(新教材)数学必修二课件：6.1.3向量的减法.ppt

1、6.1.3向量的减法1.1.相反向量相反向量定义定义: :如果两个向量如果两个向量大小相等大小相等, ,方向相反方向相反, ,那么称这两个那么称这两个向量是相反向量向量是相反向量. .性质性质: :(1)(1)对于相反向量有对于相反向量有: :a+(-+(-a)=)=0. .(2)(2)若若a, ,b互为相反向量互为相反向量, ,则则a=-=-b, ,a+ +b= =0. .(3)(3)零向量的相反向量仍是零向量零向量的相反向量仍是零向量. .【思考思考】有人说有人说: :相反向量即方向相反的向量相反向量即方向相反的向量, ,定义中定义中“大小相大小相等等”是多余的是多余的, ,对吗对吗? ?

2、提示提示: :不对不对, ,相反向量要从相反向量要从“模模”与与“方向方向”两个方面两个方面去理解去理解, ,不是仅方向相反不是仅方向相反, ,还必须大小相等还必须大小相等. .2.2.向量的减法向量的减法(1)(1)定义定义: :平面上任意两个向量平面上任意两个向量a, ,b, ,如果向量如果向量x 满足满足b+ +x= =a, , 则称则称x为向量为向量a, ,b的差的差, ,记作记作x= =a- -b. .(2)(2)作法作法: :在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,作作 = =a, =, =b, ,则向量则向量a- -b= = , ,如图所示如图所示. .OA OB BA a- -

3、b可以表示为从向量可以表示为从向量b的终点指向向量的终点指向向量a的终点的向的终点的向量量. .(3)(3)向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则: :当向量当向量a, ,b不共线时不共线时, ,向量向量a, ,b, ,a- -b正好能构成一个三角形正好能构成一个三角形, ,因此求两向量差的作因此求两向量差的作图方法也常称为向量作差的三角形法则图方法也常称为向量作差的三角形法则. .(4)(4)a- -b= =a+(-+(-b).).【思考思考】(1)(1)由向量减法作图方法由向量减法作图方法, ,求差的两个向量的起点是怎求差的两个向量的起点是怎样的样的? ?差向量的方向如何差向量的方向如何

4、? ?提示提示: :求差的两个向量是共起点的求差的两个向量是共起点的, ,差向量连接两向量差向量连接两向量终点终点, ,方向指向被减向量方向指向被减向量. .(2)(2)由向量减法的定义由向量减法的定义, ,你认为向量的减法与加法有何你认为向量的减法与加法有何联系联系? ?提示提示: :向量减法的实质是向量加法的逆运算向量减法的实质是向量加法的逆运算. .利用相反利用相反向量的定义向量的定义, , ,就可以把减法转化为加法就可以把减法转化为加法. .AB BA 【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)两向量首尾相连两向量首尾

5、相连, ,和向量由第一个向量的始点指向和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点第二个向量的终点. .( () )(2)(2)向量向量a- -b当它们起点重合时可以看作从向量当它们起点重合时可以看作从向量b的终的终点指向向量点指向向量a的终点的向量的终点的向量. .( () )(3)(3)相反向量不一定是平行向量相反向量不一定是平行向量, ,平行向量一定是相反平行向量一定是相反向量向量. .( () )(4)(4)向量向量 与向量与向量 是相反向量是相反向量. . ( () )AB BA 【提示提示】(1).(1).由向量加法的三角形法则知正确由向量加法的三角形法则知正确. .(2).(2)

6、.由向量减法法则知正确由向量减法法则知正确. .(3)(3) 由平行向量与相反向量的定义可知由平行向量与相反向量的定义可知, ,相反向量必相反向量必为平行向量为平行向量, ,平行向量不一定是相反向量平行向量不一定是相反向量. .(4)(4)向量向量 与向量与向量 长度相等长度相等, ,方向相反方向相反. .AB BA 2.2.在在ABCABC中中, ,若若 = =a, =, =b, ,则则 等于等于 ( () )A.A.aB.B.a+ +bC.C.b- -aD.D.a- -b【解析解析】选选D. =D. =a- -b. .BA BC CA CA BA BC 3.3.设设b是是a的相反向量的相反

7、向量, ,则下列说法正确的有则下列说法正确的有_._.a与与b的长度必相等的长度必相等; ;ab; ;a与与b一定不相等一定不相等; ; a是是b的相反向量的相反向量. .【解析解析】因为因为0的相反向量是的相反向量是0, ,故说法不正确故说法不正确. .其他其他均正确均正确. .答案答案: :类型一向量的减法类型一向量的减法【典例典例】1.(20191.(2019汕头高一检测汕头高一检测) )在在ABCABC中中,D,E,F,D,E,F分分别为别为AB,BC,CAAB,BC,CA的中点的中点, ,则则 等于等于( () ) AF DB A.FD B.FC C.FE D.BE 2.2.如图如图

