数理经济学课件.ppt

1、数理经济学授课教材、大纲与内容n其它参考书：其它参考书：1、蒋中一、蒋中一数理经济学的基本方法数理经济学的基本方法 商务印书馆商务印书馆2、蒋中一、蒋中一动态最优化基础动态最优化基础商务印书馆商务印书馆3、邵宜航、邵宜航 数理经济学精要数理经济学精要科学出版社科学出版社导论n一、什么是数理经济学？ 数理经济学不是经济学的一个分支学科，它是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其它经济学科。 按照经济分析方法的分类来讲解相关的数学知识，并通过介绍大量的宏微观经济模

2、型掌握经济分析方法和数学方法。二、数理经济学的本质n 探讨如何用数学语言准确、精练描述经济学问题，并推敲通过数理分析而导出的数学关系式所表达的经济学含义，由此揭示经济活动的规律性才是数理经济学的本质所在。经济学问题的数学表述n举例1：消费者选择问题 在收入水平的约束条件下，选择最优的消费量组合以最大化消费效用。模型为：112( ,.,)1 12 2max: ( ,.,). :.nnxxn niiU x xxst pxp xp xyxipUy表示第个商品的消费量， 表示相对应的商品价格， 为消费效用函数， 为收入。举例2：最优经济增长问题（连续型）n研究一代表性家庭如何选择最优的动态消费路径，以

3、最大化其从现在到将来的效用现值总和。 模型描述为：0( , )0max:( ( ) . : ( )( ( )( ) (0) ( )( )tc kU c t edtst k tf k tc tkkc ttk ttU消费效用现值总和资源和技术的约束初期的资本存量限制表示 时点的人均消费，表示 时点的人均资本存量，表示个人效用函数， 表示主观贴现率。三、授课逻辑主线n 经济学定义为研究有限资源的有效（最优）配置的科学，因此许多经济学问题可以表示为数学的最优化问题。本课程主要学习在微观经济学和宏观经济学中经常使用的最优化数学分析方法。数学的最优化问题：n 所谓最优化问题是“在关于变量的约束条件下，寻找

4、使目标值最大化或最小化的变量”的问题举例1：非线性规划问题1211221212121122121212min :(,.,)(,.,)0(,.,)0. :(,.,)0.0(,.,)(,.,)(,.,) (,.,).(,.,)nnnnmnnnnnlf x xxgx xxgx xxs t g x xxgx xxh x xxhx xxh x xxh x xx000.0:,:,:nmnijfRR gRR hRR举例2：最优控制问题1000min:( , ( ), ( ). : ( )( , ( ), ( ) ( ) ( ):,:,ttnmnmmf t x t u t dtst x tt x t u tx

5、 txu tUf R RRRR RRR UR四、授课主要内容n相关数学背景知识 （集合与映射、微积分、微分方程）n静态最优化 （最优化的古典方法无约束、等式约束； 最优化的非古典方法数学规划（线性规划和非线性规划），处理不等式约束。） n动态最优化 （变分法、最优控制理论和动态规划 ）第一部分 数学背景n内容见 杰里和瑞尼：高级微观经济理论 上海财经大学出版社 附录A1、A2主要内容：n一、集合和映射n二、凸集n三、关系与函数n四、一点拓扑学n五、实值函数n六、分离超平面定理第一章 集合和映射n一、集合1. 集合的定义： 具有某种特定性质的事物的总体。具有某种特定性质的事物的总体。 组成这个集

6、合的事物称为该集合的元素。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 1. Rx|x 举例： n1ni2. R(x ,.,x )|xR,i1,.,n n1ni3. R(x ,.,x )|x0,i1,.,n n1ni4. R(x ,.,x )|x0,i1,.,n 子集的定义： 如果集合S的每个元素也是集合T的一个元素，那么集合S是另外一个集合T的子集。ST 记记为为：2.集合的运算AB x|xA,xB 并并：或或AB x|xA,xB 交交：且且A B x|x A,x B 差差： 但但cAx | xA 余余 ： A B B A A B B A; 交交换换律律： ，ABCABCABCAC 结结合合律律：（

