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1、第第4篇篇 振动与波动振动与波动 第第10章章 机械振动机械振动 1本章学习要点本章学习要点l简谐振动简谐振动l简谐振动的合成简谐振动的合成l阻尼振动、受迫振动与共振阻尼振动、受迫振动与共振l本章小结本章小结210.1 简谐振动简谐振动 物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振简谐振动动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆动等都可视为简谐振动。动等都可视为简谐振动。

2、10.1.1 简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程 如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平面上，一端固定，另一端连一质量为面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为的物体。这样的系统称为弹簧振子弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。，它是物理学中的又一理想模型。3 如上图（如上图（a）所示，弹簧处于自然长度时，物体沿水平方向）所示，弹簧处于自然长度时，物体沿水平方向所受的合外力为零，此时物体所在的位置所受的合外力为零，此时物体所在的位置O点称为平衡位置。以点称为平衡位置。以O点为坐标原点，以弹簧的伸长方向为点为坐标

3、原点，以弹簧的伸长方向为x轴正向建立坐标系。轴正向建立坐标系。 如上图（如上图（b）所示，在弹簧的弹性限度内，将物体从平衡位）所示，在弹簧的弹性限度内，将物体从平衡位置向右拉至位置置向右拉至位置P点，然后放手。物体在向左的弹力作用下，向点，然后放手。物体在向左的弹力作用下，向左加速运动。当到达平衡位置左加速运动。当到达平衡位置O时，物体所受的弹力为零，加速时，物体所受的弹力为零，加速度也为零。度也为零。 但此时物体的速度不为零，由于惯性作用，物体将继续向但此时物体的速度不为零，由于惯性作用，物体将继续向左运动，使弹簧被压缩，从而产生向右的弹力阻碍物体运动，左运动，使弹簧被压缩，从而产生向右的弹

4、力阻碍物体运动，使物体向左做减速运动，直到速度为零，此时，物体到达左边使物体向左做减速运动，直到速度为零，此时，物体到达左边最远处最远处P点，如上图（点，如上图（c）所示。然后，物体又在向右的弹力作）所示。然后，物体又在向右的弹力作用下，从用下，从P点返回，向右加速运动。这样，物体在弹力和惯性点返回，向右加速运动。这样，物体在弹力和惯性的作用下，在平衡位置附近的的作用下，在平衡位置附近的P点和点和P点之间做往复运动。点之间做往复运动。 4 由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小的大小与其相对平衡位置的位移与其相对平衡位置的位移x成正比，

5、即成正比，即Fkx 上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置，因此，此力又称为平衡位置，因此，此力又称为回复力回复力。 根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为：根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为： xmkmFa 因因k和和m都是正值，其比值可用一个常数都是正值，其比值可用一个常数的平方表示，即的平方表示，即2k/m，故上式可写为：，故上式可写为： xa2 上式表明，物体做简谐振动时，其加速度的大小与位移的大上式表明，物体做简谐振动时，其加速度的大小与位移的大小成正比，方向与位移的方向相反。这是小成正比，方向与位移的方向相反

6、。这是简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征 5由于加速度由于加速度ad2x/dt2，因此，上式可写为：，因此，上式可写为： 0dd222xtx 上式称为简谐振动的动力学方程，它是一个微分方程，其上式称为简谐振动的动力学方程，它是一个微分方程，其解为：解为： ）（tAxcos 上式称为简谐振动的运动方程（或振动方程）。将上式分别上式称为简谐振动的运动方程（或振动方程）。将上式分别对时间对时间t求一阶导数和二阶导数，可得简谐振动物体的速度和加求一阶导数和二阶导数，可得简谐振动物体的速度和加速度分别为：速度分别为： ）（tAtxvsindd）（tAtxacosdd2226 【例例10-1】如下图

7、所示，一质量为如下图所示，一质量为m、长度为、长度为l的均质细棒的均质细棒悬挂在水平轴悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置点。开始时，棒在垂直位置OO，处于平衡状，处于平衡状态。将棒拉开微小角度态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点点在竖直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复在竖直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复摆。若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证摆。若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证明在摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。明在摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。 【解解】以以

8、OO为平衡位置，设逆时针转向为为平衡位置，设逆时针转向为角正向，棒在任意时刻的角位移都可用棒与角正向，棒在任意时刻的角位移都可用棒与OO的夹角的夹角表示。根据题意，棒所受的重力矩为：表示。根据题意，棒所受的重力矩为： sin21mglM7当摆角当摆角很小时，很小时，sin，故，故 mglM21 上式中负号表示重力矩使棒产生的转动趋势始终与棒的角位上式中负号表示重力矩使棒产生的转动趋势始终与棒的角位移移反向。反向。 根据转动定律可得：根据转动定律可得： mgldtdJJM2122因因Jml2/3，将上式整理可得：，将上式整理可得： 02322lgdtd令令23g/2l，则上式可写为：，则上式可写

