随机变量及其分布(浙大第四版)-PPT课件.ppt

1、1关键词：关键词：随机变量随机变量 概率分布函数概率分布函数 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 随机变量的函数随机变量的函数第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 1 随机变量随机变量常见的两类试验结果：常见的两类试验结果：示数的示数的降雨量；降雨量； 候车人数；候车人数； 发生交通事故的次数发生交通事故的次数示性的示性的明天天气（晴，云明天天气（晴，云）；）； 化验结果（阳性，阴性）化验结果（阳性，阴性） 23esxX=X(e)为S上的单值函数，X为实数 中心问题：将试验结果数量化中心问题：将试验结果数量化4常见的两类随机变量常见的两类随机变量离散型的离散

2、型的连续型的连续型的)(:IeXeIX为事件则一般的，若一般的，若I是一个实数集合，是一个实数集合，X I I 记为事件记为事件B56例：掷硬币3次，出现正面的次数记为X.样本点TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHHX的值0 1 1 1 2 2 2 30P X P TTT 1/81P X ,P TTH THT HTT 1P X 01P XP X1/ 2X0 1 2 3p1/8 3/8 3/8 1/88/37 定义：取值至多可数的随机变量为离散离散型的随机变量。型的随机变量。概率分布(分布律)为10,1iiippkp1x2xix1p2pipX2 2 离散型随机变量及其分布

3、离散型随机变量及其分布概率分布概率分布写出所有可能取值写出取每个可能取值相应的概率8例：某人骑自行车从学校到火车站，例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过一路上要经过3 3个独立的交通灯，设各个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为为p，0 0p0,q0)(p+q=1,p0,q0)则称则称X服从参数为服从参数为p的的0-1分布，或两点分布分布，或两点分布.若若X的分布律为：的分布律为：一、一、01分布分布1415记为记为 0 1( )(1, )XpBp或1()(1),0,1.kkP Xkppk它的分布律还可以写为它的分布律还可以写为对于一个随

4、机试验，如果它的样本空间只对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即包含两个元素，即 ，我们总能，我们总能在在S S上定义一个服从上定义一个服从（0 01 1）分布）分布的随机的随机变量。变量。 12 , Se e120,( )1,.eXX ee当e当e来描述这个随机试验的结果。来描述这个随机试验的结果。 1617检查产品的质量是否合格，对新生婴儿检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的及前面多次讨论过的“抛硬币抛硬币”试验都试验都可以用可以用（0 01 1）分布）分布的随机变量来描述的随机变量来描述 。

5、一个随机试验一个随机试验,设设A是一随机事件是一随机事件,且且P(A)=p,(0p1).若仅考虑事件若仅考虑事件A发生与否发生与否, 定义一个服从参数为定义一个服从参数为p的的0-1分布的随机变分布的随机变量量:1,A,0,AA.X若 发生若 不发生(即 发生)来描述这个随机试验的结果。来描述这个随机试验的结果。只有两个只有两个可能结果的试验，称为可能结果的试验，称为Bernoulli试验。试验。 1819二、二项分布二、二项分布即每次试验结果即每次试验结果互不影响互不影响在相同条件下在相同条件下重复进行重复进行n n重贝努利试验：设试验重贝努利试验：设试验E E只有两个可能的只有两个可能的结

6、果：结果： ,p(A)=p,0p1,p(A)=p,0p1,将将E E独立独立地地重重复复进行进行n n次，则称这一串次，则称这一串的的试验为试验为n n重重贝努利试验贝努利试验。A与An独立重复地抛独立重复地抛n n次硬币，每次只有两个可能的次硬币，每次只有两个可能的结果结果: :正面，反面正面，反面，,A A1 2P出现正面 1 6P A n将一颗骰子抛将一颗骰子抛n次，设次，设A=得到得到1点点，则每次，则每次试验只有两个结果：试验只有两个结果：2021,A A 1 2P A 从从5252张牌中张牌中有放回有放回地取地取n n次，设次，设A=A=取到红取到红牌牌 ，则每次只有两个结果：，则

7、每次只有两个结果：22设设A A在在n n重贝努利试验中发生重贝努利试验中发生X X次，则次，则()(1) 01kkn knP XkC ppkn， ， ，()XB np，0 1() 1nnkkn knkpqC p qqp 注：其中并称并称X服从参数为服从参数为p的的二项分布二项分布，记，记3123(0)()(1)P XP A A Ap3123(3)()P XP A A Ap223 21231231233(2)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp113 11231231233(1)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp ()(1),0,1,2,kkn k

