保险精算课件-第1章利息理论共96页文档.ppt

1、2.1.1 累积函数累积函数1.总额函数总额函数本本 金：最初的投资额金：最初的投资额累积额：本金经过一定时间后形成金额累积额：本金经过一定时间后形成金额利利 息：累积额与本金之差息：累积额与本金之差)()0()(tIAtA)(tI)(tA)0(A)0()()(AtAtI2.累积函数：单位本金经过累积函数：单位本金经过t年的累积额年的累积额)0()()(AtAta1)0(a)()0()(taAtA)(ta10t如果单位时间为如果单位时间为1年，则年，则1年内年内1单位本金的利息单位本金的利息就是实际年利率就是实际年利率3.利息率：单位本金在单位时间内所滋生的利息利息率：单位本金在单位时间内所滋

2、生的利息. 表示第表示第n个基本计息时间单位的实际利率个基本计息时间单位的实际利率in) 1() 1()(nAnAnAin1) 1 ()0()0() 1 (1aAAAi 单利：只在本金上计算利息单利：只在本金上计算利息 复利：利上生利的计息方式复利：利上生利的计息方式)1)(0()(21iiinAnA)1 ()1)(1)(0()(21iiinAnA)1)(0()(itAtA 常数利率时常数利率时tiAtA)1)(0()( 常数利率时常数利率时tita)1 ()( 此时累积函数为此时累积函数为解：显然，解：显然，A(0)=1000, A(1)=1050, A(2)=1100因此，因此，例例1.

3、某人到银行存入某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余元，第一年末他存折上的余额为额为1050元，第二年末他存折上的余额为元，第二年末他存折上的余额为1100元，元，问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？50) 1 () 2() 2(,50) 0 () 1 () 1 (AAIAAI%762.4105050)1 ()2(%5100050)0()1 (21AIAIii例例2. 某人存入银行某人存入银行5000元，年利率元，年利率6%，试分别以单利和复利计算试分别以单利和复利计算5年后的积累值。年后的积累值。解：按单利计算，解：按单利计算，A(5)=5

4、000(1+56%) =50001.3=6500(元元) 按复利计算，按复利计算，A(5)=5000(1+6%)5 =6691.13(元元)例例3. 王亮王亮1994年年1月月1日从银行借款日从银行借款10000元，元，假设年利率为假设年利率为6%，试分别以单利和复利计算，试分别以单利和复利计算（1）1994年年5月月20日他需还银行多少钱？日他需还银行多少钱？（2）2019年年1月月1日他需还银行多少钱？日他需还银行多少钱？（3）多少年后他需还）多少年后他需还15000元？元？ 我们把为了在我们把为了在 t 期末得到某个积累值，期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累而在开始时

5、投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。显然，值的现值（或折现值）。显然，a-1(t)是是在在t期末支付期末支付1单位的现值，在单位的现值，在t期末支付期末支付k单位的现值为单位的现值为ka-1(t)。 积累函数积累函数a (t)有时也称作有时也称作 t 期积累因子期积累因子; 称称 a-1(t)为折现函数或为折现函数或 t 期折现因子。特别地，期折现因子。特别地，把一期折现因子把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。简称为折现因子。 在复利方式下，当年利率不变时在复利方式下，当年利率不变时 通常记通常记tita)1 (1)(1iav11) 1 (1ti)1 ( 本金本金积累值积累值现

6、值现值1) (1ta) (ta101t-1ti)1 (1i11i1货币货币时间时间-t 如果把应在将来某时期支付的金额提前如果把应在将来某时期支付的金额提前到现在支付，则在支付额中应扣除一部分金到现在支付，则在支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴现额。额，这个扣除额称为贴现额。 利息是在本金基础上的增加额，贴现是利息是在本金基础上的增加额，贴现是在累积额基础上的减少额。在累积额基础上的减少额。3.贴现率贴现率 单位货币在单位时间内的贴现额。单位货币在单位时间内的贴现额。以以dn表示第表示第n年贴现率，第年贴现率，第1年的贴现率简化表示为年的贴现率简化表示为d,有有)() 1()()()