9、为： 0222dtd 将上式与式（将上式与式（104）比较可知，在摆角很小的情况下，细）比较可知，在摆角很小的情况下，细棒在平衡位置的摆动为简谐振动。棒在平衡位置的摆动为简谐振动。 810.1.2 描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量 振幅、周期、频率、角频率、相位及初相等都是描述简谐振幅、周期、频率、角频率、相位及初相等都是描述简谐振动的物理量，其中，振动的物理量，其中，振幅、角频率和初相振幅、角频率和初相三个量可以完全确三个量可以完全确定一个简谐振动，称为简谐振动的特征量。定一个简谐振动，称为简谐振动的特征量。 1振幅振幅 在简谐振动的运动方程在简谐振动的运动方程xAcos（t）中，由

10、于）中，由于|cos（t）|1，所以，所以，|x|A。我们把做简谐振动的物体离开平衡。我们把做简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离位置的最大距离A称为振幅，它确定了物体的振动范围。在国际称为振幅，它确定了物体的振动范围。在国际单位制中，振幅的单位为米（单位制中，振幅的单位为米（m）。）。 92周期与频率周期与频率 物体完成一次全振动所经历的时间称为周期，用物体完成一次全振动所经历的时间称为周期，用T表示。表示。物体从位置物体从位置P经原点经原点O到达位置到达位置P，然后返回，再经原点，然后返回，再经原点O回到回到位置位置P，物体就完成了一次全振动，其所经历的时间就是一个，物体就完成了一次全振动

11、，其所经历的时间就是一个周期。因此，物体在任意时刻周期。因此，物体在任意时刻t的位移和速度，分别与时刻的位移和速度，分别与时刻tT的位移和速度完全相同，即的位移和速度完全相同，即 ）（）（）（TtATtAtAxcoscoscos 根据余弦函数的周期性，满足上述方程的根据余弦函数的周期性，满足上述方程的T的最小值应为的最小值应为T2，于是，于是 2T21T 单位时间内物体所完成的全振动次数称为频率，用单位时间内物体所完成的全振动次数称为频率，用 表示，表示，显然，频率等于周期的倒数，即显然，频率等于周期的倒数，即 10上式还可写为：上式还可写为： 2 上式表明，上式表明，是频率的是频率的2倍，表

12、示物体在倍，表示物体在2秒内完成的全秒内完成的全振动次数，故振动次数，故称为角频率或圆频率。称为角频率或圆频率。 周期、频率和角频率都是描述物体振动快慢的物理量。在周期、频率和角频率都是描述物体振动快慢的物理量。在国际单位制中，周期的单位为秒（国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹（）；频率的单位为赫兹（Hz）；角频率的单位为弧度每秒（）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。）。 对弹簧振子，由于对弹簧振子，由于 mk故有：故有： kmT2mk21 由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量m和弹簧的劲度系数和弹簧的

13、劲度系数k所决定的，即只与振动系统本身的物理性所决定的，即只与振动系统本身的物理性质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期和频率称为和频率称为固有周期和固有频率固有周期和固有频率。 113相位与初相相位与初相 在简谐振动中，物体的运动状态由物体离开平衡位置的位在简谐振动中，物体的运动状态由物体离开平衡位置的位移和速度共同决定。在振幅移和速度共同决定。在振幅A和角频率和角频率都已知的情况下，物体都已知的情况下，物体在某一时刻的运动状态由在某一时刻的运动状态由t决定，决定，t称为振动的称为振动的相位相位，它是决定简谐振动运动状

14、态的物理量。它是决定简谐振动运动状态的物理量。 当当t0时，相位时，相位t，称为称为初相位初相位，简称初相，它是，简称初相，它是决定初始时刻振动物体运动状态的物理量。在国际单位制中，决定初始时刻振动物体运动状态的物理量。在国际单位制中，相位的单位为弧度（相位的单位为弧度（rad）。）。12 用相位描述物体的运动状态，还能充分体现出振动的周期用相位描述物体的运动状态，还能充分体现出振动的周期性。例如：性。例如： t0时，物体位于正位移最大处，且时，物体位于正位移最大处，且v0； t/2时，物体位于平衡位置，且向时，物体位于平衡位置，且向x轴负方向运动轴负方向运动，vA； t时，物体位于负位移最大

