理论力学达朗贝尔原理PPT课件.ppt

1、动动 力力 学学55 消除附加动压力的条件消除附加动压力的条件 动平衡和静平衡动平衡和静平衡54 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力53 动静法应用举例动静法应用举例52 惯性力系的简化惯性力系的简化5 1 达朗达朗贝尔贝尔原理原理第第五五章章达达朗朗贝贝尔尔 原原理理目录动动 力力 学学 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 达朗贝达朗贝尔原理。尔原理。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动

2、力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理工程实际问题工程实际问题第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理工程实际问题工程实际问题第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理工程实际问题工程实际问题第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理舰载飞机降落过程中的动力学问题舰载飞机降落过程中的动力学问题第五

3、章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理 5-1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理ABMNFFam该质点的动力学基本方程为该质点的动力学基本方程为 设质量为设质量为m的非自由质点的非自由质点M，在主动，在主动力力F和约束力和约束力FN作用下沿曲线运动，作用下沿曲线运动，F*FFN或或0)(NaFFm 引入质点的惯性力引入质点的惯性力F* =ma 这这一概念，于是上式可改写成一概念，于是上式可改写成 上式表明，上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。质点的惯性力在形式

4、上构成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。这就是质点的达朗伯原理。0NF*FFama 5-2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理一、质点达朗伯原理一、质点达朗伯原理质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理的投影形式000*N*N*NzzzyyyxxxFFFFFFFFF 5-2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理0NF*FF 这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。衡力系。 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到

5、质点系。将达朗贝尔原理应用于每个质点，得到达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。个矢量平衡方程。0*NiiiFFF这就是质点系的达朗这就是质点系的达朗贝尔贝尔原理。原理。 5-2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理二、质点系达朗贝尔原理二、质点系达朗贝尔原理 对于所讨论的质点系，有对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程，个形式如上式的平衡方程，即有即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中空间任意力系的平衡条件，有空间任意力系的平

6、衡条件，有0*NiiiFFF0)()()(N*iOiOiOFMFMFM 5-2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理0*NiiiFFF 考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于对整个质点系，因此，该式并不表示仅有对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有个平衡方程，而是共有3n个个独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。 上式表明上式表明在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点的惯性力所构

7、成力系的主矢等于零，该力系对任一点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于的主矩也等于零。零。 达朗伯原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学方达朗伯原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学方程的方法，这种方法称为程的方法，这种方法称为动静法动静法。这些方程也称为。这些方程也称为动态平衡方程。动态平衡方程。 5-2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理0*NiiiFFF0)()()(N*iOiOiOFMFMFM 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化惯性力系的简化刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩0F*F0*MMOO由质心运动定理有由质心运动定理有 F = maC ,得

8、得 对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向任意点任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和和F* ，M*O ，于是，于是，由力系平衡条件，可得由力系平衡条件，可得CmaF*即即, ,质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘积，而质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘积，而取相反方向。取相反方向。一、 惯性力系的简化1.1.惯性力系的主矢惯性力系的主矢 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化由对任意固定点由对任意固定点O的动量矩定理有的动量矩定理有 ， tOOd

9、d LMtO*OddLM现将上式两端投影到任一固定轴现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，上，tLMzddz*上式表明上式表明质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的主矩，质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。2.2.惯性力惯性力系的主矩系的主矩代入代入0*OOMM得得 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化tLMzdd*z 上式表明：上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）的主质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）的主矩，等于质点系对质心（或该轴

10、）的动量矩对时间的导数，并冠以负矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。号。以及它在通过质心以及它在通过质心C的某一平动轴的某一平动轴zC 上的投影表达式上的投影表达式 利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力对质利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力对质心心C的主矩表达式的主矩表达式t*CddCLM 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化惯性力惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。系的主矩与刚体的运动形式有关。惯性力惯性力系的主矢系的主矢与与刚体的运动形式无关。刚体的运动形式无关。 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化1. 1. 刚体作平动刚体作平动