7、1()(nanananAnAnAdniiaaAAAd1) 1 (1) 1 () 1 ()0() 1 ()1 (idi可解释为：在年末应付的利息是年初可可解释为：在年末应付的利息是年初可 付利息的累积值。付利息的累积值。vid111表明表明1-d在利率在利率i下经过下经过1年累积为年累积为1ti)1 ( 101t-1ti)1 (1i11i1货币货币时间时间-ttd)1 (1101t-1td)1 ( d1d11货币货币时间时间-tvi11iid1ivd 以贴现率以贴现率d投资投资1赚得的、在期初支付的利息是赚得的、在期初支付的利息是d,也可以说也可以说d是是i在一期前的现值。在一期前的现值。例：例

8、： 已知某项投资在一年中能得到的利息已知某项投资在一年中能得到的利息金额为金额为336元，而与本金等价的贴现额为元，而与本金等价的贴现额为300元，求本金。元，求本金。1.名义利率：所谓名义利率名义利率：所谓名义利率 ，是指每，是指每 个度量期支个度量期支付利息一次，而每付利息一次，而每 个度量期的实际利率为个度量期的实际利率为 。设与名义利率等价的实际利率为设与名义利率等价的实际利率为 ，则有：，则有：mmmii)1 (1)(1)1 ()(mmmii)(mi1m1m()mimi01)(1 mmmi时间点：时间点：利利 息：息：余余 额：额：1)(mimm1m2mm 11mm1mim)(11

9、)()(mimimm2)(1 mimmmmi1 )(1)()(1 mmmmimi2.名义贴现率：一个度量期内结算多次利息的贴现率名义贴现率：一个度量期内结算多次利息的贴现率称为名义贴现率称为名义贴现率 。以。以 表示每表示每 个度量期以实际个度量期以实际贴现率贴现率 计息的名义贴现率，设与之等价的实际计息的名义贴现率，设与之等价的实际贴现率为贴现率为 ，则有：，则有：( )mdmmmdd)1 (1)(mmmdd)1 (1)(1m()mdmd0时间点：时间点：贴贴 现：现：余余 额：额：1)(mdmm1mm 11mm11 )()(mdmdmmmdm)(1mm 22)(1 mdm1)(1 mmmd

10、mmmd1 )(1)()(1 mmmmdmdmmmii)1 (1)(mmmdd)1 (1)(id111mmmimimd/ 11)()()1 (1 1( )1/1 (1)mmdmi 或或miidmmm/1)()()()()(111mmimd例例1：（1）求与实际利率求与实际利率8%等价的每年计息等价的每年计息2次的年名义利率，以及每年计息次的年名义利率，以及每年计息4次的年次的年名义利率；名义利率；（2）求相当于每月结算一次的年利率为）求相当于每月结算一次的年利率为12%的半年结算一次的贴现率。的半年结算一次的贴现率。例例2：求求1万元按万元按每年计息每年计息4次的年名义利率次的年名义利率6%投

11、资三年的积累值。投资三年的积累值。例例3：每年计息：每年计息2次的年名义利率为次的年名义利率为10%，在，在6年后支付年后支付5万元，求其现值。万元，求其现值。 利息力又称息力，是衡量确切时点上利率水平的利息力又称息力，是衡量确切时点上利率水平的指标。记为指标。记为 ，则，则t)()()()()()()(lim0tatatAtAttAtAttAtt时，时，tita)1 ()()1ln(it或或ie100( )ddln ( )( )ttsa sssa ta s上式两边从上式两边从0到到t积分得积分得0d( )tssa te例：如果例：如果 ，确定投资，确定投资1000元元在第在第1年末的积累值和

12、第年末的积累值和第2年内的利息金额。年内的利息金额。0.01 , 02ttt 一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量：一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量：1.原始投资的本金原始投资的本金2.投资时期的长度投资时期的长度3.利率利率4.本金在投资期末的积累值本金在投资期末的积累值 如果已知其中的任何三个，就可以建立一个如果已知其中的任何三个，就可以建立一个价值等式，由此等式确定第四个量。价值等式，由此等式确定第四个量。例例1： 某人借款某人借款50000元，每半年结算一次利息，元，每半年结算一次利息，年名义利率为年名义利率为6%，两年后他还了，两年后他还了30000元，又过元，又过3年后

13、还了年后还了20000元，求元，求7年后的欠款额为多少。年后的欠款额为多少。01234567500003000020000 x50000300001.03-4200001.03-101.03-14x500001.0314300001.0310200001.034 x价值等式价值等式或或例例2： 某人在某人在2019年年1月月1日存入银行日存入银行8000元，元，两年后又存入两年后又存入6000元，元，2019年年1月月1日取出日取出12000元，如果利率为元，如果利率为5%，计算，计算2019年年1月月1日他帐户日他帐户上的余额。上的余额。价值等式价值等式2019201920192019800