15、处，且时，物体位于负位移最大处，且v0； t3/2时，物体位于平衡位置，且向时，物体位于平衡位置，且向x轴正方向运动轴正方向运动，vA； t2时，物体位于正位移最大处，且时，物体位于正位移最大处，且v0。 134振幅与初相的确定振幅与初相的确定 对给定的简谐振动系统，其角频率是由振动系统本身的性对给定的简谐振动系统，其角频率是由振动系统本身的性质所决定的，而其振幅质所决定的，而其振幅A和初相和初相则是由振动的初始条件所决定则是由振动的初始条件所决定的。的。t0时，物体的位移时，物体的位移x0和速度和速度v0称为初始条件。称为初始条件。 当当t0时，有：时，有： sincos00AvAx联立解得

16、：联立解得： 0022020tanxvvxA 式（式（2）中，）中，所在的象限可依据式（所在的象限可依据式（1），由），由x0和和v0的符号的符号判断判断cos和和sin的符号后确定。的符号后确定。 （1）（2）14 【例例10-2】一质点沿一质点沿x轴做简谐振动，振幅轴做简谐振动，振幅A0.12m，周期，周期T2s，当，当t0时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移x00.06m，此时，质，此时，质点向点向x轴正向运动。求：（轴正向运动。求：（1）此简谐振动的运动方程；（）此简谐振动的运动方程；（2）从）从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。

17、【解解】（1）设简谐振动的运动方程为）设简谐振动的运动方程为xAcos（t）。由）。由题意可知，题意可知，A0.12m，2/T（rad/s）。因）。因t0时，时，x00.06m，故，故 0.060.12cos/3 因因t0时，质点向时，质点向x轴正向运动，轴正向运动，v00，故，故v0Asin0sin0 取取 /3 所以，简谐振动的运动方程为：所以，简谐振动的运动方程为：x0.12cos（t/3） 15（2）通过平衡位置时，）通过平衡位置时，x0，即，即0.12cos（t/3）0解得：解得： 2123）（kt61 kt（k1，2，3，） 第一次通过平衡位置，应取第一次通过平衡位置，应取k1，即

18、，即 s83. 065611t1610.1.3 简谐振动曲线简谐振动曲线 由式（由式（106）和式（）和式（107）可）可知速度和加速度的最大值分别为知速度和加速度的最大值分别为vmaxA，amax2A。根据式（。根据式（105）、式（）、式（106）和式（）和式（107）可作出如下图所示振动曲线，分别可作出如下图所示振动曲线，分别表示位移、速度和加速度随时间的表示位移、速度和加速度随时间的变化情况，可以看出，物体做简谐变化情况，可以看出，物体做简谐振动时，其位移、速度和加速度都振动时，其位移、速度和加速度都是呈周期性变化的。是呈周期性变化的。 1710.1.4 旋转矢量法旋转矢量法 如右图所

19、示，一个模为如右图所示，一个模为A的矢量绕的矢量绕O点点以恒角速度以恒角速度沿逆时针方向转动。在此矢量沿逆时针方向转动。在此矢量转动过程中，矢量的端点转动过程中，矢量的端点M在在Ox轴上的投影轴上的投影点点P也以也以O点为平衡位置不断地往返运动。点为平衡位置不断地往返运动。 在任意时刻，投影点在任意时刻，投影点P在在Ox轴上的位置由方程轴上的位置由方程xAcos（t）确定，因此，投影点）确定，因此，投影点P的运动为简谐振动，即简谐振动可的运动为简谐振动，即简谐振动可以借助于一个旋转着的矢量来表示，这个矢量称为以借助于一个旋转着的矢量来表示，这个矢量称为旋转矢量旋转矢量。其。其对应关系为：旋转矢

20、量的模对应关系为：旋转矢量的模A为简谐振动的振幅；旋转矢量的转为简谐振动的振幅；旋转矢量的转动角速度动角速度为简谐振动的角频率；旋转矢量在初始时刻与为简谐振动的角频率；旋转矢量在初始时刻与Ox轴的轴的夹角夹角为简谐振动的初相；旋转矢量在为简谐振动的初相；旋转矢量在t时刻与时刻与Ox轴的夹角轴的夹角t为简谐振动的相位；旋转矢量旋转一周所用的时间为简谐振动的为简谐振动的相位；旋转矢量旋转一周所用的时间为简谐振动的周期。周期。 18 【例例10-3】在弹簧振子系统中，有一质量在弹簧振子系统中，有一质量m0.01kg的物体的物体做简谐振动，其振幅做简谐振动，其振幅A0.08m，周期，周期T4s，初始时