8、, ,已知向量已知向量a, ,b, ,c, ,求作求作a- -b- -c. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】1.1.结合图形结合图形, ,利用向量减法的三角形法则求解利用向量减法的三角形法则求解. .2.2.先作先作a- -b, ,再作再作( (a- -b)-)-c即可即可. .【解析解析】1.1.选选D.D.如图所示如图所示, , AF DB DE DB BE. 2.2.如图如图, ,以以A A为起点分别作向量为起点分别作向量 , ,使使 = =a, =, =b. .连接连接CB,CB,得向量得向量 , ,再以点再以点C C为起点作向量为起点作向量 , ,使使 = =c. .连

9、接连接DB,DB,得向量得向量 . .则向量则向量 即为所求作的向量即为所求作的向量a- -b- -c. .AB AC 和AB AC CB CD CD DB DB 【内化内化悟悟】(1)(1)作向量减法时若所给向量不共起点作向量减法时若所给向量不共起点, ,应如何解决应如何解决? ?提示提示: :平移向量使它们共起点平移向量使它们共起点. .(2)(2)在本例在本例2 2中能否先作向量中能否先作向量b+ +c, ,再作再作a-(-(b+ +c) )呢呢? ?提示提示: :可以可以. .【类题类题通通】1.1.作两向量的差的步骤作两向量的差的步骤2.2.求两个向量的减法的注意点求两个向量的减法的

10、注意点可以转化为向量的加法来进行可以转化为向量的加法来进行, ,如如a- -b, ,可以先作可以先作- -b, ,然后用加法然后用加法a+(-+(-b) )即可即可. .向量减法的三角形法则对共线向量也适用向量减法的三角形法则对共线向量也适用. .【习练习练破破】下列计算正确的是下列计算正确的是( () )A.OA OB ABB.OA OB BA C.OA BA ABD.OA AB BA 【解析解析】选选B.B.根据向量减法的三角形法则根据向量减法的三角形法则, ,显然有显然有 OA OB BA. 【加练加练固固】如图所示如图所示,O,O是四边形是四边形ABCDABCD内任一点内任一点, ,试

11、根据图中给出的试根据图中给出的向量向量, ,确定确定a, ,b, ,c, ,d的方向的方向( (用箭头表示用箭头表示),),使使a+ +b= ,= ,c- -d= ,= ,并画出并画出b- -c和和a+ +d. .BA DC 【解析解析】因为因为a+ +b= ,= ,c- -d= ,= ,所以所以a= ,= ,b= ,= ,c= ,= ,d= .= .如图所示如图所示, , 作平行四边形作平行四边形OBEC,OBEC,平行四边形平行四边形ODFA.ODFA.根据平行四边形根据平行四边形法则可得法则可得b- -c= ,= ,a+ +d= .= .BA DC OA BO OC OD OF EO 类

12、型二向量的加减法运算类型二向量的加减法运算【典例典例】1.(20191.(2019衡水高一检测衡水高一检测) )下列各式下列各式: :其中结果为零向量的个数是其中结果为零向量的个数是( () )A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个AB BC CAAB AC BD CDOA OD ADNO OP MN MP. ； ；2.(20192.(2019临沂高一检测临沂高一检测) )设点设点M M是线段是线段BCBC的中点的中点, ,点点A A在在直线直线BCBC外外, , 则则| |=| |=世纪金榜导学号世纪金榜导学号( () )A.8A.8B.4B.4C.2C.2D.1D

13、.12BC16 AB AC|AB AC| ，AM【思维思维引引】利用三角形法则或平行四边形法则求解利用三角形法则或平行四边形法则求解. .【解析解析】1.1.选选D.D. = =0; ; = =0; ; = =0; ; = =0. .2.2.选选C.C.由由 可知可知, , 垂直垂直, ,故故ABCABC为直角三角形为直角三角形,| |,| |即斜边即斜边BCBC的中线的中线, ,所以所以| | |=2.=2.AB BC CA AC CA AB AC BD CD CB BD CD CD CD OA OD AD DA AD NO OP MN MPNP PN AB ACAB AC AB AC 与A