14、012000 x80001.05960001.057 120001.053x6000例例3： 某人为了能在第某人为了能在第7年末得到一笔年末得到一笔10000元元的款项，愿意在第的款项，愿意在第1年末付出年末付出1000元，在第元，在第3年年末付出末付出4000元，并在第元，并在第8年末付出一笔钱，如果年末付出一笔钱，如果年利率为年利率为6%，问他在第，问他在第8年末应付多少元？年末应付多少元？答案为答案为3743.5元元例例4： 某人在某人在2019年年1月月1日在其银行帐户上存款日在其银行帐户上存款2000元，元，2019年年1月月1日存款日存款3000元，如果之后没元，如果之后没有存取款

15、项，有存取款项，2000年年1月月1日的帐户余额为日的帐户余额为6000元，元，计算实际利率。计算实际利率。2019201920002000300060002000(1i)53000(1i)2 6000价值等式价值等式f (i) 2000(1i)53000(1i)2 6000可利用中点插值法求解可利用中点插值法求解补充作业：补充作业：1、设、设 ，请把，请把 按从大到小按从大到小的次序排列。的次序排列。2、已知某笔投资在、已知某笔投资在3年后的积累值为年后的积累值为1000元，第元，第1年、年、第第2年、第年、第3年的利率分别为年的利率分别为10%、8%、6%，求该，求该笔投资的原始金额。笔投

16、资的原始金额。3、基金、基金X中的投资以利息强度中的投资以利息强度 基金基金Y中的投资以年实际利率中的投资以年实际利率i积累。现分别投资积累。现分别投资1元，则元，则基金基金X和基金和基金Y在第在第20年末的积累值相等，求第年末的积累值相等，求第3年年年末基金年末基金Y的积累值。的积累值。()(),mmi idd1m 0.010.1,tt 所谓年金就是一系列按照相等时间间隔所谓年金就是一系列按照相等时间间隔支付的款项。年金在经济生活中有很广泛的支付的款项。年金在经济生活中有很广泛的应用，如零存整取的银行存款、购物的分期应用，如零存整取的银行存款、购物的分期付款及保险领域中的养老金给付、分期交付

17、付款及保险领域中的养老金给付、分期交付保费等。保费等。2.2.1 等额支付的等额支付的n期年金期年金1.期末付期末付n期年金的现值和终值期年金的现值和终值ivvvvannn12iiiiviasnnnnnn1)1 ()1 (1)1 (012n-1n1111inains金额金额时期时期2. 期初付期初付n期年金的现值和终值期年金的现值和终值dvvvvvvannnn111112 diidviasnnnnnn1)1 ()1 (1)1 ( 012n-1n1111ina ins 3. 期初、期末付期初、期末付n期年金的现值和终值间的关系期年金的现值和终值间的关系)1 (iaann )1 (issnn 01

18、2n-1n1111nansn+1na ns nnnias)1 ( nnnias)1 ( 例例1：某人从银行贷款：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的万元用于购买住房，规定的还款期是还款期是20年，假设贷款利率为年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。20200000 xa0121920万元万元xxx200.0520000016048.521 1.05x解得解得20 x例：计算年利率为例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投的条件下，每年年末投资资3000元，投资元，投资20年的现值及积累值。如

19、果年的现值及积累值。如果投资在每年年初进行，那么投资投资在每年年初进行，那么投资20年的现值年的现值及积累值又分别是多少？及积累值又分别是多少？问：符号问：符号 的含义是什么？的含义是什么？1,na1ns11nnias11(1)(1)nnnnnnniavisiais11nndas例：某人希望通过等额的年度存款在例：某人希望通过等额的年度存款在10年后年后攒够攒够10万元，在年度实质利率万元，在年度实质利率8%的情况下，的情况下，问每年末需存入多少钱才能达到其要求。若问每年末需存入多少钱才能达到其要求。若存款改为每年年初进行，其他条件不变，计存款改为每年年初进行，其他条件不变，计算每年需存入的款

