宁波大学2018年硕士研究生招生考试初试试题(A卷) (答案必须写在考点提供的答题纸上)科目代码： 871总分值： 150科目名称：高等代数一、计算题（每小题10分，共60分）1. 设有多项式与.若整除, 求与的值.2. 设，计算阶行列式.3. 设，利用正交相似变换求.4. 设是阶正定矩阵, ，且是非零列向量. 令, 求的最大特征值以及的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基.5 用非退化线性替换将二次型化为标准形，再进一步化为规范形（分实系数、复系数两种情形），并写出所作的非退化线性替换.6. 设三阶方阵，求的初等因子及若当标准形.二、证明题（每小题15分, 共90分）1. 证明： , 当且仅当.2. 设为三次原根，证明：.3. 设向量,，.证明：向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关. 4. 设阶实对称矩阵的秩为,是中元素的代数余子式. 二次型. 设 证明：（1）二次型的矩阵为.（2） 二次型与的规范形相同.5. 设为任意两个阶方阵.证明：和有相同的特征多项式.6. 设是复数域上的维空间的一个线性变换,而在基下的矩阵是一个若当块. 证明：（1）包含的不变子空间就是自身.（2）任一非零不变空间都包含.（3）不能分解成两个非平凡的不变子空间的直和.第 2 页 共 2 页