7、）（）, , （）（B B）; ;ABCACBCABCACBC 分分配配律律： ( (）（）（）, , （）（）（）; ;A BA B B A B A,A, ABAA; 吸吸收收律律； 若若，则则 ； ，3.集合的运算规律CA BAB ; 转转换换律律: : DeMorgen对对偶偶原原理理；（原原理理）CC(1) (AA(2) (AAC CC C) ),) ) 。 。4. 集合的乘积 ST(s,t)|sS,tT 12n12niiXX.X(x ,x ,.,x )| xX i12i 1i 1nXXX.XX.X 记记二、凸集1. 上的凸集 定义：nRn1212SRx ,xS,t0,1,tx(1t)

8、xS 称称是是凸凸集集：1212zxxztx(1t)x 称称 是是与与凸凸组组合合：如如果果，（0 0t t1 1）R中中的的凸凸组组合合凸组合 例1：(当n=1)2R 中中的的一一些些凸凸组组合合凸组合例2：(当n=2)凸集：例1：2R 中中的的凸凸集集非凸集：例2：2R 中中的的非非凸凸集集 因此当且仅当把集合内的任意两点用一条直线联接，该直线完全处于集合内，那么此集合为凸集。 凸集本质上没有洞，无断点，在边界没有麻烦的凸凹。2. 凸集的性质定理1：凸集的交集是凸集nSTRST 设设 与与 是是上上的的凸凸集集，那那么么是是凸凸集集。12112212,TT0,1,(1),STx xSTxS

9、xxSxtztxt xzSzTzSTST 证明：设 与 为凸集。那么且，且。对于令则且因此。即是凸集。三、关系与函数1. 二元关系( , ),RSTRSTs tsStT定义：任何有序对把一个元素与另一个元素联系起来，则这些有序对的集合被认为构成 和 之间的一个二元关系。若(s,t)R,则写成sRt显然1.2,1.3,SSASxyxRyyRxSRASxyzxRyyRzxRzSR定义：当一个二元关系是一集合 与自身的乘积的子集，称这是集合 上的一个关系。定义如果对于 中的所有元素 与 有或那么称 上的关系 是具有完备性。定义如果对于 中的任何三个元素 、 、 有和则蕴含着，那么称 上的关系 是具有

10、传递性。 1,;(2) () ,;(3) () , ,;nBnRBxBxxx yBxyyxx y zBxy yzxz举例设 是 维欧氏空间中的凸集，在 中引入一个二元关系记为，如果它具有：（）（反身性）若则完备性若则或者传递性若如果则我们称“”是一个偏好关系。2. 函数 函数是一类特殊的关系，它是将一个集合内的每个元素与另一个集合内的单个且唯一的元素联系起来的关系。称函数f是从集合D到另一个集合R的映射，记成f :DR函数与非函数四、一点拓扑学拓扑学研究集合与映射的基本性质。（本书仅考虑 上的集合）nR1、度量空间2221122,( , )()().(),nnniix yRd x yxyxyx

11、yx yx yx yi定义：空间中两点将：称为两点间的“距离”，这里分别是向量第 分量。定理：, ,(1)(3)(1) ( , )0,( , )0;(2) ( , )( , )(3) ( , )( , )( , ) ()nx y zRd x yxyd x yd x yd y xd x yd y zd x z对于任意的以下的式成立：当且仅当时， 三角不等式ndR在距离 被定义的情况下，向量空间被称为“欧几里得空间”；用具有上述定理所示性质的距离来定义的空间被称为“度量空间”。2、开球与闭球0000*001.410( ) | ( , )20( ) | ( , )nnnnAxRB xx R d x

12、xxRBxx R d x x定义 、以 为中心，以为半径的开球是 上的点的子集：、以 为中心，以为半径的闭球是 上的点的子集：1.5 ,0,( ),nnARxSBxSSR定 义 上 的 开 集如 果 对 于使 得那 么是 一 个 开 集 。显 然 任 何 开 球 是 开 集 。1.21234nnARR定理 上的开集、空集是一个开集。（定义）、整个空间是一个开集。、开集的并集是一个开集。、任何有限开集的交集是一个开集。反例：111(1, 1)nnnAnnA1.3,0,( ),( )1( )2( )xxxxxx Sx Sx SASx SB xSS U B xx Sx U B xx U B xx S