20、项。算每年需存入的款项。例：某人在银行存入例：某人在银行存入10000元，计划分元，计划分4年等年等额支取完，每年末支取一次，银行的年度实额支取完，每年末支取一次，银行的年度实质利率为质利率为7%。计算该人每次可支取的金额。计算该人每次可支取的金额。例：某人从银行贷款例：某人从银行贷款10000元，期限为元，期限为10年，年实年，年实质利率为质利率为6%，比较下面三种还款方式支付利息金，比较下面三种还款方式支付利息金额的多少。额的多少。（1）贷款本金及利息积累值在第）贷款本金及利息积累值在第10年末一次性还清；年末一次性还清；（2）每年末支付贷款利息，第）每年末支付贷款利息，第10年末归还本金

21、；年末归还本金；（3）利用基本年金方式，每年末支付相同的金额，到第）利用基本年金方式，每年末支付相同的金额，到第10年末正好还清贷款。年末正好还清贷款。例：某人从例：某人从1980年年1月月1日起开始向希望工程捐日起开始向希望工程捐款，他每年捐款支付款，他每年捐款支付3000元，到元，到2019年年1月月1日日为止从未间断。假设年实质利率为为止从未间断。假设年实质利率为6%，分别求，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值。该人的全部捐款在下列各时刻的价值。（1）1970年年1月月1日；日； （4）2019年年1月月1日；日；（2）1980年年1月月1日；日； （5）2019年年1月月1日；日；

22、（3） 2000年年1月月1日；日；4.每年收付每年收付m次，每次次，每次1/m元的期初付元的期初付n年年金的现值和终值年年金的现值和终值)(/1/ )1()1(/2/1)(11111111mnmnmmnmmmndvvvmvmvmvmma 01n-1n1/m1/m1/m1/m1/m1/m(nm-1)/m1/m)()()(1)1 ()1 (mnnmnmndiias 5.每年收付每年收付m次，每次次，每次1/m元的期末付元的期末付n年年金的现值和终值年年金的现值和终值01n-1n1/m1/m1/m1/m1/m(nm-1)/m1/m()()()(1)(1)1mmnnnnmsaiii1/m()()1/

23、1/()()1()()111(1)()(1)1nmmmmmnnmnmnmvaavvdivmimvi例：某人从银行贷款例：某人从银行贷款20万元用于购买住房，万元用于购买住房，规定的还款期是规定的还款期是20年，假设贷款利率为年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第如果从贷款第2个月开始每月等额还款，求每个月开始每月等额还款，求每月需要的还款数额。月需要的还款数额。例：某人计划每年末存入银行例：某人计划每年末存入银行10000元，一共元，一共10年，第一次存款计划在第年，第一次存款计划在第1年末。假设银行年末。假设银行月度转换的存款利率为月度转换的存款利率为6%，求在第，求在第10年末全年末全部存款

24、的积累值。部存款的积累值。nmmnmnaiiiva)()()(1nmmnnmnmnsiiiiias)()()()(1)1 ()1 (nmmnmnadddva )()()(1nmmnnmnmnsdddiias )()()()(1)1 ()1 ()()1nmmnvai()()(1)1nmmnisi()()1nmmnvad()()(1)1nmmnisd6.连续年金连续年金1nnva(1)1nnis11nnvaaii11nnvaadd()()()()11nmmmmnvaaii()()()()11nmmmmnvaadd付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年

25、金例：若存入银行例：若存入银行10万元建立一项永续奖励基金，从万元建立一项永续奖励基金，从存款存款1年后开始支付等额年金，设利率为年后开始支付等额年金，设利率为4%，求，求每年可以提取的最大数额。每年可以提取的最大数额。解：设每年可以提取的最大数额为解：设每年可以提取的最大数额为 ，有，有)元(400004. 0100000100000100000 xxixxax例：某人留下一笔例：某人留下一笔100000元的遗产。这笔元的遗产。这笔财产前财产前10年的利息付给受益人年的利息付给受益人A，第，第2个个10年的利息付给受益人年的利息付给受益人B，此后的利息都，此后的利息都付给慈善机构付给慈善机构

26、C。若此项财产的年实质利。若此项财产的年实质利率为率为7%，试确定，试确定A、B、C在此笔财产中在此笔财产中各获得的遗产数额。各获得的遗产数额。10 0.0720 0.0710 0.070.0720 0.071000007%7000700049465: 7000()24993: 7000()25842IaBaaCaaA：例：有甲、乙、丙三人共同为某学校设立总额例：有甲、乙、丙三人共同为某学校设立总额100万元的奖学基金。该基金以永续年金的万元的奖学基金。该基金以永续年金的方式每年支付一次用作该校部分学生的奖学方式每年支付一次用作该校部分学生的奖学金，第一次支付在基金设立一年后。甲、乙、金，第一