14、MAM【内化内化悟悟】1.1.用起止点表示的几个向量的和差化简问题的常见形用起止点表示的几个向量的和差化简问题的常见形式有两种式有两种: :首尾相连且求和首尾相连且求和, ,起点相同且求差起点相同且求差. .如果不满如果不满足以上形式时应怎样处理足以上形式时应怎样处理? ?提示提示: :(1)(1)使用交换律、结合律使用交换律、结合律.(2).(2)用相反向量进行转用相反向量进行转化化.(3).(3)使用相等向量进行替换使用相等向量进行替换. .2.2.平行四边形平行四边形ABCDABCD中中,| |,| |与与| | |分别是指分别是指什么什么? ?提示提示: : 分别是指两条对角线的长分别

15、是指两条对角线的长. .AB AD AB AD AB AD|AB AD| 与【类题类题通通】向量减法运算的常用方法向量减法运算的常用方法 【发散发散拓拓】已知向量已知向量a, ,b, ,那么那么| |a|-|-|b| |与与| |ab| |及及| |a|+|+|b| |三者具有什么样的大小关系三者具有什么样的大小关系? ?【提示提示】它们之间的关系为它们之间的关系为|a|-|-|b|ab| | | |a|+|+|b|.|.(1)(1)当当a, ,b有一个为零向量时有一个为零向量时, ,不等式显然成立不等式显然成立. .(2)(2)当当a, ,b不共线时不共线时, ,作作 = =a, =, =b

16、, ,则则a+ +b= ,= ,如图如图(1)(1)所示所示, ,根据三角形的性质根据三角形的性质, ,有有|a|-|-|b|a+ +b|a| |+|+|b|.|.同理可证同理可证|a|-|-|b|a- -b|b|,|,作法同上作法同上, ,如图如图(3)(3)所示所示, ,此时此时| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|.|.综上所述综上所述, ,得不等式得不等式|a|-|-|b|ab|a|+|+|b|.|.【延伸延伸练练】若若| |=8,| |=5,| |=8,| |=5,则则| | |的取值范围是的取值范围是_._.AB AC BC 【解析解析】由由 及三角不等式及三角不等式, ,得得

17、 又因为又因为 =8,=8,所以所以3| |3| |=| |13,=| |13,即即| |3,13.| |3,13.答案答案: :3,133,13BC BA AC BAAC BA ACBAAC ，BAAB BC BA AC BC 【习练习练破破】化简下列各式化简下列各式: : 1 AB MBOB MO . 2 AB AD DC. 【解析解析】(1)(1)方法一方法一: :原式原式= = 方法二方法二: :原式原式= = AB MB BO OM AB BOOM MBAO OB AB. AB MB BO OM ABMB BOOMAB MO OM ABAB. 0(2)(2)方法一方法一: :原式原式

18、= = 方法二方法二: :原式原式= = DB DC CB. ABAD DCAB AC CB. 【加练加练固固】下列各式中不能化简为下列各式中不能化简为 的是的是( () ) A.(AB DC) CBB.ADCD DCC.CB MCDA BM D. BM DA MB AD 【解析解析】选选D.D.选项选项A A中中, , 选项选项B B中中, , 选项选项C C中中, , (AB DC) CB AB CD BC AB BC CD AD ；ADCD DCADAD ；0BC CM AD MBMB BC CMAD AD. CB MCDA BMCB MC DA BM 类型三向量加减运算几何意义的应用类

19、型三向量加减运算几何意义的应用角度角度1 1利用已知向量表示未知向量利用已知向量表示未知向量【典例典例】如图所示如图所示, ,四边形四边形ACDEACDE是平行四边形是平行四边形,B,B是该平是该平行四边形外一点行四边形外一点, ,且且 = =a, =, =b, =, =c, ,试用向量试用向量a, ,b, ,c表示向量表示向量 世纪金榜导学号世纪金榜导学号AB AC AE CDBCBD. ， ，【思维思维引引】由平行四边形的性质可知由平行四边形的性质可知 = =c, ,由由向量的减法可知向量的减法可知: : 由向量的加法可知由向量的加法可知 CD AE BC AC AB ，BD BC CD.