21、刻物体在，初始时刻物体在x00.04m处向处向Ox轴负方向运动，求：（轴负方向运动，求：（1）t1s时，物体所处时，物体所处的位置和所受的力；（的位置和所受的力；（2）由初始位置运动到）由初始位置运动到x0.04m处所处所需要的最短时间。需要的最短时间。 【解解】先求简谐振动方程，设先求简谐振动方程，设xAcos（t），题意可知），题意可知A0.08m，2/T/2（rad/s）。因）。因t0时，时，x00.06m则则0.060.12cos/3 作旋转矢量如下图所示，从图中可知，作旋转矢量如下图所示，从图中可知，/3，故简谐振动，故简谐振动方程为：方程为： 32cos08. 0tx19（1）t1

22、s时时 ）（m069. 0312cos08. 0 x 上式表明，上式表明，t1s时，物体所处位置为平衡位置时，物体所处位置为平衡位置O的负方向的负方向0.069m处。处。 此时，物体受力为：此时，物体受力为： ）（）（N107 . 1069. 0201. 0322xmkxF力的方向指向平衡位置。力的方向指向平衡位置。 （2）设物体由起始位置运动到）设物体由起始位置运动到x0.04m处所需的最短时处所需的最短时间为间为t，则，则 32cos08. 004. 0tt0.667s若根据上图所示，可得：若根据上图所示，可得： 3tt0.667s 2010.1.5 简谐振动的能量简谐振动的能量 设在任一

23、时刻设在任一时刻t，物体的位移和速度分别为，物体的位移和速度分别为x和和v，则由式（，则由式（105）和式（）和式（106）可得简谐振动的动能和势能分别为：）可得简谐振动的动能和势能分别为： ）（）（tkAtAmmvEk222222sin21sin2121）（tkAkxEp222cos2121简谐振动的总能量为：简谐振动的总能量为： ）（）（tkAtkAEEEpk2222cos21sin212222121AmkA21 动能、势能及总能量随时间变化的动能、势能及总能量随时间变化的曲线如右图所示（设曲线如右图所示（设0）。）。 关于简谐振动的能量需要说明几点关于简谐振动的能量需要说明几点 1振动系

24、统的动能和势能都随时振动系统的动能和势能都随时间呈周期性变化，其周期为物体做简谐间呈周期性变化，其周期为物体做简谐振动周期的振动周期的1/2。 2在振动过程中，虽然动能和势能在不断变化，但它们之在振动过程中，虽然动能和势能在不断变化，但它们之间是相互转换的，其总和为一恒量，即系统的总能量是守恒的。间是相互转换的，其总和为一恒量，即系统的总能量是守恒的。由上图所示可以看出，当物体位移最大时，势能达到最大，动能由上图所示可以看出，当物体位移最大时，势能达到最大，动能为零；当物体位移为零时，势能为零，动能达到最大；而其总能为零；当物体位移为零时，势能为零，动能达到最大；而其总能量为一常数，等于动能或

25、势能的最大值。量为一常数，等于动能或势能的最大值。 3振动系统的总能量与振幅的平方都成正比，也与角频率振动系统的总能量与振幅的平方都成正比，也与角频率的平方成正比。虽然这个结论是从弹簧振子系统中导出的，但却的平方成正比。虽然这个结论是从弹簧振子系统中导出的，但却是简谐振动的共同性质，对其他形式的振动也是适用的。是简谐振动的共同性质，对其他形式的振动也是适用的。 22 【例例10-4】在水平弹簧振子中，物体的质量在水平弹簧振子中，物体的质量m0.025kg，弹，弹簧的劲度系数簧的劲度系数k0.4N/m，当物体在正向离平衡位置，当物体在正向离平衡位置0.1m处时运处时运动的速率动的速率v0.4m/

26、s。求：（。求：（1）系统的总能量）系统的总能量E；（；（2）振幅）振幅A；（3）物体的最大速率）物体的最大速率vmax；（；（4）物体在）物体在A/2处具有的动能处具有的动能Ek和和势能势能Ep。 （2）因）因 ，故，故 【解解】（1）因）因x0.1m时，时，v0.4m/s，故系统的总能量为：，故系统的总能量为： ）（）（J1041 . 04 . 04 . 0025. 021212132222kxmvE221kAE ）（m14. 04 . 0104223kEA23（3）因系统的总能量等于动能或势能的最大值，即）因系统的总能量等于动能或势能的最大值，即故故 2max21mvE ）（m/s56.