27、次支付在基金设立一年后。甲、乙、丙经协商，决定由甲为前丙经协商，决定由甲为前8年支付出资，乙年支付出资，乙为接下来的为接下来的10年支付出资，余下来的款项由年支付出资，余下来的款项由丙出。假设基金以年实质利率丙出。假设基金以年实质利率8%计息。分别计息。分别计算甲、乙、丙三人的出资额。计算甲、乙、丙三人的出资额。年金年金有限年金有限年金永续年金永续年金现时值现时值积累值积累值现时值现时值期末付期末付 期初付期初付ivann1iisnn1)1 (dvann1 disnn1)1 ( ia1da1 变额年金是每次收付额不等的年金，变额年金是每次收付额不等的年金，实际中常见的变额年金有两种：一种是收实

28、际中常见的变额年金有两种：一种是收付额等差变化的年金，另一种是收付额等付额等差变化的年金，另一种是收付额等比变化的年金。等差变化又分等差递增和比变化的年金。等差变化又分等差递增和等差递减两种。等差递减两种。1. 等差递增年金等差递增年金012n-1n1111()nIa1111()nIa n+1( )nIs()nI s 11nnnvvvIa22)(两式相减得两式相减得nnnnnnvanvvvIai 11)()nnnanvIai121)(1 (nnnvvIaidnvaaInnn )()nnsnIsi()nnsnI sd012n-1n111()nDa111()nDa 2. 等差递减年金等差递减年金1

29、1111111111111()nDs()nDs n+1ianIaanDannnn)() 1()(iaindanaDnnn )1 ()(isiniDaDsnnnnn)1 ()1 ()()(isiniaDsDnnnnn 1)1 ()1 ()()(例：某年金第例：某年金第1年末收付年末收付1000元，以后每隔元，以后每隔1年收付年收付额比前一年增加额比前一年增加100元，共收付元，共收付10年，若年利率年，若年利率为为5%，求第，求第10年末的年金终值。年末的年金终值。解：这一变额年金可分解为每年解：这一变额年金可分解为每年900元的元的10年定额年定额年金和年金和100元的元的10年等差递增年金，

30、因此第年等差递增年金，因此第10年年末的年金终值为末的年金终值为10101010900100()10(1)190010017733.68sIssiii3. 等比变化年金等比变化年金12)1( ,)1(),1( , 1njjj 若某期末付年金各期付款额成等比级数，若某期末付年金各期付款额成等比级数，即各期付款额有如下关系：即各期付款额有如下关系：则各年金现值为则各年金现值为1232)1 ()1 ()1 ()0(nnjvjvjvvVjiijijijvijijijvnnn)11(1111)11(1)11()11(11112例：我国城镇基本养老保险采取社会统筹与个例：我国城镇基本养老保险采取社会统筹与

31、个人帐户相结合的方式，个人帐户以个人缴费人帐户相结合的方式，个人帐户以个人缴费工资的工资的8%计入。如果某职工从计入。如果某职工从20岁参加个人岁参加个人帐户保险，当年工资为帐户保险，当年工资为6000元，工资年增长元，工资年增长率为率为2%，个人帐户的累积利率为，个人帐户的累积利率为4%，求他，求他在在60岁退休时个人帐户的累积值。岁退休时个人帐户的累积值。例：在上例中，如果个人帐户累积利率在刚参例：在上例中，如果个人帐户累积利率在刚参加个人帐户的前加个人帐户的前10年内为年内为4%，退休前的，退休前的10年年内为内为2%，中间，中间20年为年为3%，求这时个人帐户，求这时个人帐户在退休时的

32、累积值。在退休时的累积值。 债务偿还的方式一般有以下三种：债务偿还的方式一般有以下三种：（1）满期偿还：满期偿还：借款者在贷款期满时一次性偿还贷款借款者在贷款期满时一次性偿还贷款的本金和利息。的本金和利息。（2）分期偿还：分期偿还：分期（年、季、月分期（年、季、月）清偿贷款，每次清偿贷款，每次偿还当期的利息和部分本金。通常采用的分期偿还方偿还当期的利息和部分本金。通常采用的分期偿还方式有等额分期偿还和变额分期偿还。式有等额分期偿还和变额分期偿还。（3）偿债基金：偿债基金：借款者每期向贷款者支付贷款利息借款者每期向贷款者支付贷款利息,并并且按期另存一笔款且按期另存一笔款,建立一个基金建立一个基金

