (e)xxpFt dd(e)yypFt dd(e)zzpFt dd质点系动量定理的积分形式质点系动量定理的积分形式3 3质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律( )0eF若若 , =恒矢量恒矢量pxp若若 , = 恒量恒量(e)0 xF12理论力学13理论力学如果天上飞的鸟撞上飞机. 鸟重0.45公斤，飞机速度80公里/小时，相撞将产生1500牛顿的力。鸟重0.45公斤，飞机速度960公里/小时，相撞将产生21.6万牛顿的力。鸟重1.8公斤，飞

7、机速度700公里/小时，相撞将产生比炮弹还大的冲击力。14理论力学 电动机外壳固定在水平基础上电动机外壳固定在水平基础上, ,定子和外壳的质量为定子和外壳的质量为 , ,转子质量为转子质量为 . .定子和机壳质心定子和机壳质心 , ,转子质心转子质心 , , ,角速度角速度 为常量为常量. .求基础的水平及铅直约束力求基础的水平及铅直约束力. .1m2m1O2OeOO21例例10-210-215理论力学temgmmFycos)(2221temFxsin22得得emp2tempxcos2tempysin2解解: :12ddyypFm gm gtddxxpFt由由动约束力动约束力附加动约束力附加动

8、约束力16理论力学动量动量 动量守恒方程中的速度必须是绝对速度；动量守恒方程中的速度必须是绝对速度； 应确定一个正方向，严格按照动量投影的正负号去计算；应确定一个正方向，严格按照动量投影的正负号去计算； 动量守恒定理常用来求速度。动量守恒定理常用来求速度。17理论力学C实例分析实例分析太空拔河太空拔河宇航员宇航员A、B的质量分别为的质量分别为mA、mB。开始时二人在太空保持静止。若开始时二人在太空保持静止。若A的的力气大于力气大于B，则拔河胜负如何？，则拔河胜负如何？, 0)( eF0)( CBABBAAmmmmvvvAvBv18理论力学ABm1xyr19理论力学 例例 质量为m1的大三角形柱

9、体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m2的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。已知系统初始静止。解解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析受力分析， , 0)e(xFxp水平方向常量。reavvv则小三角块小三角块相对大三角块速度为 ，rvv设大三角块速度运动分析运动分析，x20理论力学0)(a21xvmvm由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止 ；则 0)()(r21vvmvmx221r221r mmmSSmmmvvxx22r1212 ()xmmSSabmmmm21理论力学 一、质量中心一、质量中心( (简称质心简称质心) )iiiCmm r

10、r计算质心位置时，常用上式在计算质心位置时，常用上式在直角坐标轴上的投影形式，即直角坐标轴上的投影形式，即iiiCmxmxiiiCmymyiiiCmzmz质量中心的公式：质量中心的公式：mmiirmxmiimymiimzmii10-3 10-3 质心运动定理质心运动定理22理论力学2022-5-1523理论力学如图所示，曲柄滑块机构中，设曲柄如图所示，曲柄滑块机构中，设曲柄OA受力偶作用以匀角速受力偶作用以匀角速度度转动，滑块转动，滑块B沿沿x轴滑动。若轴滑动。若OA = =AB = =l，OA及及AB皆为均皆为均质杆，质量皆为质杆，质量皆为m1，滑块，滑块B的质量为的质量为m2。求此系统的质

11、心运。求此系统的质心运动方程、轨迹方程和动量。动方程、轨迹方程和动量。例例10-310-324理论力学解：解：设设t=0时杆时杆OA水平，则有水平，则有= =t。所以质心。所以质心C的坐标为的坐标为tmmlmlmlmxCcos2223221211tmmlmyCsin222211tlmmmmcos2)(22121tlmmmsin2211上式为此系统质心上式为此系统质心C的运动方程。的运动方程。 上两式消去时间上两式消去时间t，得，得 1)2()(2)2(212122121lmymmlmmxmmCC即质心即质心C的轨迹方程。的轨迹方程。25理论力学动量动量Cxxvmmp)2(21Cyyvmmp)2

12、(21系统动量的大小为系统动量的大小为22yxppp系统动量的方向余弦为系统动量的方向余弦为ppx),cos(ipppy),cos(jpCxmm)2(21tlmmsin)(221Cymm)2(21tlmcos1tmtmml2212221cossin)(4tmtmmtmm221222121cossin)(4sin)(2tmtmmtm22122211cossin)(4cos26理论力学 问题：问题：内力是否影响质心的运动？内力是否影响质心的运动？(e)1d()dnCiimvFt 由由(e)1ddnCiivmFt 得得(e)1nCiimaF 或或 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系质点系