8、nP XkC ppkn一般推导：以n=3为例,设Ai i= 第i次A发生 23例：有一大批产品，其验收方案如下：例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验先作第一次检验, ,从中任取从中任取1010件，经检件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于验无次品接受这批产品，次品数大于2 2拒收；否则作第二次检验，从中任取拒收；否则作第二次检验，从中任取5 5件，仅当件，仅当5 5件中无次品便接受这批产品，件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为设产品的次品率为p p求这批产品能被求这批产品能被接受的概率接受的概率. .2425(0)(12Y0)且 P XPX(0)(12)(0)P XPXP

9、Y109285(1)10 (1)45(1) (1)pppppp()P A(0)( (1)(2)(0)P XP XP XP Y解：设解：设A=A=接受该批产品接受该批产品 。 设设X X为第一次抽得为第一次抽得的次品数，的次品数，Y Y为第为第2 2次抽得的次品数次抽得的次品数. .则则X XB(10,p)B(10,p)，Y YB(5,p)B(5,p)，且，且X=iX=i与与Y=jY=j独立。独立。26 例：设随机变量例：设随机变量(100, 0.05),XB(10)(10)P XP X求和101010010000(10)()0.05 0.95kkkkkP XP XkC解：10101001000

10、0(10)()0.05 0.95kkkkkP XP XkC解：ExcelExcel使用表单：在表单的任一单元格输入“”( )F在主菜单中点击“插入” “函数” 在选择类别的下拉式菜单中选择“统计”BINOMDIST 选择“”点击“确定”0.98852759点击“确定”即在单元格中出现。_10,100,_0.05,NumbersTrialsProbabilitysCumulativeTRUE在函数参数表单中输入“”(10)0.016715884P XCumulativeTRUECumulativeFALSE计算，只要将上述步骤中“”改为“”即出现。27泊松分布泊松分布(Poisson(Poiss

11、on分布分布) )() 0,1,2, 0!，keP Xkkk( )X 若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为称称X服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布，记，记2829(4.8) X，求求(1)(1)随机观察随机观察1 1个单位时间，至少有个单位时间，至少有3 3人候车人候车的概率；的概率； (2) (2)随机独立观察随机独立观察5 5个单位时间，恰有个单位时间，恰有4 4个个单位时间至少有单位时间至少有3 3人候车的概率。人候车的概率。例：设某汽车停靠站单位时间内候车人数例：设某汽车停靠站单位时间内候车人数 30 1 (3)1(0)(1)(2)P XP XP XP X 解： 4

12、452 53(5,),(3)0.8580(4)(1)0.7696.YYBppP XP YC pp设 个单位时间内有 个单位时间是“至少有 人候车”，则其中，于是24.84.81(14.8)0.85802!e 10,0.1 , 1, kn kkknnpeC ppnpk二项分布与泊松分布有以下 近似公式：当时其中！3132 !1!()!1kn kn kkknnk n knnC pp事实上，(1).(1)11!nkkkn nn knnkn kek！(1).(1)1 11 1knkn nn knennn 因为当 充分大和适当的 时，(1).(1)1 11 1knkn nn knennn 因为当 充分大

13、和适当的 时，33 例：某地区一个月内每例：某地区一个月内每200200个成年人中有个成年人中有1 1个会患上某种疾病，设各人是否患病相互独个会患上某种疾病，设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有立。若该地区一社区有10001000个成年人，求某个成年人，求某月内该社区至少有月内该社区至少有3 3人患病的概率。人患病的概率。1000 (1000, ),1/200 (3)1(0)(1)(2)0.8760XXBppP XP XP XP X 解：设该社区人中有 个人患病，则其中55255,55(3)10.87530!1!2!eeeP X 利用泊松分布进行近似计算，取1000 (1000, ),1/

14、200 (3)1(0)(1)(2)0.8760XXBppP XP XP XP X 解：设该社区人中有 个人患病，则其中1000 (1000,),1/ 200 (3)1(0)(1)(2)0.8760XXBppP XP XP XP X解：设该社区人中有个人患病，则其中3435ExcelExcel注：泊松分布也可以使用表单：在表单的任一单元格输入“”( )F在主菜单中点击“插入” “函数” 在选择类别的下拉式菜单中选择“统计”POISSON 选择“”点击“确定”2,5,XMeanCumulativeTRUE在函数参数表单中输入“”0.124652019点击“确定”即在单元格中出现。(3)1(2)0.