33、,在贷款期满时这一在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金基金恰好等于贷款本金,一次性偿还给贷款者。一次性偿还给贷款者。2.3.1 分期偿还分期偿还 等额分期偿还：等额分期偿还：每期（年、季、月）偿还每期（年、季、月）偿还相等的金额，到期正好还清贷款总额。相等的金额，到期正好还清贷款总额。要解决的问题：要解决的问题：1.每次偿还的金额是多少？每次偿还的金额是多少？2.未偿还的本金余额是多少？未偿还的本金余额是多少？3.每次偿还的金额中，利息和本金分别是多少？每次偿还的金额中，利息和本金分别是多少？1.每次偿还的金额每次偿还的金额符号符号:B0 贷款本金贷款本金n 贷款期限贷款期限i 贷款利率贷款利

34、率R 每次偿还的金额每次偿还的金额假设每年末等额偿还，则假设每年末等额偿还，则0n iBRa0n iRaB2.未偿还本金余额未偿还本金余额假设：在每年末付款之后计算未偿还本金余额。假设：在每年末付款之后计算未偿还本金余额。符号：符号：B0 年初的未偿还本金余额（即贷款金额）年初的未偿还本金余额（即贷款金额）B1 第第1年末的未偿还本金余额年末的未偿还本金余额Bn 第第n年末的未偿还本金余额（年末的未偿还本金余额（ Bn = 0）计算方法计算方法（两种）（两种） :（1）过去法：基于过去已偿还本金计算）过去法：基于过去已偿还本金计算（2）将来法：基于将来需要偿还的金额）将来法：基于将来需要偿还的

35、金额过去法过去法基本思想：从原始贷款本金中减去过去已偿还本金基本思想：从原始贷款本金中减去过去已偿还本金即得未偿还本金余额。即得未偿还本金余额。如何计算已偿还本金？如何计算已偿还本金？每年偿还的总金额为每年偿还的总金额为R每年偿还的利息为每年偿还的利息为B0i， B1i， ， Bn-1i每年偿还的本金为每年偿还的本金为RB0i， R B1i， ， R Bn-1i0(1)kkk iBBiRs 未偿还本金余额未偿还本金余额:第第1年末：年末：第第2年末：年末：第第k年末：年末：1000()(1)BBRB iBiR2111()(1)BBRB iBiR0(1)(1)BiRiR20(1)1(1)BiRi

36、202(1)iBiRs012knRRRR 问题：问题：如何理解如何理解 ？0(1)kkk iBBiRs 解释：解释：第第k年末未偿还本金余额是下述两项之差年末未偿还本金余额是下述两项之差原始本金在第原始本金在第k年末的累积值年末的累积值已偿还金额已偿还金额R在第在第k年末的累积值年末的累积值0(1)kBik iRs012knRRRR将来法：将来法：基本思想：把将来需偿还的金额折算成计算时的现值。基本思想：把将来需偿还的金额折算成计算时的现值。nkRaBiknk, 1 , 0,在第在第k年末还需偿还年末还需偿还(nk)次，故未偿还本金余额为次，故未偿还本金余额为nkRsiBBikkk, 1 ,

37、0,)1 (0过去法过去法将来法将来法nkRaBiknk, 1 , 0,过去法和将来法的比较过去法和将来法的比较0(1)kkk iBBiRs(1)kn ik iRaiRs1(1)1(1)nkkviRiii1n kvRin k iRa3.每年偿还的本金和利息：每年偿还的本金和利息：第第k年应支付的利息年应支付的利息1kkIiB第第k年应支付的本金年应支付的本金kkPRI1n kiiRa 1(1)n kRv 10n kn iBva 1n kRv n iRa1(1)n kRv 1n kRv kBn k iRa1niRakI(1)nRv付款金额付款金额时期时期RR01knRnRv(1)RvRv0总计总