20、 【解析解析】因为四边形因为四边形ACDEACDE是平行四边形是平行四边形, ,所以所以 = =c, =, =b- -a, ,故故 = =b- -a+ +c. .CD AE BC AC AB BD BC CD 【素养素养探探】本例主要考查平面向量的加法、减法运算本例主要考查平面向量的加法、减法运算, ,利用已知利用已知向量表示未知向量向量表示未知向量, ,突出考查直观想象的核心素养突出考查直观想象的核心素养. .本例中的条件本例中的条件“点点B B是该平行四边形外一点是该平行四边形外一点”若换为若换为“点点B B是该平行四边形内一点是该平行四边形内一点”, ,其他条件不变其他条件不变, ,其结

21、论其结论又如何呢又如何呢? ?【解析解析】如图如图, , 因为四边形因为四边形ACDEACDE是平行四边形是平行四边形, ,所以所以 = =c, =, =b- -a, , = =b- -a+ +c. .CD AE BC AC AB BD BC CD 角度角度2 2求解或证明几何问题求解或证明几何问题【典例典例】(2019(2019临沂高一检测临沂高一检测) )已知非零向量已知非零向量a, ,b满足满足| |a|=|= +1,|+1,|b|=|= -1,-1,且且| |a- -b|=4,|=4,则则| |a+ +b| |的值为的值为_._.【思维思维引引】作出图形作出图形, ,利用向量加减法的几

22、何意义求利用向量加减法的几何意义求解解. .77【解析解析】如图如图, ,令令 = =a, =, =b, ,则则| |=| |=|a- -b|.|.以以OAOA与与OBOB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OACB,OACB,则则| |=| |=|a+ +b|.|.由由于于( +1)( +1)2 2+( -1)+( -1)2 2=4=42 2. . 故故 , ,所以所以OABOAB是是AOBAOB为为9090的直角三角形的直角三角形, ,从而从而OAOB,OAOB,所以所以平行四边形平行四边形OACBOACB是矩形是矩形. .根据矩形的对角线相等有根据矩形的对角线相等有OA OB BA OC

23、 77222OAOBBA =4, =4,即即| |a+ +b|=4.|=4.答案答案: :4 4OCBA 【内化内化悟悟】| |a|,|,|b|,|,|a- -b|,|,|a+ +b| |表示什么几何图形中的哪些表示什么几何图形中的哪些几何量几何量? ?提示提示: :平行四边形的两条邻边及其两条对角线平行四边形的两条邻边及其两条对角线. .【类题类题通通】1.1.解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系角形三向量之间的关系, ,确定已知

24、向量与被表示向量的确定已知向量与被表示向量的转化渠道转化渠道. .2.2.利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤: :(1)(1)由题意作出相对应的几何图形由题意作出相对应的几何图形, ,构造有关向量构造有关向量. .(2)(2)利用三角形法则和平行四边形法则、对向量的加、利用三角形法则和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算减法进行运算. .(3)(3)构造三角形构造三角形( (一般是直角三角形一般是直角三角形),),利用三角形的边、利用三角形的边、角关系解题角关系解题. .【习练习练破破】1.1.在菱形在菱形ABCDABCD中中,DAB=60,D

25、AB=60,| |=2,| |=2,则则| | |=_.=_.AB BC DC 【解析解析】因为因为 DAB=60DAB=60,AB=AD,AB=AD,所以所以ABDABD为等边三角形为等边三角形. .又因为又因为| |=2,| |=2,所以所以OB=1.OB=1.在在RtRtAOBAOB中中, , BC DC AD DC AC ，AB 22AOABOB3 ，所以所以 答案答案: :2 2 AC 2AO 2 3. 32.2.如图如图, ,在在ABCABC中中,D,E,D,E分别为边分别为边AC,BCAC,BC上的任意一点上的任意一点,O,O为为AE,BDAE,BD的交点的交点, ,已知已知 =

26、 =a, =, =b, =, =c, =, =e, ,用用a, ,b, ,c, ,e表示向量表示向量 . .AB BD BE OE OD 【解析解析】在在OBEOBE中中, ,有有 = =e- -c, ,在在ABOABO中中, =, =e- -c- -a, ,在在ABDABD中中, =, =a+ +b, ,所以在所以在OADOAD中中, =, =e- -c- -a+ +a+ +b= =e- -c+ +b. .OB OE EB OA OB BA AD AB BD OD OA AD 【加练加练固固】如图所示如图所示, ,已知已知 = =a, =, =b, =, =c, =, =d, =, =e,

27、, = =f, ,试用试用a, ,b, ,c, ,d, ,e, ,f表示表示: :OA OB OC OD OE OF 1 AD AB. 2 AB CF. 3 BF BD. 【解析解析】(1)(1)因为因为 = =b, =, =d, ,所以所以 = =d- -b. .(2)(2)因为因为 = =a, =, =b, =, =c, =, =f, ,所以所以 = =b+ +f- -a- -c. .(3)(3)因为因为 = =d, =, =f, ,所以所以 = =f- -d. .OB OD AD AB BD OD OB OB OA OC OF AB CFOB OAOF OC OF OD BF BD DF OF OD