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1、1方差分析法方差分析法2一、单因素试验方差分析的数学模型一、单因素试验方差分析的数学模型（一）数学模型（一）数学模型iijiijiiij_AprAjX(2 1 1)A _设因素 去了 个水平，每个水平重复了次试验。则水平 下次试验结果可以分解为： 式中：水平真值；数据中包含的误差值。试验误差对每一次试验来说式一个不确定的量（数学上称为试验误差对每一次试验来说式一个不确定的量（数学上称为随机变量）。但在多次试验中它式有一定规律的。随机变量）。但在多次试验中它式有一定规律的。3ijijijiijiiii11N()(212)1ipiiapa 2规律表现在：（）正的和负的个数差不多，多个的平均近于零；

2、（2）误差小的比误差大的多；（3）不同试验之间，误差的大小是不相关的，即之间是彼此独立的。用一句话来说，是相互独立的随机变量。遵从正态分布 （ ，）式(2-1-1)中和都是未知的。而真值可表达为：式中 i1,2,.,pi4iiiiiiipiii=1iiaAAXa1,2,.,(2 1 3)Aaa0(2 1 4)a _AijijijipX 称为一般平均。 是 对于 的偏移，为 的水平效应或主效应。所以把 理解为：（一般平均）（ 平均效应）即：（一般平均）（ 平均效应）（误差）显然 之间有关系 表示水平 对试验结果产生的影响。5ipii=1ijXa1,2,.,j1,2,.,r2a03Nijijip2

3、方差分析的数学模型的几条假定（1）（ ）（ ）是相互独立且遵从正态分布 （ ，）由这三条建立的模型叫做线性模型建立数学模型后，统计分析需要解决两个问题（1）参数估计（2）统计检验6l（二）参数估计（二）参数估计i_11_111111a11()(2 1 5)11()(2 1 6)11rrijiijiijjpprrijiijijijprijjixaarrxap rp rrp r i_i_i参数估计即通过子样（样本，一组试验数据）算出统计量，用这些统计量 和a ，它们的估计量用和表示。根据子样平均值的定义xx式中：1(2 1 7)rijj 7_i2 1 8a(2 1 9)(2 1 10)iiiiij

4、ijxxxxaxxall ij是 的一个无偏估计量，记作（ ）的无偏估计是即于是(2-1-3)可以改写为： x式中 反映了误差根据(2-1-10)对试验数据进行分解，通过数据的分解可看出水平效应和误差大小。8l例例21 考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同的温度，同一温度做了三次试验，结果如下的温度，同一温度做了三次试验，结果如下： A A1 A2 A3 A4 A5温度() 60 65 70 75 80得率(%)平均得率90 97 96 84 8492 93 96 83 8688 92 93 88 8290 94 95 85 84表21测

5、定结果_89.6x 总平均9_11_22_33_44_5589.689.69089.60.49489.64.49589.65.48589.64.68489.65.6xxaxxaxxaxxaxxaxx 总平均1111112121131319089.60.409289.60.428889.60.4289.60.4089.60.4289.60.42ijlxalxalxax 111213依(2-1-10)式有：这样就可以分解成三个数之和：xxx10l对其它数据也进行类似分解对其它数据也进行类似分解 ，通过对数据，通过对数据的分解，可以看到分组因素（温度）影响的大的分解，可以看到分组因素（温度）影响的大

6、小和试验误差的大小。小和试验误差的大小。_()()()()()(2 1 11)ijijiijiiiijxalxxxxxxxxxxxx ijijij因：即：移项：上式说明，测量值与总平均的变差，是组平均值与总平均值之变差已经测量值与组平均值之变差的和。11_222()()()(2 1 12)iiijxxxxxx ij方差分析的基本方程式（即方差和的加和性原理）：的加和的加和的加和即总差方和组间差方和组内差方和式中，组内差方和_表征分组因素效应的大小组内差方和_表征试验误差的大小12l（三）统计检验_211_AH()(2 1 13)_/(1)(2 1 14)prijiijxxSe p r i0如果