11、aCa1a2anMm2mnm1F*nF*1F*2F*0*M 刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。 刚体平移时，惯性力系向质心简化刚体平移时，惯性力系向质心简化 )(iima*F主矢主矢主矩主矩CCimmaa )( 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩OC2. 2. 刚体做定轴转动刚体做定轴转动 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬转动，在任意瞬时的角速度为时的角速度为，角加速度为，角加速度为。 主矢主矢nCatCa*nF*tF具有质量对称平面的刚体绕

12、垂直于对称平面的固定轴转动。具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。CiimmaaF )(* 设质心设质心C的转动半径为的转动半径为rC，则，则 和和 的大小可分别表示为的大小可分别表示为*Ft*FnntCCCaaa*FFFnt 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化CCmrma t2nCCmrma 显然，当质心显然，当质心C在转轴上时，刚在转轴上时，刚体的惯性力主矢必为零。体的惯性力主矢必为零。;ttCmaF*;nnCmaF*其中其中)(ntCCCmmaaaF* 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化*FFFntOCzyxnCatCa*nF*tF 主矢主矢 具有质量对称平面的刚体绕垂

13、直于具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固定轴转动时，惯性力质量对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化，得到的系向固定轴简化，得到的惯性力系主矢惯性力系主矢的大小等于刚体质量与质心加速度大小的大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反的乘积，方向与质心加速度方向相反。 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化)(ntCCCmmaaaF*OCzyxnCatCa*nF*tFOCzyxnCatCa*nF*tFtJJttLMzzzzdd)(dddd*即即zzJM*对转轴的主矩对转轴的主矩将刚体对转轴将刚体对转轴Oz的动量矩的动量矩 代入代入 可得刚体惯性力对轴可得刚体惯

14、性力对轴Oz的主矩的主矩tLMzzdd*zzJL 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 具有质量对称平面的刚体绕垂直具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固定轴转动时，惯于质量对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到合性力系向固定轴简化的结果，得到合力偶的力偶矩即为力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转动轴的转动惯量其大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。方向相反。对转轴的主矩对转轴的主矩 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化zzJM*OCzyxnCatCa*nF*tF主矢主矢对

15、转轴的主矩对转轴的主矩 合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。 具有质量对称平面的刚体绕垂直于具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固定轴转动时，惯性力质量对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个合力系向固定轴简化的结果，得到一个合力和一个合力偶。和一个合力偶。 合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方对转

16、动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。向相反。OC*FM*z 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化zzJM*)(ntCCCmmaaaF*3. 3. 刚体作平面运动刚体作平面运动 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。进一步简化。 5-2 惯性力系的

17、简化惯性力系的简化3. 3. 刚体作平面运动刚体作平面运动 若取质心若取质心C为基点，则刚体的平面运动可以为基点，则刚体的平面运动可以分解为随质心分解为随质心C的平动和绕质心（通过质心且垂的平动和绕质心（通过质心且垂直于运动平面的轴）的转动。直于运动平面的轴）的转动。CaCrimiaCtr ianr ia 刚体上各质点的加速度及相应的惯性力也刚体上各质点的加速度及相应的惯性力也可以分解为可以分解为随质心的平动和绕质心轴的转动随质心的平动和绕质心轴的转动两两部分。部分。 于是，此刚体的于是，此刚体的牵连平动惯性力牵连平动惯性力可合成为可合成为作用线通过质心、且在对称面内的一个力作用线通过质心、且

18、在对称面内的一个力F*。 因质心因质心C在相对运动的转轴上，故刚体在相对运动的转轴上，故刚体的的相对转动的惯性力合成为一力偶。相对转动的惯性力合成为一力偶。F*M*C 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化CmaF* 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化的结果得到一个合力和一个合力偶，二者都位于质量对称平的结果得到一个合力和一个合力偶，二者都位于质量对称平面内。面内。 合力的矢量即为惯性力系的合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚

19、体质量与质心主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。速度方向相反。 主矢主矢 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化CaCrimiaCtr ianr iaF*M*C 合力偶的力偶矩即为惯性力合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对通系的主矩，其大小等于刚体对通过质心的转动轴的转动惯量与角过质心的转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。方向相反。zCCJM*主矩主矩 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化CaCrimiaCtr ianr iaF*M*CzCCJM*主矩主矩CmaF*