27、 0025. 0104223maxmEv（4）物体在）物体在A/2处具有的势能处具有的势能Ep为：为： ）（J101422121322EAkkxEp动能动能Ek为：为： ）（J103433EEEEpk2410.2 简谐振动的合成简谐振动的合成 10.2.1 相位差相位差 相位差是指两个振动在同一时刻的相位值之差。设有两个相位差是指两个振动在同一时刻的相位值之差。设有两个质点质点1、2做同方向、同频率的简谐振动，其运动方程分别为：做同方向、同频率的简谐振动，其运动方程分别为：x1A1cos（t1），），x2A2cos（t2）则它们在任意时刻的相位差则它们在任意时刻的相位差为：为： （t2）（）（

28、t1）21 由上式可知，两个同方向、同频率的简谐振动，在任意时由上式可知，两个同方向、同频率的简谐振动，在任意时刻的相位差都等于它们的初相位差，为一恒量。刻的相位差都等于它们的初相位差，为一恒量。 25 如果如果210，则在振动过程中，质点，则在振动过程中，质点2将始终比质点将始终比质点1先到达任一特定的振动状态，如左图所示，两振动的步调存在先到达任一特定的振动状态，如左图所示，两振动的步调存在一个确定的差异，此时，我们称质点一个确定的差异，此时，我们称质点2的振动的振动超前超前质点质点1的振动，的振动，或质点或质点1的振动的振动落后落后质点质点2的振动。的振动。 如果如果212k（k0，1，

29、2，），则两质点将），则两质点将同时到达任一特定的振动状态，如中图所示，两振动的步调完全同时到达任一特定的振动状态，如中图所示，两振动的步调完全一致，此时，我们称两振动一致，此时，我们称两振动同相同相。 如果如果21（2k1）（k0，1，2，），则两），则两振动的步调完全相反，例如，一个质点到达正最大位移时，另一振动的步调完全相反，例如，一个质点到达正最大位移时，另一个质点到达负最大位移，如右图所示，此时，我们称两振动个质点到达负最大位移，如右图所示，此时，我们称两振动反相反相。 2610.2.2 两个同方向、同频率两个同方向、同频率 简谐振动的合成简谐振动的合成 若一个质点同时参与两个同方向

30、、同频率的简谐振动，其运若一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，其运动方程分别为：动方程分别为：x1A1cos（t1），），x2A2cos（t2） 因两个振动的方向相同，由运动的叠加原理可知，质点的合因两个振动的方向相同，由运动的叠加原理可知，质点的合振动位移等于两个分振动位移的代数和，即振动位移等于两个分振动位移的代数和，即xx1x2A1cos（t1）A2cos（t2） 应用旋转矢量法可以更直观、更简洁的得出合振动的规律。应用旋转矢量法可以更直观、更简洁的得出合振动的规律。 27 如下图所示，取坐标轴如下图所示，取坐标轴Ox，画出两个分振动的旋转矢量，画出两个分振动的旋转矢量A1和和

31、A2，它们在，它们在Ox轴上的投影轴上的投影x1和和x2分别表示两个分振动的位移。分别表示两个分振动的位移。根据平行四边形法则，可作出合矢量根据平行四边形法则，可作出合矢量AA1A2，它在，它在Ox轴上的轴上的投影投影x表示合振动的位移，可以看出，表示合振动的位移，可以看出，xx1x2。t0时，合矢时，合矢量量A与与Ox轴的夹角为轴的夹角为。 由于由于A1和和A2以相同的角速度以相同的角速度逆逆时针旋转，在旋转过程中，其夹角时针旋转，在旋转过程中，其夹角21保持不变，因此，平行四边形保持不变，因此，平行四边形OM1MM2的形状在旋转中保持不变，的形状在旋转中保持不变，即合矢量即合矢量A的模保持

32、恒定，且以同一的模保持恒定，且以同一角速度角速度与与A1、A2一起绕一起绕O点逆时针旋点逆时针旋转。转。 28 于是，根据旋转矢量法，可得合振动的运动方程为：于是，根据旋转矢量法，可得合振动的运动方程为： xAcos（t） 上式表明，两个同方向、同频率简谐振动的合振动仍为简谐上式表明，两个同方向、同频率简谐振动的合振动仍为简谐振动，其频率与分振动的频率相同，其振幅和初相可由上图所示振动，其频率与分振动的频率相同，其振幅和初相可由上图所示几何关系求得：几何关系求得： ）（12212221cos2AAAAA22112211coscossinsinarctanAAAA 上式表明，合振幅上式表明，合振

33、幅A的大小不仅与分振动的振幅有关，而且的大小不仅与分振动的振幅有关，而且还与它们的相位差还与它们的相位差21有关。下面讨论两种特殊情况有关。下面讨论两种特殊情况 1若相位差若相位差212k（k0，1，2，）则）则 212122212AAAAAAA29 上式表明，当两个分振动同相，即其相位差为上式表明，当两个分振动同相，即其相位差为的偶数倍时的偶数倍时，合振动的振幅为两个分振动的振幅之和，合成结果为两个振，合振动的振幅为两个分振动的振幅之和，合成结果为两个振动相互加强，此时动相互加强，此时合振幅最大合振幅最大。 2若相位差若相位差21（2k1）（k0，1，2，），则），则 212122212AA