13、 定理 每个开集是开球的并集。即：设 是一个开集。对于使得那么： 证明：（）若（）若1.6 SnARc定义 上的闭集如果S的补集S 是个开集，那么 是一个闭集。SSSxSSx定义： 边界点 如果以 为中心，以 为半径的每个球，包含了 内的点，以及不在 内的点，那么 点被称为 的一个边界点。集合 的所有边界点表示成。0,( ),int .xB xSxSSSS 定义： 内点如果以 为中心，使得那么点被称为 的内点。集合 的所有内点的集合记为定义：闭集 如果集合包含所有边界点，此集合为闭集。定义：开集 如果一个集合所有点都是内点，那么此集合为开集。闭集的特征： knSSxxS 上的集合 是闭的的点列

14、的极限 也属于 。1.41234nnARR定理 上的闭集、空集是一个闭集。（定义）、整个空间是一个闭集。、闭集的任何有限集合的并是一个闭集。、闭集的交集是一个闭集。证明：121212123,()4nic ci Iii Iii IicccSRiI ISSSSSSSSSSS（）设 是上的闭集，是有限的指标集。所以是闭的。（ ）设 ， 是闭集。（）所以是闭集。举例： SRSsS设是一个由单点组成的集合，证明 是一个闭集。1.7 SSnARS定义 有界集如果， 完全被包含在一个半径为 的球内（开球或闭球），则称 是有界的。3、有界集221 ( ,) |14x yxy、2 ( , )|0 x yxy、举

15、例：xyo,SSSSSRlx SlxlSux SuxuS 设是任何非空的实数集。任何实数，对于总有那么是数集 的下界。任何实数 对于总有那么 是数集 的上界。的下界中最大数被称为 的最大的下界或下确界，记为infS.的上界中最小数被称为 的最小的上界或上确界，记为supS.定义：下确界、上确界 定理：n对于R的任何有界子集总会存在一个 上确界和下确界。定理A1.5 实数子集的上界与下界1.2.SRabSaSbSSRabSaSbS、设 是 内的一个有界开集，并设 与 分别是 的 下确界和上确界，那么并且、设 是 内的一个有界闭集，并设 与 分别是 的 下确界和上确界，那么并且证明：反证法。定义A

16、1.8 (heine-Borel)紧集nSSR如果集合 是闭的且有界的， 在上被称为紧的。4、（Cauchy）连续性定义：一元连续函数0000,0,( ,)( ( ), (),:d x xd f xf xf RRx 如果对于总会使得蕴含着那么函数是在点 处连续。 如果函数在其定义域的每个点上连续，那么该函数被称为连续函数。定义： A1.9 （Cauchy）连续性0000,0,()( ()mnDRfDRf B xDB f xfxfxDf 设，并且设 ：。如果使得：，那么 在 点连续。如果 在每个点上连续，那么称 是连续函数。问题：n一个连续函数能否将定义域内的开集映射进值域内的开集，或将闭集映射

17、进闭集？反例：()fxaA1.10,0,( ),A1.11 |mmcDDRSDxSBxDSSDDDRSDSxD xSDSD 定义 中的开集设，。因此如果对于使得那么称 在 内是开的。定义中的闭集设，。若在 内是开的，那么称 在 内是闭的。定理A1.6 连续性与其逆象-1-11. :2. ( )3. ( )mnnnDRfDRRBfBDRSfSD设 是的一个子集，如下的条件是等价的：是连续的；对于 内的每个开球 ，在 内也是开的；对于 内的每个开集 ，在 内也是开的。-1-1-11231112( ),( )0,( ( );( )0,( )( ( )( )( )( )nxfBf xBB RB f x