20、主矢主矢CiimmaaF* )(主矢主矢主矩主矩0*M主矢主矢)(ntCCCmmaaaF*zJM*z对转轴的主矩对转轴的主矩综上所述：综上所述： 5-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 5-3 动静法应用举例动静法应用举例 例题例题 5-1 汽车连同货物的总质量是汽车连同货物的总质量是m ，其质心，其质心 C 离前后离前后轮的水平距离分别是轮的水平距离分别是 b 和和 c ，离地面的高度是，离地面的高度是 h 。当汽车以。当汽车以加速度加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。轮子的质量不计。ABCcbh5-3 动静法应用

21、举例动静法应用举例例题 5-1 取汽车连同货物为研究对象。取汽车连同货物为研究对象。汽车实际受到的外力有：重力汽车实际受到的外力有：重力 G，地面对前、后轮的铅直反力地面对前、后轮的铅直反力 FNA 、 FNB 以及水平摩擦力以及水平摩擦力 FB (注意：注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计质量时，其摩擦力可以不计)。解： 因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心 C 上的一个力上的一个力 F*= ma 。Ccbh5-3 动静法应用举例动静法应用举例) 1 ( 0)( , 0N*cbFmgchFMAB于是

22、可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程由式由式(1)和和(2)解得解得cbahgbmFcbahgcmFBA)()(NN)2( 0)( , 0N*cbFmgbhFMBA5-3 动静法应用举例动静法应用举例Ccbh 无无ABS系统时，刹车会产生侧滑现象系统时，刹车会产生侧滑现象5-3 动静法应用举例动静法应用举例汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死抱死”？车轮防抱死装置车轮防抱死装置ABS: Anti-Brake System5-3 动静法应用举例动静法应用举例 思考题1l2lhgm1l2lhgm1F1NF2F2NF分析汽车刹车时的动力学特性分析汽车刹车

23、时的动力学特性*F0)(, 0*2211NhFmglllFMB21*21NllhFmglF0)(, 0*1212NhFmglllFMA21*12NllhFmglF刹车时的动力学特性：刹车时的动力学特性：车头下沉；车头下沉； 若质心在中间，后轮容易打滑。若质心在中间，后轮容易打滑。AB底盘可升降的轿车底盘可升降的轿车5-3 动静法应用举例动静法应用举例 例题例题5-2 如图所示，如图所示，匀质滑轮的半径为匀质滑轮的半径为r，质，质量为量为m，可绕水平轴转动。，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为各挂质量为m1和和m2的重物的重物,且且m1 m2 。绳的重量不计，

24、。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度和轴承反力。物的加速度和轴承反力。 OABrO5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-25-3 动静法应用举例动静法应用举例 以滑轮与两重物一起组成所研究的质点以滑轮与两重物一起组成所研究的质点系。作用在该系统上的外力有重力系。作用在该系统上的外力有重力m1g，m2g，mg和轴承约束反力和轴承约束反力FN。amF1*1amF2*2OABry解： 已知已知m1m2，则重物的加速度，则重物的加速度a方向如图方向如图所示。所示。 在系统中每个在系统中每个质点上假想地加上惯性力后

25、，可以应用达质点上假想地加上惯性力后，可以应用达郎伯原理。郎伯原理。 重物的惯性力方向均与加速度重物的惯性力方向均与加速度a的方向的方向相反，大小分别为：相反，大小分别为：O5-3 动静法应用举例动静法应用举例 滑轮定轴转动，惯性力向转轴滑轮定轴转动，惯性力向转轴O简化。简化。0(*2211O*Mg)rmFFgm应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢主矢 F*=maO=0主矩主矩 M*O=JO =marramr21212OABryO , 0yF, 0)(FOm02121N*FFgmgmmgF5-3 动静法应用举例动静法应用举例gmmmmma212121解得解得0*22

26、11O*MgrmrFrFgrm , 0yF, 0)(FOm02121N*FFgmgmmgF02121NamamgmgmmgF, 2*2amF marMO21*OABryO 5-3 动静法应用举例动静法应用举例 例题例题5-3飞轮质量为飞轮质量为m，半径为，半径为R，以，以匀角速度匀角速度转动。转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。重力的影响，求轮缘横截面的张力。 例题 5-35-3 动静法应用举例动静法应用举例 取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。将轮缘分成无数微