38、计nRn inRRa0n iRaB偿还本金偿还本金例：已知某住房贷款例：已知某住房贷款10万元，分万元，分10年还清，年还清，每月末还款一次，每年计息每月末还款一次，每年计息12次的年名义次的年名义利率为利率为6%。计算在还款。计算在还款50次之后的贷款余次之后的贷款余额。如果还款在每年末进行，那么在第额。如果还款在每年末进行，那么在第5次次还款后的贷款余额会是多少呢？还款后的贷款余额会是多少呢？例：某人从银行借得一笔款项，每年末还款例：某人从银行借得一笔款项，每年末还款10000元，共元，共20次。在第次。在第5次还款时，他决次还款时，他决定将手头多余的定将手头多余的20000元也作为偿还款

39、，然元也作为偿还款，然后将剩余贷款期调整为后将剩余贷款期调整为12年，若利率为年，若利率为9%，计算调整后每年的还款额。计算调整后每年的还款额。例：设例：设A向向B借款借款20000元，期限为元，期限为5年，年年，年实际利率为实际利率为6%，A在每年年末以等额分期在每年年末以等额分期方式偿还贷款。试计算第方式偿还贷款。试计算第3年末未偿还贷款年末未偿还贷款余额、第余额、第3年支付的利息以及偿还的本金。年支付的利息以及偿还的本金。变额分期偿还变额分期偿还nkkkRvB10012kn2RkRnR1R0B 最为常见的一种变额分期偿还方式是每期最为常见的一种变额分期偿还方式是每期偿还的本金相等，即偿还

40、的本金相等，即kkIRR01nkkknRv RB设第设第k期偿还金额为期偿还金额为R k ，则有则有nR()nk R(1)nRinR付款金额付款金额时期时期(1)RinR01knRRi0总计总计(1)2n nnRRinR偿还本金偿还本金支付利息支付利息未偿还贷款余额未偿还贷款余额RR1 (1)Ri n k (1)i n kR (1)2n nRi例：某人贷款例：某人贷款100000元，期限为元，期限为10年，年实年，年实际利率为际利率为6%，每年年末以等额本金偿还方，每年年末以等额本金偿还方式偿还贷款。试计算第式偿还贷款。试计算第5年末应偿还的贷款年末应偿还的贷款数额。数额。2.3.2 偿债基金

41、偿债基金 等额偿债基金等额偿债基金需解决的问题需解决的问题1.借款人每年末的付款总额借款人每年末的付款总额2.每年末的贷款净额每年末的贷款净额3.借款人每年末实际支付的利息借款人每年末实际支付的利息B0 原始贷款本金原始贷款本金n 贷款期限贷款期限 i 贷款利率贷款利率 I 借款人每年末名义上支付的利息借款人每年末名义上支付的利息 ，即，即 j 偿债基金的利率偿债基金的利率D 借款人每期末向偿债基金储蓄的金额借款人每期末向偿债基金储蓄的金额0iBI 符号符号1. 借款人每年末的付款总额借款人每年末的付款总额借款人每期末向偿债基金储蓄的金额借款人每期末向偿债基金储蓄的金额D满足满足0n jDsB

42、0n jBDs借款人每期末的付款总额为借款人每期末的付款总额为0001()n jn jBIDiBB iss2.每年末的贷款净额每年末的贷款净额第第k期末贷款净额为期末贷款净额为0000(1)k jk jk jn jn jsBBDsBsBssk jDs偿债基金在第偿债基金在第k年末的累积金额为年末的累积金额为3.借款人每年末实际支付的利息借款人每年末实际支付的利息偿债基金第偿债基金第k年产生的利息为年产生的利息为jkDsj1贷款人第贷款人第k年实际支付的利息为年实际支付的利息为jkjDsiB10偿债基金在第偿债基金在第k年初的余额（已偿还的本金）为年初的余额（已偿还的本金）为1kjDs例：例：A

43、曾借款曾借款1万元万元,实质利率为实质利率为10%，采取偿债基，采取偿债基金的方式偿还，偿债基金的利率为金的方式偿还，偿债基金的利率为8%。在第。在第10年年末偿债基金余额为末偿债基金余额为5000元元,在第在第11年末年末A支付总额支付总额为为1500元元,问问 1500中有多少是当前支付给贷款的利息中有多少是当前支付给贷款的利息? 1500中有多少进入偿债基金中有多少进入偿债基金? 1500中有多少应被认为是利息中有多少应被认为是利息? 1500中有多少应被视为本金中有多少应被视为本金? 第第11年末的偿债基金余额为多少年末的偿债基金余额为多少?59004005005000)5(90060