34、AAAAA 上式表明，当两个分振动反相，即其相位差为上式表明，当两个分振动反相，即其相位差为的奇数倍时的奇数倍时，合振动的振幅为两个分振动振幅之差的绝对值，合成结果为，合振动的振幅为两个分振动振幅之差的绝对值，合成结果为两个振动相互减弱，此时两个振动相互减弱，此时合振幅最小合振幅最小。若两分振动的振幅相等。若两分振动的振幅相等，则此时合振动振幅为零。，则此时合振动振幅为零。 一般情况下，相位差一般情况下，相位差并不是并不是的整数倍，此时，合振幅就的整数倍，此时，合振幅就介于介于|A1A2|和和A1A2之间。之间。 30 【例例10-5】一质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动一质点同时参与两

35、个同方向、同频率的简谐振动周期都为周期都为4s，振幅分别为，振幅分别为A10.06m，A20.104m，初相分别为，初相分别为1/3，25/6，求合振动的振幅、初相及运动方程。，求合振动的振幅、初相及运动方程。 【解解】根据题意可知两个简谐振动的角频率为：根据题意可知两个简谐振动的角频率为： ）（rad/s2422T则两简谐振动的运动方程分别为：则两简谐振动的运动方程分别为： 32cos06. 01tx652cos104. 02tx31 根据式（根据式（1020）和式（）和式（1021）可得合振动的振幅和初相）可得合振动的振幅和初相分别为：分别为： ）（12212221cos2AAAAA）（）

36、（m12. 0365cos104. 006. 02104. 006. 02222112211coscossinsinarctanAAAA50.06sin0.104sin236arctan530.06cos0.104cos36所以，合振动的运动方程为：所以，合振动的运动方程为： 322cos12. 0tx3210.2.3 两个同方向、不同频率两个同方向、不同频率 简谐振动的合成简谐振动的合成 两个同方向、不同频率简谐振动的合成结果比较复杂，为了两个同方向、不同频率简谐振动的合成结果比较复杂，为了便于理解，设两分振动的振幅和初相相同，则两分振动的运动方便于理解，设两分振动的振幅和初相相同，则两分振

37、动的运动方程为：程为：x1Acos（1t），），x2Acos（2t） 合振动为：合振动为：xx1x2Acos（1t）Acos（2t） 根据三角函数公式，上式可化为：根据三角函数公式，上式可化为： ttAx2cos2cos2212133 由上式可以看出，两个同方向、不同频率简谐振动的合振动由上式可以看出，两个同方向、不同频率简谐振动的合振动虽然仍与分振动的方向相同，但不再是简谐振动。如果两分振动虽然仍与分振动的方向相同，但不再是简谐振动。如果两分振动的频率相近，且有的频率相近，且有|12|（12）时，上式中，）时，上式中， 项随时间快速变化，而项随时间快速变化，而 项随时间缓慢项随时间缓慢变化。

38、因此，可以将此合振动看作是角频率为变化。因此，可以将此合振动看作是角频率为 ，振，振幅为幅为 的简谐振动。这种振幅时大时小作缓慢周期性的简谐振动。这种振幅时大时小作缓慢周期性变化的振动现象称为变化的振动现象称为拍拍。拍的振动曲线如下图所示。拍的振动曲线如下图所示。 t2cos21t2cos2121212tA2cos2213410.3 阻尼振动、受迫振动与共振阻尼振动、受迫振动与共振 10.3.1 阻尼振动阻尼振动 简谐振动系统除回复力外，不受任何阻力影响，振动过程简谐振动系统除回复力外，不受任何阻力影响，振动过程中系统的能量守恒，其振幅也不随时间变化，这种振动称为中系统的能量守恒，其振幅也不随

39、时间变化，这种振动称为无无阻尼振动阻尼振动。然而，实际的振动总要受到阻力的影响，由于需要。然而，实际的振动总要受到阻力的影响，由于需要克服阻力做功，系统的能量会不断损耗，振幅也会随时间逐渐克服阻力做功，系统的能量会不断损耗，振幅也会随时间逐渐减小。我们把这种振幅随时间逐渐减小的振动称为减小。我们把这种振幅随时间逐渐减小的振动称为阻尼振动阻尼振动。 在阻尼振动中，在阻尼振动中，能量损失的原因能量损失的原因通常有以下两种：一种是通常有以下两种：一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力作用，使振动物体的能量转变由于介质对振动物体的摩擦阻力作用，使振动物体的能量转变为热能，称为为热能，称为摩擦阻尼摩擦阻尼；