27、小的弧段，每段加惯性力将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力 n*iiimaF 2n*2RRRmamFiiii建立平衡方程建立平衡方程 , 0 xF0 cos*AiiFF令令 ，有，有0i2d cos22202mRRmFA解：5-3 动静法应用举例动静法应用举例由于轮缘质量均分布，任一截面张力由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。都相同。 再建立平衡方程再建立平衡方程 , 0yF0 sin*BiiFF22mRFB同样解得同样解得5-3 动静法应用举例动静法应用举例xyOCA 例题例题5-4 车辆的主动轮如车辆的主动轮如图所示。设轮的半径为图所示。设轮的半径为r，重，重为为W1(W1= mg)

28、，在水平直线，在水平直线轨道上运动。车身对轮子的轨道上运动。车身对轮子的作用力可分解为作用力可分解为W和和F，驱动，驱动力偶矩为力偶矩为M。车轮对通过其。车轮对通过其质心并垂直于车轮对称面的质心并垂直于车轮对称面的轴的回转半径为轴的回转半径为C ，轮与轨轮与轨道间的滑动摩擦系数为道间的滑动摩擦系数为fs，不，不计滚动摩阻的影响。求在不计滚动摩阻的影响。求在不滑动条件下，驱动力偶矩滑动条件下，驱动力偶矩M的最大值。的最大值。 5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-4惯性力系：因车轮作平面运动，设车身有惯性力系：因车轮作平面运动，设车身有向前的加速度向前的加速度a，则惯性力系向质心，则惯性

29、力系向质心C简化简化的主矢量的主矢量F*和主矩和主矩M*C为：为：分析车轮的受力情况如下。分析车轮的受力情况如下。主动力系主动力系: 车身的载荷车身的载荷F和和W，驱动力偶矩，驱动力偶矩M，车轮的重量，车轮的重量W1=mg。约束力系：法线约束力约束力系：法线约束力FN ，滑动摩擦力，滑动摩擦力Ff 。解：解：xyOCA5-3 动静法应用举例动静法应用举例应用动静法，写出动态平衡方程：应用动静法，写出动态平衡方程： , 0 xF0*fFFF , 0yF01NWWF, 0)(FCm0f*MrFMCxyOCA0)(FAm是否可以是否可以？0)(*MrFFMC5-3 动静法应用举例动静法应用举例再利用

30、再利用Ff fsFN的条件，可得的条件，可得222frFMrFCC1NWWF 上三式包含上三式包含Ff ，FN和和a三个未知量，三个未知量，故可解出故可解出xyOOA22221s)1)( rFrWWfrMCC5-3 动静法应用举例动静法应用举例 例题例题5-5 如图所示，如图所示，匀质圆盘的半径为匀质圆盘的半径为r，质，质量为量为m，可绕水平轴，可绕水平轴O转转动。突然剪断绳，求圆盘动。突然剪断绳，求圆盘的角加速度和轴承的角加速度和轴承O处的处的反力。反力。 ABrOC5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-5ABrOCyxtCanCa圆盘定轴转动，惯性力向转轴圆盘定轴转动，惯性力向转轴

31、O简化。简化。0(*tOOyM)rFF应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢主矢 F*t=matC= m r主矩主矩 M*O= JO =223mr , 0yF, 0)(FCM FOx +F*n=0 , 0 xFFOy + F*tmg= 0F*n=mr2= 00)(FOM是否可以是否可以？0*OMmgr5-3 动静法应用举例动静法应用举例解：解：ABrOCyxtCanCa若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆心若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆心C简化。简化。0MrFCOy*应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得主矢主矢 F*t=matC= m r主矩

