1、 第 1 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 24241.21.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1进一步认识圆是轴对称图形 2能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论， 并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题 3认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题 一、情境导入 你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”， 位于河北省赵县， 是我国现存的著名的古代石拱 桥，距今已有 1400 多年了，是隋代开皇大业年间(605618)由著名将师李春建造的，是我 国古代人民勤劳和智慧的结晶 它的主桥拱是圆弧形，全长 50.82 米，桥宽约 10 米
2、，跨度 37.4 米，拱高 7.2 米，是当 今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？ 二、合作探究 探究点一：垂径定理 【类型一】垂径定理的理解 如图所示，O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD6cm，则 直径AB的长是( ) A2 3cm B3 2cm C4 2cm D4 3cm 解析：直径ABDC，CD6，DP3.连接OD，P是OB的中点，设OP为x，则OD 为 2x，在 RtDOP中，根据勾股定理列方程 3 2x2(2x)2，解得 x 3.OD2 3，AB 4 3.故选 D. 方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径
3、造出直角三角形，然后 应用勾股定理解决问题 第 2 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【类型二】垂径定理的实际应用 如图， 一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB )， 点 O是这段弧的圆心，C是AB 上 一点，OCAB，垂足为D，AB300m，CD50m，则这段弯路的半径是_m. 解析：本题考查垂径定理，OCAB，AB300m，AD150m.设半径为R，根据勾股 定理可列方程R 2(R50)21502，解得 R250.故答案为 250. 方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识 进行解答 探究点二：垂径定理的推论 【类型一】利用垂径定理的推论求
4、角 如图所示，O的弦AB、AC的夹角为 50，M、N分别是AB 、AC的中点，则MON 的度数是( ) A100 B110 C120 D130 解析：已知M、N分别是AB 、AC的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得 OMAB、ONAC，所以AEOAFO90，而BAC50，由四边形内角和定理得MON 360AEOAFOBAC360909050130.故选 D. 【类型二】利用垂径定理的推论求边 如图，点A、B是O上两点，AB10cm，点P是O上的动点(与A、B不重合)， 连接AP、BP，过点O分别作OEAP于E，OFPB于F，求EF的长 解析：运用垂径定理先证出EF是ABP的中位线，然
5、后运用三角形中位线性质把要求 的EF与AB建立关系，从而解决问题 第 3 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 解：在O中，OEAP，OFPB，AEPE，BFPF，EF是ABP的中位线，EF 1 2AB 1 2105cm. 方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决 问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手 【类型三】动点问题 如图，O的直径为 10cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范 围 解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OPAB时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长 解：作直径MN弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得ADDB1 2AB4cm.又O 的 直径为 10cm，连接OA，OA5cm.在 RtAOD中，由勾股定理，得ODOA 2AD23cm. 垂线段最短，半径最长，OP的长度范围是 3OP5(单位：cm) 方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解容易 出错的地方是不能确定最值时的情况 三、板书设计 教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关在圆中求有关线段长时，可考虑 垂径定理的应用.