7、统计假设是对的，即因素 对测量指标没有影响，则效应a 全为零。设为统计假设1、组内变差平方和的平均值：SeSe组内平方和组内差方和的平均值SeSe又称为组内均方13_111_22_111_220_2202()()(2 1 16)_()()(2 1 17)11()(2 1 18)ppriiijiprpiiijiAAxxrxxxxrxxppErr AAAAA、组间变差平方和的平均值SS组间平方和组间差方和的平均值（又称为组间均方）SS是S 的数学期望或者期望方差14_22_22_0HF/(2 1 19)/AA0/1F1HFFFFFF临临显著不显著AaAaFFaaAFFaAa例如当时，若 0.05，

8、就有（1 ）100即95的把握说因素 是显著的。若，则在 水平下不能认为因素 是显著的。通常是当试验精度很差时， 可取得比较大。AAAFFFF表的用法：表上方横行的数字对应的分子的自由度，表左侧竖列的数字对于分母的自由度。横行与竖列的交叉点上的数字，就是的临界值。27_AaAa0.050.05F/2aFF ()3F,A*,A*,A,AAeAeAeAAAASSffffFFFFFF0.010.010.10.10检验的步骤：（1）计算F =（ ）根据自由度 、 及制定的显著性水平 查 表，得、（ ）比较F 与 ，作出判断通常：（1）对a=0.05,F则说明因素 显著，记为（2）对a=0.01,F则说

9、明因素 高度显著，记为（3）F则说明因素 有一定影响，记为（4）F则说明因素无显著性影响28246aAA/303.6/4115.18/50.0/102FP)a0.05a(4,10)3.5(4,10)6.0FFF,AAAeSffFFFFe0.050.01A0.050.01以例21为例，检验其中因素 的显著性（ ）计算F=S（ ）查 表（， 对 及 0.01分别有（3）比较 与说明因素 高度显著。方差分析表如下方差来源 变差平方和 自由度 平方差平方和 F临 FA 显著性A SA=303.6 4 75.9 3.5 15.18 *e Se=50.0 10 5.0 6.0总和2922111112221

10、111111()11()aSbbpprrrijijijjijijppprriijijiijijTAexxPKxprprQKxRxrrSRPSQPSRQ i2（五）小结令KK=则有：当数据比较特殊时，还可以进行如下简化（1）每个数据加(减)同一个数 ，平方和 不变。（2）每个数据乘(除)同一个数 ，相与的平方和增大(缩小)倍。30三、正交试验的方差分析三、正交试验的方差分析l（一）无交互作用情况（以例（一）无交互作用情况（以例11为例）为例） A温度（温度（）1 B时间（时间（Min） 2 C用碱量（用碱量（x%）3 4 转化率（转化率（x%）1 1(80) 1(90Min) 1(5%) 1 3

11、12 1(80) 2(120Min) 2(6%) 2 543 1(80) 3(150Min) 3(7%) 3 384 2(85) 1(90Min) 2(6%) 3 535 2(85) 2(120Min) 3(7%) 1 496 2(85) 3(150Min) 1(5%) 2 427 3(90) 1(90Min) 3(7%) 2 578 3(90) 2(120Min) 1(5%) 3 629 3(90) 3(150Min) 2(6%) 1 64列号试验号31292292132211321321.11911()331()31()3iipAAiiiiBBiiCCiixxxPKKprWxQkkQkQk

12、1总体公式：K=AABBCCTeTABCSQPSQPSQPSWPSSSSS32 A温度（温度（）1 B时间（时间（Min） 2 C用碱量（用碱量（x%）3 4 转化率（转化率（x%）1 1(80) 1(90Min) 1(5%) 1 312 1(80) 2(120Min) 2(6%) 2 543 1(80) 3(150Min) 3(7%) 3 384 2(85) 1(90Min) 2(6%) 3 535 2(85) 2(120Min) 3(7%) 1 496 2(85) 3(150Min) 1(5%) 2 427 3(90) 1(90Min) 3(7%) 2 578 3(90) 2(120Min