18、Bf xf B xDB f xBB xDfBfBD 证明：（）得由 在 中是开的，依的连续性，使得因此所以在 内是开的。其余证明略。问题：n连续函数能否将定义内的紧集映射进值域内的紧集？定理A1.7 紧集的连续象是一个紧集:S D( )mnnnDRf DRSD Df SRR 设 是一个 的一个子集，并且设是一个连续函数。如果是 内的一个紧集（即 在 内是闭的，且有界的），那么其象在 内的紧的。5、数列A1.12 . ,.nnnkknk IIxxkI 定义中的数列的一个数列是一个函数，它将正整数的一些无限子集 映射进数列表示为2,4,8,2 ,;n2 n1 1 11, ,;2 4 82n12n1

19、1, 1,1, ,( 1) , ;n1( 1)n注意：注意：1x2x3x4xnx12,.,.nx xx数列对应着数轴上的一个点列，可看作一个动点在数轴上依次取定义A1.13 收敛的数列 0,0,( ),kk IknxKkK kI xB xx n称数列收敛于。(-1)例：n定义A1.14 有界的数列 0,|,kk IknxMkIxM 称中数列有界。n有界性是数列收敛的必要条件；n收敛的数列必定有界；n无界数列必定发散。定义A1.15 子数列J JIkkkkInxx如果 是 的一个无限子集，称是的序列的子序列。定理A1.8 有界数列n 中的每个有界数列有一个收敛的子数列。定理A1.9 数列、集合和

20、连续函数1111:,(1), ,;(2) ,;(3) , ()( ).nmkkkknkkkkkDRf DRDxDxxkkk xDDDxxRxDfDxxDf xf x 设，那么：是开的若收敛于 则当是闭的若 中数列收敛于则是连续的当 数列收敛于则收敛于6、一些存在性定理*A1.10 ,:,( )( )( ),.nWeierstrassSR SSf SRxS xSf xf xf xxS 定理（）极值的存在性： 设是紧的，使得*( )( )( ),(), ( );( )( )(),fSf SRf Sabf SxS xSf xa f xbf xf xf xxS 证明： 由 的连续性且 是紧的是紧的；那

21、么中上确界 和下确界 必属于所以使得即举例：(a) s=1,2 (b) s=(1,2)问题：考虑如下联立方程组1112211n11n(,.,)(,.,) (A1.1).(,.,)(,.,)(y ,.,y )Rnnnnnnyfxxyfxxyfxxxx将点映射进*1*111*221*1,1.1(,.,),(,.,)(,.,) .(,.,)iinnnnnnyxAxxxfxxxfxxxfxx考 虑 特 殊 情 况 ， 假 设记 方 程 （） 的解 为即 ：（ A1.2）*()( 1.2):nnf xxAxfRR即考虑解的存在性问题。称方程的解向量 为映射的一个不动点。问题：方程（A1.2）的解是否存在

22、？定理A1.11 brouwer 不动点定理*,:,( )nSR SSf SSxS xf x 设即紧且凸，是连续映射, 不动点定理保证f的图像将在a,bXa,b内至少穿过45度线一次。五、实值函数A1.6 ,:DTfDT1、实值函数定义实值函数如果 是任何集合，并且称是实值函数。01010101010101,1,2,.,1,2,.,1.17:, ()( );()( );()( );iiiinxyxy inxyxy inAf DDfxx f xf xfxxf xf xfxxxxf xf x注释：称称定义： 递增、严格递增和强递增函数若：称 是递增的当称 是严格递增的当，称 是强递增的当，n每当向

23、量X的一个或多个分量的增加不会引致函数值的下降，称函数为增函数。n每当向量的所有分量的增加总会引致函数值的严格递增时，称函数为严格递增。n每当X的一个或几个分量增加总会引致函数严格递增时，称函数为强递增。01010101010101A1.18:, ( )( );( )( );( )( );nf DDfxx f xf xfxxf xf xfxxxxf xf x定义： 递减、严格递减和强递减函数若：称 是递减的当称 是严格递减的当，称 是强递减的当，0000A1.19 ():() |,( ),L yfDTL yx xD f xyyTR2、相关集合定义水平集 称是的水平集：。注意：n 一个函数的两个

