导数的运算法则.doc

1、 42.3 导数的运算法则 一、基础达标 1设 y2exsin x，则 y等于 ( ) A2excos x B2exsin x C2exsin x D2ex(sin xcos x) 答案 D 解析 y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x) 2当函数 yx 2a2 x (a0)在 xx0处的导数为 0 时，那么 x0 ( ) Aa B a Ca Da2 答案 B 解析 y x2a2 x 2x xx 2a2 x2 x 2a2 x2 ， 由 x20a20 得 x0 a. 3设曲线 yx1 x1在点(3,2)处的切线与直线 axy10 垂直，则 a 等于 ( ) A2 B.1

2、 2 C 1 2 D2 答案 D 解析 yx1 x11 2 x1， y 2 x12.y|x 31 2. a2，即 a2. 4已知曲线 yx3在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k3 时的 P 点坐标为 ( ) A(2，8) B(1，1)或(1,1) C(2,8) D. 1 2， 1 8 答案 B 解析 y3x2，k3，3x23，x 1， 则 P 点坐标为(1，1)或(1,1) 5设函数 f(x)g(x)x2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1， 则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_ 答案 4 解析 依题意得 f(x)g(x)2x， f(1)g(1)24.

3、 6已知 f(x)1 3x 33xf(0)，则 f(1)_. 答案 1 解析 由于 f(0)是一常数，所以 f(x)x23f(0)， 令 x0，则 f(0)0， f(1)123f(0)1. 7求下列函数的导数： (1)y(2x23)(3x1)； (2)yxsin x 2cos x 2. 解 (1)法一 y(2x23)(3x1)(2x23)(3x1)4x(3x1) 3(2x23)18x24x9. 法二 y(2x23)(3x1)6x32x29x3， y(6x32x29x3)18x24x9. (2)yxsin x 2cos x 2x 1 2sin x， yx 1 2sin x 1 1 2cos x.

4、 二、能力提升 8曲线 y sin x sin xcos x 1 2在点 M 4，0 处的切线的斜率为 ( ) A1 2 B. 1 2 C 2 2 D. 2 2 答案 B 解析 ycos xsin xcos xsin xcos xsin x sin xcos x2 1 sin xcos x2， 故 y| x 4 1 2， 曲线在点 M 4，0 处的切线的斜率为 1 2. 9已知点 P 在曲线 y 4 ex1上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取 值范围是 ( ) A0， 4) B 4， 2) C( 2， 3 4 D3 4 ，) 答案 D 解析 y 4ex ex12 4ex e2x2e

5、x1，设 te x(0，)，则 y 4t t22t1 4 t1 t2 ，t1 t2，y1,0)， 3 4 ，) 10 (2013 江西)设函数f(x)在(0， )内可导， 且f(ex)xex， 则f(1)_. 答案 2 解析 令 tex，则 xln t，所以函数为 f(t)ln tt，即 f(x)ln xx，所以 f(x)1 x1，即 f(1) 1 112. 11求过点(2,0)且与曲线 yx3相切的直线方程 解 点(2,0)不在曲线 yx3上，可令切点坐标为(x0，x30)由题意，所求直线 方程的斜率 kx 3 00 x02y|x x03x20，即 x30 x023x 2 0，解得 x00

6、或 x03. 当 x00 时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k0，则所求直线方程是 y0； 当 x03 时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k27， 则所求直线方程是 y2727(x3)， 即 27xy540. 综上，所求的直线方程为 y0 或 27xy540. 12已知曲线 f(x)x33x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程 解 设切点为(x0，y0)， 则由导数定义得切线的斜率 kf(x0)3x203， 切线方程为 y(3x203)x16， 又切点(x0，y0)在切线上， y03(x201)x016， 即 x303x03(x201)x016， 解得 x02， 切

7、线方程为 9xy160. 三、探究与创新 13设函数 f(x)axb x，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y12 0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三 角形的面积为定值，并求此定值 (1)解 由 7x4y120 得 y7 4x3. 当 x2 时，y1 2，f(2) 1 2， 又 f(x)a b x2， f(2)7 4， 由，得 2ab 2 1 2， ab 4 7 4. 解之得 a1， b3. 故 f(x)x3 x. (2)证明 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y1 3 x2知 曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy0 1 3 x20 (xx0)， 即 y x0 3 x0 1 3 x20 (xx0) 令 x0 得 y 6 x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 0， 6 x0 . 令 yx 得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0) 所以点P(x0， y0)处的切线与直线x0， yx所围成的三角形面积为1 2 6 x0 |2x0 6. 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0， yx 所围成的三角形的面积为 定值，此定值为 6.