13、的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和外力的矢量和. .质心运动定理质心运动定理质心运动定理与动力学基本方程有何不同？质心运动定理与动力学基本方程有何不同？二、质心运动二、质心运动定理定理 Cmvp 由于由于因此动量定理的微分形式可写成因此动量定理的微分形式可写成27理论力学(e)CxxmaF (e)CyymaF (e)CzzmaF 2(e)CnvmF (e)CtvmFt dd(e)0bF 在直角坐标轴上的投影式为在直角坐标轴上的投影式为: :在自然轴上的投影式为在自然轴上的投影式为: :质心运动定理是矢量式。质心运动定理是矢量式。应用时取投影形式。应用时取投影形式。28理论力学

14、 （1 1）质系质心的运动，可以视为一质点的运动，如将质系）质系质心的运动，可以视为一质点的运动，如将质系的质量集中在质心上，同时将作用在质系上所有外力都平移的质量集中在质心上，同时将作用在质系上所有外力都平移到质心上，则质心运动的加速度与所受外力的关系符合牛顿到质心上，则质心运动的加速度与所受外力的关系符合牛顿第二定律。第二定律。Pv29理论力学（2 2）质系的内力不能改变质心的运动，只有外力才能改变质）质系的内力不能改变质心的运动，只有外力才能改变质 心的运动。心的运动。30理论力学FrMaCW1fM2fMr21)(FFFFa eiCm31理论力学（3）若质点系是由）若质点系是由n个刚体组

15、成的系统，则刚体系内各刚体的个刚体组成的系统，则刚体系内各刚体的质量与其质心加速度乘积的矢量和，等于作用于刚体系的外力质量与其质心加速度乘积的矢量和，等于作用于刚体系的外力的主矢。即的主矢。即)()(eReiCiimFFa )(exiCiiCixiFxmam )(eyiCiiCiyiFymam )(eziCiiCiziFzmam 32理论力学均质曲柄均质曲柄AB长为长为r, ,质量为质量为m1 , ,假设受力偶作用以不变假设受力偶作用以不变的角速度的角速度转动转动, ,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D , ,如图所示如图所示. .滑槽、连杆、活塞总质量为滑槽、

16、连杆、活塞总质量为m2 , ,质心在点质心在点C . .在活在活塞上作用一恒力塞上作用一恒力F F . .不计摩擦及滑块不计摩擦及滑块B B的质量的质量, ,求求: :作用在曲作用在曲柄轴柄轴A A 处的最大水平约束力处的最大水平约束力Fx . .例例10-510-533理论力学tmmmmrtxaCCxcos2dd2121222tmmrFFxcos2212212max2mmrFF显然显然, ,最大水平约束力为最大水平约束力为应用质心运动定理应用质心运动定理, ,解得解得FFammxCx2121211coscos2mmbrmrmxC如图所示如图所示解解: :34理论力学 例例 如图所示，均质杆O

17、A，长 ,重为 ，绕O 轴在铅垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度分别为 和 ，求该瞬时轴O 的约束反力。l 2P解解: :取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。取坐标系Oxy，杆OA质心加速度为：2lanClaC方向如图（b）所示。则：CllAOyFOxFPnCatCa(b)(b)xyOP PCllAO(a)(a)35理论力学sincossincos2tnllaaaCCCxcossincossin2tnllaaaCCCy由质心运动定理得：OxFllgP)sincos(2PFllgPOy)cossin(2解得：)sincos(2gPlFOx)cossin(2gPlPFOy 本题

18、约束反力也可表示为切向力和法向反力，读者可自己进行求解。36理论力学质心运动守恒定律质心运动守恒定律 从质心运动定理知，如果作用于质点系外力主矢为零，则质心从质心运动定理知，如果作用于质点系外力主矢为零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变。如果作用于质点系作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变。如果作用于质点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上投的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上投影不变；若开始速度为零，则质心在该轴坐标不变。影不变；若开始速度为零，则质心在该轴坐标不变。该结论称为该结论称为质心运动守恒定律。质心运动守恒定律。

19、只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, , 内力不能改内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。(e)0F若若 则则 常矢量常矢量 Cv (e)0 xF若若则则 常量常量 Cxv37理论力学0)( eiF CCo va , 00 Cv Cr( )0,exiF 0 , CxCxav00Cxv Cx ( )eCim aF( )( )( )eCxxeCyyeCzzmaFmaFmaF 2( )( )( )0eCneCtebvmFdvmFdtF 38理论力学 用质心运动定理可以解释工程实际中的一些现象： 空中飞行的弹丸如

20、不受空气阻力，其质心将沿抛物线轨道运动。假设弹丸在空中爆炸，爆炸力是内力，只能使爆炸后各碎片的运动重新分配。各碎片可以脱离原轨道四散飞开，但所有碎片所组成的系统的质心仍将继续沿爆炸前弹丸质心的抛物线轨道运动，直到有一弹片碰到其他物体为止。工程上常用的定向爆破的施工方法也是利用质心运动定理预先估算碎石的抛射距离。 再如，汽车之所以能够行进，是依靠驱动轮与地面之间向前的摩擦力。否则，车轮只能在原地空转，因为发动机中的燃气压力属于内力，它并不能直接产生质心加速度而使汽车前进。冰雪天气，由于路面湿滑，常常在汽车的车轮上缠上防滑链，就是为了增加驱动轮与地面间的摩擦力。刹车时，制动装置与车轮之间的摩擦力是