40、另一种是由于振动物体引起临近质点；另一种是由于振动物体引起临近质点的振动，使系统的能量向四周辐射出去，转变为波动的能量，的振动，使系统的能量向四周辐射出去，转变为波动的能量，称为称为辐射阻尼辐射阻尼。例如，音叉振动时，不仅因为摩擦而消耗能量。例如，音叉振动时，不仅因为摩擦而消耗能量，同时也因辐射声波而损失能量。，同时也因辐射声波而损失能量。 35 在振动研究中，常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来在振动研究中，常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来处理。因此，下面我们在讨论时仅考虑摩擦阻尼。实验证明，处理。因此，下面我们在讨论时仅考虑摩擦阻尼。实验证明，介质对运动物体的阻力与物体的运动速度有关，

41、在物体速度不介质对运动物体的阻力与物体的运动速度有关，在物体速度不太大时，阻力太大时，阻力Fr的大小与速度的大小与速度v的大小成正比，方向与速度的大小成正比，方向与速度v的的方向相反，即方向相反，即 txvFrdd 对对弹簧振子弹簧振子，在弹力，在弹力Fkx和阻力和阻力Fr的作用下，根据牛的作用下，根据牛顿第二定律可得阻尼振动的动力学方程为：顿第二定律可得阻尼振动的动力学方程为： 22ddddtxmtxkx令令02k/m，2/m，则上式可写为：，则上式可写为： 0dd2dd2022xtxtx36 根据阻尼的大小，阻尼振动可分为弱阻尼振动、过阻尼振动根据阻尼的大小，阻尼振动可分为弱阻尼振动、过阻

42、尼振动和临界阻尼振动三类。和临界阻尼振动三类。 阻尼较小，即阻尼较小，即0时，物体的阻尼振动称为弱阻尼振动。时，物体的阻尼振动称为弱阻尼振动。此时，上式的解为：此时，上式的解为： 2200cos）（ teAxt 上式反映了阻尼振动的位移与时间的关系，其振动曲线如下上式反映了阻尼振动的位移与时间的关系，其振动曲线如下图所示，可以将其看作振幅为图所示，可以将其看作振幅为Aet，角频率为，角频率为的振动。的振动。 37 由上式可以看出，阻尼振动的振幅由上式可以看出，阻尼振动的振幅Aet是随时间是随时间t作指数衰作指数衰减的，阻尼越大，振幅衰减得越快。由于物体的运动状态不可能减的，阻尼越大，振幅衰减得

43、越快。由于物体的运动状态不可能在经过一段时间后完全重复出现，因此，严格说，阻尼振动已经在经过一段时间后完全重复出现，因此，严格说，阻尼振动已经不是周期运动。但由于不是周期运动。但由于cos（t）是周期变化的，于是，可以）是周期变化的，于是，可以将将cos（t）的周期称为阻尼振动的周期，即）的周期称为阻尼振动的周期，即 22022T 上式表明，由于阻尼的存在，阻尼振动的周期比无阻尼振动上式表明，由于阻尼的存在，阻尼振动的周期比无阻尼振动的周期长，即振动变慢了。阻尼越大，阻尼振动的周期越长。的周期长，即振动变慢了。阻尼越大，阻尼振动的周期越长。 38 阻力很大，即阻力很大，即0时，在未完成一次振动

44、前，振动系统的时，在未完成一次振动前，振动系统的能量已全部耗尽，此时，振动系统将通过非周期运动的方式回到能量已全部耗尽，此时，振动系统将通过非周期运动的方式回到平衡位置，这种阻尼振动称为过阻尼振动，如下图所示平衡位置，这种阻尼振动称为过阻尼振动，如下图所示b曲线曲线 0时，时，0，这是物体不能作周期运动的临界情况，此，这是物体不能作周期运动的临界情况，此时，阻力使振动物体刚好能不作周期运动，而又能最快地回到平时，阻力使振动物体刚好能不作周期运动，而又能最快地回到平衡位置，这种阻尼振动称为临界阻尼振动，如下图所示衡位置，这种阻尼振动称为临界阻尼振动，如下图所示c曲线曲线 在工程技术中，可根据不同