24、不同水平集不会相交，否则意味着两个不同的数对应着定义域内的同一个元素，破坏函数的定义。00001.20 ()() |,( )()AL xxL xx xD f xf x定义相对于某一点的水平集 称是相对于 的水平集。000000000000A1.21 1() |, ( )2() |, ( )3() |, ( )4() |, ( )S yx xD f xyyI yx xD f xyyS yx xD f xyyI yx xD f xyy定义上优集和下劣集、上优集是相对于水平 的上优集。、下劣集是相对于水平 的下劣集。、严格上优集是相对于水平 的严格上优集。、严格下劣集是相对于水平 的严格下劣集。 0

25、000000000000000001.12:,1()()2()()3()()()4()()5()()6()()7()()8()()AfDTyTLySyLyIyLySyIySySyIyIySyLyIyLySyIy定 理 上 优 集 、 下 劣 集 和 水 平 集对 应 于 任 何 、12123:,0,1,(1)ntfDTDRx xD txtxt xD、凹函数假设：凸集上的实值函数假定是一个凸集，即：12A1.22 :()()(1) (), 0,1tfDTf xtf xt f xt定义凹函数 称是凹函数说明：n 对于函数图像上的每一对点，当且仅当连结这些点的弦处在图像上或其下边，那么该函数为凹的。

26、A1.13 ( , )|,( ):, nAx yxD f xyfDTDRTRfA定理凹函数的图像及其下方的点 总会形成一个凸集 设是的图像及其下方的点的集合，其中是一个凸集 并且则：是一个凹函数是一个凸集 11221122121212121212(1)(,), (,)(),()()(1)()(1)()()(1)()()(1)(,)(1),(1),tttttfAxyAxyAfxyfxytfxtfxtytyffxtfxtfxfxtytyyxytxt xtytyAA是 凹 的凸 的又 因 为是 凹 的因 此所 以是 凹 的 。1211221122121212(2),(),()(,), (,)(,)(

27、1),(1),0,1()()(1)()ttttAfxDxDyfxyfxxyAxyAAxytxt xtytyAtfxytfxtfxf凸 的是 凹 的令显 然又 因 为是 一 个 凸 集则这 里因 此即是 一 个 凹 函 数 。12121.23 : ()()(1)(), (0,1)tAfDTfxtfxtfxtxx定 义严 格 凹 函 数 称是 严 格 凹 函 数这 里，124:()min(),(),0,1tfDTf xf xf xt 、拟凹函数定义A1.24 拟凹函数 称是拟凹的说明：n拟凹函数意味着若能在定义域内任取两点，并形成两点的凸组合，那么函数值必定不会小于这两点所取的最低函数值。也可依据

28、水平集描述拟凹函数课堂练习：n证明：单调函数为拟凹函数。下图的上优集？xyX1X21.14 : S( )AfDTyyT定理拟凹性与上优集 称是拟凹函数是一个凸集，121212(1)()(),()(),()()m in(),()()()ttfSyxSyxSyfxyfxyffxfxfxyxSySy证 明 ：拟 凹是 一 个 凸 集那 么又 因 为拟 凹即所 以是 一 个 凸 集 。1212222122212(2) ( ) ,()(),( )()(),()(),()()min(),()ttS yfxD xDf xf xyT S ySf xxSf xxSf xxSf xf xf xf xf xf 是一

29、个凸集拟凹不妨设因为是凸集，则也是凸集。由因此即所以 拟凹1212:()min( (), (),(0,1),tfDTf xf xf xtxx 定义A1.25 严格拟凹函数 称是严格拟凹的问题：n凹函数是拟凹函数吗n拟凹函数是凹函数吗？说明：拟凹函数不一定是凹的。xyX1X2定理A1.15 凹性蕴含着拟凹性n一个凹函数总是拟凹的，一个严格 凹函数总是严格拟凹的。121212212212:,()()()()(1) () ()( ()() ()min( (), ()tfDRxD xDf xf xff xtf xt f xf xt f xf xf xf xf xf证明：(1)假设是凹的。不妨设由 是凹