13、) 1(5%) 3 629 3(90) 3(150Min) 2(6%) 1 64K1 123 141 135 144K2 144 165 171 153K3 183 144 144 153Qi 23118 22614 22734 22518Si 618 114 234 18列号试验号9124501450922500iiKxP1.总平方和等于各列的平方和总平方和等于各列的平方和33方差来源 变差平方和 自由度 平方差平方和 F临 FA 显著性A SA=618 2 309 34.33 19 *e Se=18 2 9 4 总和 984 8B SB=114 2 57 6.33 99 C SC=234

14、2 117 13.00 9 方差分析表4列平方和刚好等于总平方和： S总=SA+SB+SC+Se342212.pr,.pr .1(2224)1(2225)1(2226)3.piiPKprQKrSQPfp11p12P计算规格化设某一列有 个水平，每个水平有 次试验。K KK 代表个水平的 个数据之和。则：K=KKK该列平方和相应自由度便于分析因素的主次35l（二）有交互作用的正交试验的方差分析（二）有交互作用的正交试验的方差分析l当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择l例22某分析试验，起测定值受A、B、

15、C三种因素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在交互作用，在设计试验方案时，可选用L8(27)表，试验安排结果如表（试验指标要求越小越好）36因素试验号12345678K1K2QiSiA1B1AB3C4BC6误差7试验指标（经简化后）AC511112222-506.253.12511221122+10-1581.2578.125112222110-56.253.12512121212-4035706.25703.1252121212120-25256.25253.1512211221-506.253.125122121125-1031.2528.12505-100-520-151025158

16、3.125KP正交试验结果计算表371221222128221114816.253.1253.1254811071.8758iiiAA CB CeTAA CB CeiiSKKKKSKSSSSSSSSSSSSSSxKBA BCBA BC计算方法如下：同理可得、 、可以证明+该式可以用来检验各列平方和的计算是否有错38方差来源 平方和 自由度 均方 F FA 显著性方差分析表方差分析表BCACAABBC误差总和78.125703.125253.1253.1253.1253.12528.1251071.8751111111778.125703.125253.1258.37525F0.05(1,4)=

17、7.1 F0.01(1,4)=21.23.1253.1253.12528.1259.3751 1 1 1eS 重新计算均方：_78.125/9.375AeSS *39l结果表明B、C、AC对试验结果影响最大，B可取B2，而A和C见存在显著的交互作用，可通过二元表和二元图来确定其最优水平ACA1A2C1-10-20C2 5 30由图可知，A2C1最好,故最佳试验条件为A2B2C1，这正好是第7号试验。事实上，从试验结果看，它的效果也最好。20100-10-20-30-40A1A2指标AC1C240 说明：对二水平因素，平方和的计算有一个简单的公式说明：对二水平因素，平方和的计算有一个简单的公式设

18、计算方法对任何二水平的因素都是适用的，设共做了设计算方法对任何二水平的因素都是适用的，设共做了n次次试验，某一列是二水平，相应的试验，某一列是二水平，相应的K值是值是K1和和K2 则该列的平方和则该列的平方和S为为: 2121()Skkn41例例23某一种抗菌素的发酵培养基由黄豆饼粉、蛋白胨、葡萄某一种抗菌素的发酵培养基由黄豆饼粉、蛋白胨、葡萄糖、碳源糖、碳源1号、无机盐号、无机盐1号等组成。现打算对其中五个成分号等组成。现打算对其中五个成分的最适配比，以及最适装量，按三种水平进行试验，并将其的最适配比，以及最适装量，按三种水平进行试验，并将其两个成分（黄豆饼与蛋白胨）合并为一个因素，这样构成