32、主矩 M*C= JC =221mr , 0yF, 0)(FCM FOx +F*n=0 , 0 xFFOy + F*tmg= 0F*n=mr2= 05-3 动静法应用举例动静法应用举例 讨论 例题例题 5-6 用长用长 l 的两根绳子的两根绳子 AO 和和 BO 把长把长 l ，质量是质量是 m 的匀质细杆悬在点的匀质细杆悬在点 O (图图 a )。当杆静止时，突然剪断绳子。当杆静止时，突然剪断绳子 BO ，试求刚剪断瞬时另一绳子，试求刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。的拉力。OlllBAC（a）5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-65-3 动静法应用举例动静法应用举例 绳子绳子BO剪

33、断后，杆剪断后，杆AB将开始在铅直面内作平将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳面运动。由于受到绳OA的约束，点的约束，点A将在铅直平面将在铅直平面内作圆周运动。在绳子内作圆周运动。在绳子BO刚剪断的瞬时，杆刚剪断的瞬时，杆AB上上的实际力只有绳子的实际力只有绳子AO的拉力的拉力F和杆的重力和杆的重力mg。解：解： 在引入杆的惯性力之前，须对杆作加速度分析。在引入杆的惯性力之前，须对杆作加速度分析。取坐标系取坐标系Axyz 如图如图(c)所示。所示。aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anACOBACOxyBA（c）tACatAaCyaCxaCyaCxa 利用

34、刚体作平面利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心运动的加速度合成定理，以质心C作基点，则点作基点，则点A的加速度为的加速度为5-3 动静法应用举例动静法应用举例 在绳在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度刚剪断的瞬时，杆的角速度 = 0 ，角，角加速度加速度 0。因此。因此又又 anA= 0，加速度各分量的方向如图，加速度各分量的方向如图(c)所示。把所示。把 aA 投影到点投影到点A轨迹的法线轨迹的法线 AO上，就得到上，就得到anAC = AC 2 = 0atAC = l2 sin sin cos0tACCyCxaaa这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。这个关系就是该瞬时杆的运动要素

35、所满足的条件。0 sin2lsin - cos CyCxaa（1）OBACOxyBA（c）tACatAaCyaCxaCyaCxa5-3 动静法应用举例动静法应用举例 杆的惯性力合成为一个作用在质心的力杆的惯性力合成为一个作用在质心的力 F*C 和一个力偶和一个力偶M*C ，两者都在运动平面内，两者都在运动平面内， F*C的的两个分量大小分别是两个分量大小分别是F*Cx = maCx , F*Cy = maCy力偶矩力偶矩 M*C 的大小是的大小是M*C = JCz旋向与旋向与相反相反( 如图如图b)。OBACOxyBA（c）tACatAaCyaCxaCyaCxa5-3 动静法应用举例动静法应用

36、举例由动静法写出杆的动态平衡方程，有由动静法写出杆的动态平衡方程，有且对于细杆且对于细杆 , JCz = ml 212 。联立求解方程联立求解方程(1)(4)，就可求出，就可求出mgmgF1332cossin4 sin220 sin2 , 0)(0 sin , 00 cos , 0lFJMFmgmaFFmaFzCCCyyCxxF（2）（3）（4）OBACOxyBA（c）tACatAaCyaCxaCyaCxa5-3 动静法应用举例动静法应用举例 例题例题 5-7 均质杆件均质杆件OA重重W，长长 l，A端铰接，在铅垂位置时受微小端铰接，在铅垂位置时受微小扰动运动到倾斜任意角扰动运动到倾斜任意角

37、位置。位置。求：求：1. 惯性力的简化结果；惯性力的简化结果； 2. O处的约束力。处的约束力。 5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-7 杆件杆件OA绕绕O轴作定轴转动，假定转轴作定轴转动，假定转动角速度和角加速度分别为动角速度和角加速度分别为和和 。解：解： 假设假设O处有沿着杆件轴线和垂直于处有沿着杆件轴线和垂直于杆件轴线方向约束力；杆件轴线方向约束力；*n*t ,OMFF，WFoxFoyF*nF*tM*O 杆件上由于定轴转动而产生的分杆件上由于定轴转动而产生的分布惯性力向布惯性力向O处简化的结果为处简化的结果为 5-3 动静法应用举例动静法应用举例1. 惯性力的简化结果惯性力的