45、的要求，用不同的方法来控制在工程技术中，可根据不同的要求，用不同的方法来控制阻尼的大小。例如，汽缸中的活塞运动时，可通过加润滑剂来阻尼的大小。例如，汽缸中的活塞运动时，可通过加润滑剂来减小其摩擦阻尼；各种声源和乐器上的空气箱可以加大辐射阻减小其摩擦阻尼；各种声源和乐器上的空气箱可以加大辐射阻尼，使其能辐射足够强的声波等。尼，使其能辐射足够强的声波等。 3910.3.2 受迫振动受迫振动 实际振动系统中，由于摩擦阻尼总是存在的，因此，为了实际振动系统中，由于摩擦阻尼总是存在的，因此，为了获得稳定持续的振动，通常对振动系统施加一周期性外力。系获得稳定持续的振动，通常对振动系统施加一周期性外力。系统

46、在周期性外力的持续作用下所发生的振动称为统在周期性外力的持续作用下所发生的振动称为受迫振动受迫振动，这，这种周期性外力称为种周期性外力称为驱动力驱动力。 为了简单起见，设驱动力为为了简单起见，设驱动力为Fcospt，其中，其中，F为驱动力的为驱动力的幅值，幅值，p为驱动力的角频率。受迫振动系统受弹力为驱动力的角频率。受迫振动系统受弹力F、阻力、阻力Fr和和驱动力驱动力Fcospt的作用，根据牛顿第二定律可得其动力学方程为的作用，根据牛顿第二定律可得其动力学方程为： 22ddcosddtxmtFtxkxp令令02k/m，2/m，fF/m，则上式可写为：，则上式可写为： tfxtxtxpcosdd

47、2dd202240上式的解为：上式的解为： ）（）（tAteAxptcoscos0 上式表明，受迫振动是由阻尼振动和一个简谐振动叠加而成上式表明，受迫振动是由阻尼振动和一个简谐振动叠加而成的。的。 受迫振动开始时，速度不是很大，阻力也较小，振动系统由受迫振动开始时，速度不是很大，阻力也较小，振动系统由驱动力做功而获得的能量大于它抵抗阻力做功而消耗的能量，于驱动力做功而获得的能量大于它抵抗阻力做功而消耗的能量，于是振动能量逐渐增大，振动速度也随之增大。由于阻力一般随速是振动能量逐渐增大，振动速度也随之增大。由于阻力一般随速度的增大而增大，因此，随速度的增大，系统因抵抗阻力而消耗度的增大而增大，因

48、此，随速度的增大，系统因抵抗阻力而消耗的能量也在增加。当系统因抵抗阻力而消耗的能量等于驱动力做的能量也在增加。当系统因抵抗阻力而消耗的能量等于驱动力做功而补充的能量时，受迫振动的能量将趋于稳定，其振幅也将稳功而补充的能量时，受迫振动的能量将趋于稳定，其振幅也将稳定，不再变化。此时，其运动方程为：定，不再变化。此时，其运动方程为： ）（tAxpcos41稳定状态受迫振动的振幅稳定状态受迫振动的振幅A和初相和初相可由下式确定：可由下式确定： 2222204ppfA）（2202tanpp 需要注意的是，稳定状态的受迫振动虽然也是简谐振动，需要注意的是，稳定状态的受迫振动虽然也是简谐振动，但它与无阻尼

49、振动有着本质的区别：受迫振动的角频率不是振但它与无阻尼振动有着本质的区别：受迫振动的角频率不是振动系统的固有频率，而是驱动力的频率；受迫振动的振幅和初动系统的固有频率，而是驱动力的频率；受迫振动的振幅和初相不是决定于振动系统的初始条件，而是决定于振动系统本身相不是决定于振动系统的初始条件，而是决定于振动系统本身的性质、阻尼的大小及驱动力的频率和幅值。的性质、阻尼的大小及驱动力的频率和幅值。 4210.3.3 共振共振 由式（由式（1034）可知，对于一定的振动系统，如果阻尼系）可知，对于一定的振动系统，如果阻尼系数和驱动力的幅值一定，则稳定状态受迫振动的振幅随驱动力数和驱动力的幅值一定，则稳定

50、状态受迫振动的振幅随驱动力的角频率的角频率p变化。如下图所示为不同阻尼时受迫振动的振幅与变化。如下图所示为不同阻尼时受迫振动的振幅与驱动力角频率之间的关系曲线，可以看出，当驱动力的角频率驱动力角频率之间的关系曲线，可以看出，当驱动力的角频率为某一定值时，受迫振动的振幅会达到最大，我们把这种现象为某一定值时，受迫振动的振幅会达到最大，我们把这种现象称为称为共振共振。共振时的角频率称为。共振时的角频率称为共振角频率共振角频率r。 43对式（对式（1034）求极大值，可得共振角频率为：）求极大值，可得共振角频率为： 2202r 上式表明，共振角频率上式表明，共振角频率r是由固有角频率是由固有角频率0