19、一两个成分（黄豆饼与蛋白胨）合并为一个因素，这样构成一个五因素三水平试验。需考虑的交互作用有个五因素三水平试验。需考虑的交互作用有AB、AC、AE。因素。因素水平表如表水平表如表29所示。所示。因素水平黄豆粉蛋白胨 葡萄糖 KH2PO4 碳源1号 装量E(ml/250m l三角瓶) A（） B（） B(%) D 1 0.5+0.5 4.5 0 0.5 30 2 11 6.5 0.01 1.5 60 3 1.5+1.5 8.5 0.03 2.5 904213275(3 1) 3(3 1)(3 1) 22L (3 ) 表头设计：从要考虑的因素及交互作用知，总自由度有个。故可选用正交表。依第一章讲的

20、表头设计原则，表头设计如下： 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13表头设计 A B AB C AC E AE D试验方案及结果分析见表21043l正交试验中有重复试验的方差分析同单因素有正交试验中有重复试验的方差分析同单因素有重复试验的方差分析方法基本相同。在无重复的重复试验的方差分析方法基本相同。在无重复的试验中，我们把空列的平方和作为误差的平方和，试验中，我们把空列的平方和作为误差的平方和，其中既包括有试验误差，也包含有模型误差。称其中既包括有试验误差，也包含有模型误差。称为第一类误差平方和，记为为第一类误差平方和，记为Se1，在重复试验中，在重复试验中，还有第

21、二类误差平方和，记为还有第二类误差平方和，记为Se2，定义如下：，定义如下：_22112()(2229)(1)ijr(2229)nreijiijeijSxxfn rx其自由度为式中：表示第 个试验号的第 次试验，同一号试验重复 次。式的意义是：表示整个试验组内的变差平方和，真正反应试验误差的大小441122112121(2234)1(2235)(2236)1(2237)1()(2241)(nrijijnrijijniipiixPKnrWxRXrQKqrpq实际计算公式如下：K=个水平，每个水平 个试验号)W RW PS Q P e2T则 实 用 计 算 公 式 为 ：SS45例例24某厂进行硅

22、橡胶工艺参数试验，指标为老化前的抗拉某厂进行硅橡胶工艺参数试验，指标为老化前的抗拉强度，因素水平如表强度，因素水平如表212所示。所示。 因素 水平 A第一阶段硫化温度B第一阶段硫化时间C硫化压力D第二阶段保温温度113020（分）按压强计算表压150保温1小时生至250保温4小时214315（分）以模具闭合为准150 保温1小时升至250 保温6小时46表头设计 (因素)ABABC ADD列号1234567需考虑的交互作用有需考虑的交互作用有AB，AD，每次试验重复四次，每次试验重复四次，表头设计如下：表头设计如下：47表表214 方差分析表方差分析表48结论：方差分析的结果表明，C、D对指

23、标影响不显著，且C不涉及交互作用，依节方便的原则取C1. 而A、B、D的最优水平，通过作二元表及二元图选出。二元表及二元图如下: A BA1A2B1-33.613.9B216.89.05 ADA1A2D1-20.3543.5D23.55-20.149从二元表及二元图知，对从二元表及二元图知，对AB，好的搭配为，好的搭配为A2B2对对AD，好的搭配为，好的搭配为A2D1综合考虑综合考虑A、B、D三因素应取水平搭配为三因素应取水平搭配为A2D1B1C1.故，选出的最优条件为故，选出的最优条件为A2D1B1C150 因为重复试验能大大提高试验的精度，所以在条件许可时，因为重复试验能大大提高试验的精度

24、，所以在条件许可时，应尽可能安排重复试验。应尽可能安排重复试验。例25研究某三因素二水平体系，其取值如表215所示。 试安排试验并从试验结果分析因素A、B、C及其交互作用对试验指标的影响。若有重复试验时，其结果又如何呢？选取L8(27)表安排试验，试验方案及结果计算如表216所示。 因素水平ABC11.5型2.521.0型2.051 因素(列号）实验号A1B2A B3C4AC5BC67实验指标12345678-0.500-0.501.00.50K1K2RS-1.0 0.5 0 0 0.5 -1.0 0.51.5 0 0.5 0.5 0 1.5 02.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2.5