44、01500)4(6004001000:11400%85000:11)3(50010001500)2(1000%1010000) 1 (11111011IPBB次付款纯利息为所以第年积累利息为偿债基金第例：某人从银行借款，期限为例：某人从银行借款，期限为5年，年利率年，年利率 为为8%，欲采取偿债基金方式偿还，偿债基金，欲采取偿债基金方式偿还，偿债基金利率为利率为7%.他每年末可支付的款额为他每年末可支付的款额为1000、1000、1500、1500、1500元，其中一部分元，其中一部分作为利息，另一部分作为偿债基金存款，计作为利息，另一部分作为偿债基金存款，计算他可以借款的数额。算他可以借款的

45、数额。特例：偿债基金利率特例：偿债基金利率j贷款利率贷款利率i00011()()n jn in iBDIB iB iRssa结论：当结论：当i=j时，等额偿债基金法时，等额偿债基金法等额分期偿还法。等额分期偿还法。借款人每期支付的总金额为借款人每期支付的总金额为 等额分期偿还法：贷款利率为等额分期偿还法：贷款利率为i 等额偿债基金法：贷款利率为等额偿债基金法：贷款利率为i，偿债基金利率，偿债基金利率j问题：对借款人来讲下列哪种方法更有利？问题：对借款人来讲下列哪种方法更有利？例：假设两笔贷款的本金均为例：假设两笔贷款的本金均为10000元，期限均为元，期限均为10年，但偿还方式不同：年，但偿还

46、方式不同：第一笔：采用偿债基金方式偿还，贷款利率为第一笔：采用偿债基金方式偿还，贷款利率为6%，偿债基金利率为偿债基金利率为5%;第二笔：采用等额分期偿还方法偿还第二笔：采用等额分期偿还方法偿还问题：当第二笔贷款利率为多少时，两笔贷款对借问题：当第二笔贷款利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。款人而言是等价的。等价利率的一种近似解法：等价利率的一种近似解法：0.5()riij 偿债基金贷款利率偿债基金贷款利率 借款人在偿债基金中损失的利率借款人在偿债基金中损失的利率每每1元贷款的平均余额近似为元贷款的平均余额近似为0.5 在上例中近似的等价利率为在上例中近似的等价利率为0.5()6%0.

47、5 (6%5%)6.5%riij 例：某贷款为例：某贷款为100000元，期限元，期限10年，贷款利率为年，贷款利率为8%，采取偿债基金方式偿还，偿债基金利率采取偿债基金方式偿还，偿债基金利率 为为6%.计算第计算第5年借款人实际支付的利息。如果采取等额分期方式年借款人实际支付的利息。如果采取等额分期方式偿还，试计算与之等价的贷款利率。偿还，试计算与之等价的贷款利率。作业：作业：1. 某人借款某人借款X，为期，为期10年，年利率年，年利率8%，若他在第，若他在第10年末一次性偿还本利和，其中的利息部分要比分年末一次性偿还本利和，其中的利息部分要比分10年年期均衡偿还的利息部分多期均衡偿还的利息

48、部分多468.05元，计算元，计算X。2.有一笔金额为有一笔金额为1万元的贷款，期限为万元的贷款，期限为20年，每年末年，每年末等额偿还，第等额偿还，第13期偿还的本金是第期偿还的本金是第5期偿还本金的期偿还本金的1.5倍，试求为该贷款支付的总利息。倍，试求为该贷款支付的总利息。3. 某贷款为某贷款为期期5年，每季度末等额偿还，每年计息年，每季度末等额偿还，每年计息4次次的年名义利率为的年名义利率为10%，若第，若第3次还款中的本金部分为次还款中的本金部分为100元，计算最后元，计算最后5次还款中的本金部分。次还款中的本金部分。4.某贷款为某贷款为10万万元，期限元，期限10年，贷款利率为年，贷款利率为5%，采，采取偿债基金方式偿还，偿债基金利率取偿债基金方式偿还，偿债基金利率 为为3%。还款在。还款在每年末进行。每年末进行。计算第计算第5次还款前，贷款人要求借款人次还款前，贷款人要求借款人一次性实际支付的利息。如果采取等额分期方式偿还，一次性实际支付的利息。如果采取等额分期方式偿还，试计算与之等价的贷款利率。试计算与之等价的贷款利率。