6.3　数学归纳法(一).doc

1、 6.3 数学归纳法(一) 一、基础达标 1某个命题与正整数有关，如果当 nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得 nk1 时，该命题也成立现在已知当 n5 时，该命题成立，那么可推导 出 ( ) A当 n6 时命题不成立 B当 n6 时命题成立 C当 n4 时命题不成立 D当 n4 时命题成立 答案 B 2一个与正整数 n 有关的命题，当 n2 时命题成立，且由 nk 时命题成立可 以推得 nk2 时命题也成立，则 ( ) A该命题对于 n2 的自然数 n 都成立 B该命题对于所有的正偶数都成立 C该命题何时成立与 k 取值无关 D以上答案都不对 答案 B 解析 由 nk 时命题成立可以推出

2、 nk2 时命题也成立且 n2，故对 所有的正偶数都成立 3在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为1 2n(n3)条时，第一步验证 n 等 于 ( ) A1 B2 C3 D0 答案 C 解析 因为是证凸 n 边形，所以应先验证三角形，故选 C. 4若 f(n)11 2 1 3 1 2n1(nN *)，则 n1 时 f(n)是 ( ) A1 B.1 3 C11 2 1 3 D以上答案均不正确 答案 C 5用数学归纳法证明 12222n 12n1(nN*)的过程中，第二步假设 当 nk(kN*)时等式成立，则当 nk1 时应得到_ 答案 12222k 12k2k11 解析 由 nk 到 nk1

3、 等式的左边增加了一项 6已知 f(n) 1 n1 1 n2 1 3n1(nN *)，则 f(k1)_. 答案 f(k) 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 k1 7用数学归纳法证明 11 3 11 4 11 5 1 1 n2 2 n2(nN *) 证明 (1)当 n1 时，左边11 3 2 3，右边 2 12 2 3，等式成立 (2)假设当 nk(k1，kN*)时等式成立，即 11 3 11 4 11 5 1 1 k2 2 k2， 当 nk1 时， 11 3 11 4 11 5 1 1 k2 1 1 k3 2 k2 1 1 k3 2k2 k2k3 2 k3 2 k12， 所以当 nk1 时

4、等式也成立 由(1)(2)可知，对于任意 nN*等式都成立 二、能力提升 8用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n 1 3 (2n1)(nN*)，从 k 到 k1 左端需要增乘的代数式为 ( ) A2k1 B2(2k1) C.2k1 k1 D.2k3 k1 答案 B 解析 nk1 时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1) (k1)k (2k2) (k1)(k2)(kk) (2k1) 2，应增乘 2(2k1) 9已知 f(n)1 n 1 n1 1 n2 1 n2，则 ( ) Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(

5、2)1 2 1 3 1 4 Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 1 4 答案 D 解析 观察分母的首项为 n，最后一项为 n2，公差为 1， 项数为 n2n1. 10以下用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为 _ 答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础 证明 假设当 nk(kN*)时等式成立，即 242kk2k，那么 24 2k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当 nk1 时等式 也成立因此对于任何 nN*等式都成立 11用数学归纳法证明： 12223242(

6、1)n 1 n2(1)n1 nn1 2 . 证明 (1)当 n1 时，左边1， 右边(1)1 112 2 1，结论成立 (2)假设当 nk 时，结论成立 即 12223242(1)k 1k2(1)k1 kk1 2 ， 那么当 nk1 时， 12223242(1)k 1k2(1)k(k1)2 (1)k 1 kk1 2 (1)k(k1)2 (1)k (k1)k2k2 2 (1)k k1k2 2 (1)k 11 k1k11 2 . 即 nk1 时结论也成立 由(1)(2)可知，对一切正整数 n 都有此结论成立 12已知数列an的第一项 a15 且 Sn1an(n2，nN*)，Sn为数列an的前 n

7、项和 (1)求 a2，a3，a4，并由此猜想 an的表达式； (2)用数学归纳法证明an的通项公式 (1)解 a2S1a15，a3S2a1a210， a4S3a1a2a3551020， 猜想 an 5 n1 52n 2， n2，nN* . (2)证明 当 n2 时，a2522 25，公式成立 假设 nk(k2，kN*)时成立， 即 ak52k 2， 当 nk1 时，由已知条件和假设有 ak1Ska1a2a3ak 551052k 2. 5512 k1 12 52k 152(k1)2. 故 nk1 时公式也成立 由可知，对 n2，nN*，有 an52n 2. 所以数列an的通项公式为 an 5 n

8、1 52n 2 n2，nN* . 三、探究与创新 13已知数列an的前 n 项和 Sn1nan(nN*) (1)计算 a1，a2，a3，a4； (2)猜想 an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论 解 (1)计算得 a11 2；a2 1 6；a3 1 12；a4 1 20. (2)猜想 an 1 nn1.下面用数学归纳法证明： 当 n1 时，猜想显然成立 假设 nk(kN*)时，猜想成立，即 ak 1 kk1. 那么，当 nk1 时，Sk11(k1)ak1， 即 Skak11(k1)ak1. 又 Sk1kak k k1， 所以 k k1ak 11(k1)ak1， 从而 ak1 1 k1k2 1 k1k11. 即 nk1 时，猜想也成立故由和可知，猜想成立.