青 岛 科 技 大 学二O一一年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注意事项：1本试卷共7道大题（共7道小题），满分 150 分；2本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；3必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。 一（20分） 证明两个数字矩阵,相似的必要条件是它们有相同的特征多项式和相同的最小多项式.二（20分） 设,为任意三个矩阵,乘积有意义,求证：三（20分）,分别是和矩阵,证明.四（20分）设为元实二次型,如果有两个向量,使证明存在两个线性无关的向量,使五（20分）设是复数域上的维线性空间，A,B是的线性变换，且AB=BA，证明： 如果是A的一个特征值，那么（特征子空间）是B的不变子空间； A,B至少有一个公共的特征向量。六（20分）第1页（共2页）求矩阵的不变因子。七（30分）设是复数域上的维线性空间，而线性变换A在基下的矩阵是一若尔当块。证明： 中包含的A不变子空间只有自身；中任一非零A不变子空间都包含；不能分解成两个非平凡的A不变子空间的直和。第2页（共2页）