25、0.50.7812 0.0312 0.0312 0.0312 0.0312 0.7812 0.03128010.5iiX78(2 )L 52所以，整个试验的最佳水平组合为所以，整个试验的最佳水平组合为A2B1C1二元表及二元图如下二元表及二元图如下0.500.250-0.25 B1 B2 BC2C1指标53表表217 方差分析表方差分析表54 如果对同一号的试验均重复一次或几次，显然可如果对同一号的试验均重复一次或几次，显然可以提高试验的精确度。本例对所作的以提高试验的精确度。本例对所作的8次试验各重次试验各重复一次，其试验结果及计算如表复一次，其试验结果及计算如表218所示。所示。55表表2

26、18 试验结果及计算试验结果及计算78(2 )LA1B2AB3C4AC5BC67因素(列号)试验号1.3iX 56表表219 方差分析表方差分析表57l当因素超过一个时，要求数据整齐，有时，某当因素超过一个时，要求数据整齐，有时，某些试验不幸做坏了，或者数据丢失，客观条件不些试验不幸做坏了，或者数据丢失，客观条件不允许重复试验。允许重复试验。l一、试验有重复的情况一、试验有重复的情况l试验有重复，并且每一处理至少有一个数据没有丢失，这时试验有重复，并且每一处理至少有一个数据没有丢失，这时丢失或缺落的数据就用同一处理的而没有丢失的数据的平均值代丢失或缺落的数据就用同一处理的而没有丢失的数据的平均

27、值代替。通过这样弥补来的数据不能算在自由度内。替。通过这样弥补来的数据不能算在自由度内。l二、一种处理数据完全脱落的情况二、一种处理数据完全脱落的情况l1.用数据结构模型和参数估计的方法用数据结构模型和参数估计的方法l2.极小化误差法极小化误差法5859832332398813381.8x832388 2 1,111(23.7)2.6999iixabca b ca b cxxxxaAx现在我们假设由于某种原因，第 号试验的数据缺落，下面介绍两个弥补的方法。利用数据结构模型的参数估计的方法第 号试验 数据构造为随机变量。用本章 讲的参数估计法，分别求出参数的估计值水平下试验数据的平均值60888

28、223388883238888813.9)31.332.3311(7.1)2.433 6.032 (5.2)9 3.6Bcxxxxxbxxkcxxxxxkxxabcxxxxxxx （由此得 的估计值为 6+70.8+961表表223 方差分析表方差分析表62l2.极小化误差法极小化误差法 l 这要求估计值能使误差的平方和达到最小值这要求估计值能使误差的平方和达到最小值,这这可通过微分的方法完成。可通过微分的方法完成。l 如例如例1-1的第的第9号试验数据丢失了号试验数据丢失了,为清楚起见为清楚起见,我我们将计算的表格还是列出们将计算的表格还是列出,Se可通过第四列算出可通过第四列算出,我我们先

29、算第四列的们先算第四列的K值。设第九号试验的转化率为值。设第九号试验的转化率为x,由表由表2-24所示所示,636422224ee1(386)91801531533SPxS0eeePxQQxQdQdPdXdXe则取 使达极小。dSdX65 d2 (80)d32 (386)9/d280(386)03 X 63eQxXdPxdxxxxe将代入dS得：2（)-9解得与实际得e64f1F是很接近的。同前例，丢失的数据补上后，仍可按通常的方法进行计算，但误差的自由度原来是2，现在要减去，即 。从上面的例子看到由于误差的自由度减少， 检验的灵敏度降低，对分析问题是不利的，而且补救的数据毕竟不是真实的，只能作为分析问题的参考，丢失的信息难全部补救，所以最好不要丢失数据。