30、的，所以 是拟凹函数。121212A1.26 :( )( ) (1) (), 0,1:( )( ) (1) (), (0,1),ttf DTf xtf xt f xtf DTf xtf xt f xtxx定义凸函数和严格凸函数1、称是凸函数2、称是严格凸函数5、凸与拟凸函数1.16( )()( )()Af xf x定理 凹与凸函数是 严格 凹 是 严格 凸21212(1)( )( )( ),()()(1)(), 0,1()()(1)()( )ttf xf xf xD xDf xtf xt f xtf xtf xtf xf x 1证明：是凹的是凸的若是凹的，x所以是凸的 *A1.17 ( , )

31、|,( ):, nAx yxD f xyfDTDRTRfA定理凸函数的图像及其上方的点 总会形成一个凸集 设是的图像及其上方的点的集合，其中是一个凸集 并且则：是一个凸函数是一个凸集 121212A1.27 :( )max ( ), (), 0,1:( )max ( ), (), (0,1),ttf DTf xf xf xtf DTf xf xf xtxx 定义拟凸函数和严格拟凸函数1、称是拟凸函数2、称是严格拟凸函数是拟凸函数吗？xyX1X22(0)zx x是拟凹函数吗？是拟凸函数吗？问题：1.18 : I()AfDTyyT定 理拟 凸 性 与 下 劣 集 称是 拟 凸 函 数是 一 个 凸

32、 集 ，定理 凸性蕴含着拟凸性n一个凸函数总是拟凸的，一个严格 凸函数总是严格拟凸的。121212112:,()()()()(1) () ()max( (),()tfDRxD xDf xf xff xtf xt f xf xf xf xf证明：(1)假设是凸的。不妨设由 是凸的，所以 是拟凸函数。1.19( )()( )()Af xf x 定理 拟凹与拟凸函数是严格 拟凹的 是严格拟凸的12121212(1)( )( )( ),()min(),(), 0,1()min(),() max(),()( )ttf xf xf xxD xDf xf xf xtf xf xf xf xf xf x 证明

33、：是拟凹的是拟凸的若是拟凹的，所以是拟凸的 总结：各种实值函数之间的关系。()()()()ffffffffffffff是凹的处在 的图像下方的点集是凸集；是凸的处在 的图像上方的点集是凸集；拟凹上优集是凸集；拟凸下劣集是凸集；凹拟凹；凸拟凸；严格 凹严格 凸；严格 拟凹严格 拟凸。六、分离超平面定理,0,| .;| .;| .;np cnp cnp cnp cHpR pcRpcHzRpzcHzRpzcHzRpzc定义：超平面、超平面上（下）半空间1、超平面：给定由 和生成的超平面2、超平面的上半空间：3、超平面的下半空间：12,12,()0p cp cp czzHp zzpHpH所以称 与中任

34、意线段都正交，称为超平面的法线。311213nnnR所以：当时，超平面为点；当时，超平面为 条直线；当时，超平面为中的平面。,. ,.nnp cp cXRYRxXyYp xcp yHXYp xcp yHXY定义：分离超平面 设集合对于任意的和如果则称分离集合和 ；如果成立,则称严格分离集合和 。YXH存在分离超平面的情况：不存在分离超平面的情况：,nnXYRXYXYaRaxayxXyY 定理：凸集的分离超平面定理 设 、 为 中的非空凸子集，且则存在 和 的分离超平面，即存在使得。000,nnXRxXxXaRaxaxxX 定理：点和凸集的分离超平面定理 设是闭的凸集，则存在分离点 和 的分离超平面，即存在使得。,0,.0nnnXRXRpR pxXpx分离定理： 设集合是非空的凸集合，则存在下述性质的向量对于任意的有成立。,np cp cXRHXHX定义：支撑超平面 对于凸集合如果超平面包含 的一个边界点，而且整个集合都在的同一边，则称超平面为凸集合 的支撑超平面或切平面。00int,0,. ,.nnBRxBpRpp xp yyB 支撑超平面定理： 是凸子集，则使得