38、简化结果,2*tlgWF,22*nlgWFOOJM* 5-3 动静法应用举例动静法应用举例WFoxFoyF*nF*tM*O2. 计算动约束力计算动约束力sin230sin2 0)(lglWJMOO，F)cos-(13ddlgt先应用动静法求未知运动量先应用动静法求未知运动量和和 。)cos-(13ddlgt0cos 0*nWFFFOxx)5cos-(32cos22WWlgWFOx计算动约束力：计算动约束力： 5-3 动静法应用举例动静法应用举例WFoxFoyF*nF*tM*O0sin 0*tWFFFOyysin42sinWlgWWFOyNoxNoyQnQLOQ此时需将杆视为弹性梁。此时需将杆视

39、为弹性梁。计算杆中的弯矩分布、最大弯矩及其位置。计算杆中的弯矩分布、最大弯矩及其位置。llm)(xllmFNdFQdWlxMd -动弯矩动弯矩FQd -动剪力动剪力FNd -动轴力动轴力-重力重力Wlx惯性力惯性力F*按梯形分布按梯形分布从任意部位从任意部位B处截出杆段处截出杆段 AB=x 为研究对象。为研究对象。 5-3 动静法应用举例动静法应用举例 讨论WFoxFoyF*nF*tM*Ollm)(xllmFNdFQdWlxMd -动弯矩动弯矩FQd -动剪力动剪力FNd -动轴力动轴力-重力重力Wlx惯性力惯性力F*按梯形分布按梯形分布FNdFQdWlxl F*nF*tM*O 5-3 动静法

40、应用举例动静法应用举例xxxlllmlxxxllmxWlxM32)(2 2)(2sindFNdFQdWlxllm)(xllm gWm 式中式中sin23lg已知已知解得解得)1()(sin412dlxlxWlM(a)(c)(b)0)()(dMMlxMBB*FW)()(d*FWBBMlxMM由动静法得由动静法得 5-3 动静法应用举例动静法应用举例为求杆内为求杆内动弯矩最大值，对上式求导动弯矩最大值，对上式求导sin271maxdWlM)1()(sin412dlxlxWlM式（式（d）代入式（）代入式（c）得杆内）得杆内动弯矩最大值动弯矩最大值(c) 32lx 得得0dddxM(d) 5-3 动

41、静法应用举例动静法应用举例FNdFQdWlxllm)(xllm 例题例题5-8 半径为半径为R，重量为，重量为W1的大圆轮，由绳索牵引，在的大圆轮，由绳索牵引，在重量为重量为W2的重物的重物A的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。力。5-3 动静法应用举例动静法应用举例例题 5-85-3 动静法应用举例动静法应用举例 解：解： 考察整个系统，有考察整个系统，有4个未知个未知 约束力。约束力。 如果直接采用动静法，如果直接采用动静法，需将系统拆开。因为系统

42、为需将系统拆开。因为系统为一个自由度，所以考虑先应一个自由度，所以考虑先应用动能定理，求出加速度，用动能定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法。再对大圆轮应用动静法。 sWTRvRgWvgWvgW202212122)(21(2121211. 应用动能定理。应用动能定理。5-3 动静法应用举例动静法应用举例sWTRvRgWvgWvgW202212122)(21(212121sWTvgWgW20212)23(21vtsdd12223WWgWa1. 应用动能定理。应用动能定理。两边对时间两边对时间t求导，且求导，且得得5-3 动静法应用举例动静法应用举例12223WWgWa0 0,)(FRJMCCF

43、)23(212122WWWWRaJRJFCC2. 应用动静法。应用动静法。取轮子为研究对象。取轮子为研究对象。将将 带入上式得带入上式得5-3 动静法应用举例动静法应用举例 当刚体作定轴转动时，惯性力一般要在当刚体作定轴转动时，惯性力一般要在轴承上引起附加动压力。这种现象在工程技轴承上引起附加动压力。这种现象在工程技术上是必须注意的。术上是必须注意的。 设有绕固定轴设有绕固定轴Oz转动的刚体，在任意瞬转动的刚体，在任意瞬时的角速度是时的角速度是，角加速度是，角加速度是 。（图。（图a)取取固定坐标固定坐标Oxyz如图所示。如图所示。, tzra 2nzra ODo1rrzyxAz（a） 刚体上