21、内力，它并不能改变质心的运动状态而使汽车停止前进，但能阻止车轮相对于车身的转动。如果没有车轮与地面之间的摩擦力，即使制动装置使车轮停止转动，车辆仍然要向前滑行，不能减速。39理论力学求求: :电机外壳的运动电机外壳的运动. .已知已知：地面水平地面水平, ,光滑光滑, , , , , , ,初始静止初始静止, , 常量常量. .1m2me例例 10-610-6 40理论力学2121)sin()(2mmseamsamxCaxC1设设由由 , ,21CCxxsin212emmms得得解解: :41理论力学 例例: :在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设

22、人质量为为m2，船的质量为，船的质量为m1, ,船长船长l，水的阻力不计。求船的位移。，水的阻力不计。求船的位移。解：解：取人和船为研究对象。取人和船为研究对象。 0)(exF00Cxv常常数数Cx且且因因所以所以取图示坐标。在人走动前，质心的坐取图示坐标。在人走动前，质心的坐标为标为12121mmbmamxC人走到船尾时人走到船尾时, ,船位移的距离为船位移的距离为s, ,则则质心的坐标为质心的坐标为12122)()(mmsbmslamxC由于由于21CCxx解得解得122mmlms42理论力学 质心运动定理建立了作用于物体的外力与质心运动状态之质心运动定理建立了作用于物体的外力与质心运动状

23、态之间的关系，特别适合于求解已知质心运动求外力，或已知间的关系，特别适合于求解已知质心运动求外力，或已知外力求质心运动规律的问题。对于那些不受外力或外力在外力求质心运动规律的问题。对于那些不受外力或外力在某轴上的投影为零的质点系动力学问题，则适宜用质心运某轴上的投影为零的质点系动力学问题，则适宜用质心运动守恒定律来求解。动守恒定律来求解。应用质心运动定理解题的步骤如下：应用质心运动定理解题的步骤如下：(1) (1) 选取研究对象，分析受力选取研究对象，分析受力( (画出质点系所受全部外力，画出质点系所受全部外力，包括主动力和约束反力包括主动力和约束反力) )。(2) (2) 如果外力主矢等于零

24、，或外力在某轴上的投影为零，则如果外力主矢等于零，或外力在某轴上的投影为零，则应用质心运动守恒定理求解。若初始静止，则质心的坐标应用质心运动守恒定理求解。若初始静止，则质心的坐标保持不变。分别计算两个时刻质心的坐标保持不变。分别计算两个时刻质心的坐标( (用各质点的坐用各质点的坐标表示标表示) )，令其相等，即可求出所要求的某质点位移。，令其相等，即可求出所要求的某质点位移。(3) (3) 如果外力主矢不等于零，若已知质心的运动规律，先求如果外力主矢不等于零，若已知质心的运动规律，先求出质心加速度，然后应用质心运动定理求未知力出质心加速度，然后应用质心运动定理求未知力( (一般为一般为约束反力

25、约束反力) ) ；若已知作用于质点系的外力，先计算质心坐；若已知作用于质点系的外力，先计算质心坐标，然后应用质心运动定理求某质点的运动规律。标，然后应用质心运动定理求某质点的运动规律。43理论力学例题例题 图示水平面上放一均质三棱柱图示水平面上放一均质三棱柱A，在其斜面上又放一均质三棱柱，在其斜面上又放一均质三棱柱两三棱柱的截面均为直角三角形三棱柱的质量两三棱柱的截面均为直角三角形三棱柱的质量ma为三棱柱的质量为三棱柱的质量mb 的三倍，其尺寸如图示的三倍，其尺寸如图示.设各处摩擦不计设各处摩擦不计,初始时系统静止初始时系统静止.求当三棱柱求当三棱柱B沿沿三棱柱三棱柱A滑下接触到水平面时滑下接

26、触到水平面时,三棱柱三棱柱A移动的距离，三棱柱移动的距离，三棱柱A的加速度和地的加速度和地面的约束反力面的约束反力.aAbB11233ABCABmambxmm 211()()33ABCABmalmablxmm 12CCxx 解：（解：（1 1）以整体为研究对象，水平向质心运动守恒）以整体为研究对象，水平向质心运动守恒 14lab 44理论力学aAbBmAgmBgFNaAaAar（2）以整体为研究对象，由质心运动定理）以整体为研究对象，由质心运动定理 cos0AABArm amaa cossinBrABmaam g 22sincos4sin,4cos4cosAragag sinBrNABm aFmmg 2124sin4cosBNBBrm gFm gm a mBgFNBaAar xt45理论力学2022-5-1546