1、杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命题 纸杭 州 师 范 大 学 2013 年招收攻读硕士研究生入学考试题 考试科目代码： 722 考试科目名称： 量子力学 说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。一、 简答题 （每题20分，共40分）1 波函数是应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什么？写出波函数所满足的薛定谔方程。若势能不含时，试推导出所满足的定态薛定谔方程？假设定态薛定谔方程给出能量本证值是量子化的，从定态方程的解构造出含时薛定谔方程的一般解。2 简要说明何为定态非简并微扰论（写出其二级近似能量与一级近似波函数）及其适应范围与条件；并简要说明变分法
2、的原理。二、 证明题（每题15分，共30分）1. 证明坐标算符与动量算符之间的运算关系：(1)(2)2. 定义算子 ，以及。证明 (1) ； (2) , 三、 计算题（每题20分，共80分）1. 质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：(1) 求解能量本征值和归一化的本征函数；(2) 若已知时，该粒子状态为：，求时刻该粒子的波函数；(3) 求时刻测量到粒子的能量分别为和的几率是多少？(4) 求时刻粒子的平均能量和平均位置。2. 已知一维谐振子哈密顿为：，其本征波函数记为 构成完备基（满足正交归一关系）。定义下降算符与上升算符分别为与，并满足， 在状态下，求：(1)势能的平均值；(2
3、)动能的平均值；(3)坐标与动量的不确定关系；(4)最小不确定度对应什么状态（即n的取值）。3. 设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为 ; 求 (1) 它们的本征值和归一化的本征函数;(2) 从z表象到x表象以及从z表象到y表象的幺正矩阵;(3) 用求得的对应的幺正矩阵将对角化. 4. 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。总自旋算符定义为：。(1) 假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数;和的本征值；(2) 假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数;和的本征值. 2013 年 考试科目代码 722 考试科目名称 量子力学 （本考试科目共 3页，第3 页）