44、任意点刚体上任意点D的切向和法向加速度的的切向和法向加速度的值分别是值分别是atan5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力sin cossincos2tnzzxrraaayx2cos sincossin2tnzzyrraaaxy20za由图由图b可知，点可知，点D的加速度在各坐标轴的投影分别是的加速度在各坐标轴的投影分别是5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力 以该点的质量乘以上各式并冠以负号，就以该点的质量乘以上各式并冠以负号，就得到该质点惯性力在各坐标轴上的投影。得到该质点惯性力在各坐标轴上的投影。OxDatxy(b)anyrzByBxAxAyA

45、zODo1rrzyxAz（a）atanD整个刚体惯性力的主矢整个刚体惯性力的主矢F*在各轴上投影分别是在各轴上投影分别是CCiiiiixixmymxymxmamF22*)(CCiiiiiyi*ymxmyxmymamF22)(0*zF5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力yxax2xyay2rzByBxAxAyAzODo1rrzyxAz（a）OxDatxy(b)anyrzDatanzxyziiiiiiyi*xJJzxymzamM22)(yzzxiiiiix ii*yJJzyxmzamM22)(zz iiz iii*zJrmramM2t5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转

46、动刚体对轴承的动压力yxax2xyay2rzOxDatxy(b)anyrzD整个刚体惯性力的主矩整个刚体惯性力的主矩M*在各轴上投影分别是在各轴上投影分别是ByBxAxAyAzODo1rrzyxAz（a）atanFRx、FRy 、 FRz分别为主动力系主矢在坐标轴上的投影，分别为主动力系主矢在坐标轴上的投影， MRx、MRy 、 MRz分别为主动力系对点分别为主动力系对点O的主矩在各坐标轴上的投影。的主矩在各坐标轴上的投影。根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有, 0 xF0R*xxBxAxFFFF, 0yF0R*yyByAyFFFF, 0zF0RzAzF

47、F, 0)(FxM0)()(R*xxByyAyxMMMMFF, 0)(FyM0)()(R*yyBxyAxyMMMMFF, 0)(FzM0R*zzMM5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力ByBxAxAyAzODo1rrzyxAz（a）由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的动反力动反力。显然，该动反力由。显然，该动反力由两部分组成：一部分为主动力系所引起的两部分组成：一部分为主动力系所引起的静反力静反力；另一部分是由转动刚体；另一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的的惯性力系所引起的附加反动力附加反动力。与此对应，轴承所受的压力也可分

48、为。与此对应，轴承所受的压力也可分为静静压力压力和和附加动压力附加动压力。根据达根据达达朗贝尔达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有定理，列出动态平衡方程，有5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力, 0 xF0R*xxBxAxFFFF, 0yF0R*yyByAyFFFF, 0zF0RzAzFF, 0)(FxM0)()(R*xxByyAyxMMMMFF, 0)(FyM0)()(R*yyBxyAxyMMMMFF, 0)(FzM0R*zzMMByBxAxAyAzODo1rrzyxAz（a）5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力

49、定轴转动刚体对轴承的动压力高速旋转时有较小的动反力高速旋转时有较小的动反力5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力高速旋转时有较大的动反力高速旋转时有较大的动反力5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力 例题例题 5-9 设匀质转子重设匀质转子重 W ，质心质心 C 到转轴的距离是到转轴的距离是 e，转转子以匀角速度子以匀角速度 绕水平轴转动，绕水平轴转动， AO = a ，O

50、B = b (图图 a)。假定转假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心轴与转子的对称平面垂直，求当质心 C 转到最低位置时轴承转到最低位置时轴承所受的压力。所受的压力。 b a e z C O B A例题 5-95-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力解解: 轴轴 Oz 是转子在点是转子在点 O 的主轴之一。可见惯性力对点的主轴之一。可见惯性力对点 O 的主矩在垂直于的主矩在垂直于 Oz的平面上两轴的投影的平面上两轴的投影 M*Cx 和和 M*Cy 恒等于零。又恒等于零。又 = 0，这样这样 M*Cz 也等也等于零