15、875347981P XP X 称称X X服从服从超几何分布超几何分布11212(),1,., ,max(0,),min( , ).kn kabnNC CP Xkkl llClnbla n其中，超几何分布超几何分布若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为3637例：一袋中有例：一袋中有a a个白球，个白球，b b个红球，个红球，a ab bN,N,从中不放回地取从中不放回地取n n个球，设每次取到各球的个球，设每次取到各球的概率相等，以概率相等，以X X表示取到的白球数，则表示取到的白球数，则X X服从服从超几何分布。超几何分布。 称称X X服从服从参数p的几何分布几何分布1()(1

16、),1,2,3,.,01.kP Xkppkp几何分布几何分布若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为3839 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为产品的次品率为p p，0p10p1，若查到一只次，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到品就得停机检修，设停机时已检测到X X只产只产品，则品，则X X服从参数服从参数p p的的几何分布。几何分布。称称X X服从参数为服从参数为(r,p)(r,p)的的巴斯卡分布巴斯卡分布. .11()(1),1,2,.,01.rrk rkP XkCppkr rrrp其中 为正整数，巴斯卡分布巴斯卡分布

17、若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为4041 例：独立重复地进行试验，每次试验的结果例：独立重复地进行试验，每次试验的结果为成功或失败，每次试验中成功的概率均为为成功或失败，每次试验中成功的概率均为p p，0p1,0p0,q0,q+p=1.p0,q0,q+p=1.pX01qp XF x求 的概率分布函数。4647解：解：0 0( ) 011 1xF xP Xxqxx01q1x F x一般地，设离散型随机变量 的分布律为X，21kpxXPkk的分布函数为由概率的可列可加性得X, 2 , 1,)(kkkxXPpkxxxF其跳跃值为处有跳跃，在分布函数xxkkpxF )(4849 0,

18、1,0.2,13, ( )0.6,34,1,4.XXxxF xxx 例：设随机变量的分布函数如下，求 的分布律。134x)(xF02 . 06 . 0150134x)(xF02 . 06 . 01分布律为，有跳，跳的幅度分别是只在解： 0.4.0.40.24 , 3 , 1)(xFXkp1342 . 04 . 04 . 051例：例：设一物体在设一物体在A,B两点间移动，两点间移动，A,B之间距之间距离离3个单位。该物体落在个单位。该物体落在A,B间任一子区间的间任一子区间的概率与区间长度成正比。设它离概率与区间长度成正比。设它离A点的距离点的距离为为X ，求，求X的分布函数。的分布函数。0,

19、( )()0,xF xP Xx当时(03)1,PX解：根据题意，1(03)31,3PXkk3,( )()1,xF xP Xx当时03,( )()xF xP Xx当时(0)(0).3xP XPXx520,0( )()03313XxxF xP Xxxx的分布函数为3x)(xF01与离散型与离散型随机变量随机变量的分布函数不同的分布函数不同534 4 连续型随机变量及其连续型随机变量及其概率密度概率密度定义定义: :对于随机变量对于随机变量X X的分布函数的分布函数 若存若存在非负的函数在非负的函数 使对于任意实数使对于任意实数 有：有： ( ),f x( )( )xF xf t dt( ),F x

20、, x则称则称X X为连续型随机变量，为连续型随机变量， ( )f xX其中称为 的概率密度函数，简称概率密度。54( )f x 的性质：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx21122112 () ( ) ()0 xxxx xxP xXxf t dtP Xa3) 对于任意的实数 ，( )yf x1面积为1x2x12 P xX x5556 与物理学中的质量线密度的定义相类似与物理学中的质量线密度的定义相类似()( )P xXxxf xx 00()( )()( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx ( )f x 的性质：4) ( ) ( )( )f xx

21、 F xf x在连续点 ，( )f x即在的连续点,( )Xxx xxf xx这表示 落在点附近（的概率近似等于57思考题：思考题：( )1( )0()0ABP AAP BBP ABAB设 ， 为随机事件，若，则 为必然事件吗？若，则 为不可能事件吗？若，则 与 不相容吗？答：都不一定。答：都不一定。 例：设例：设X X的概率密度为的概率密度为 (1)(1)求常数求常数c c的值；的值； (2)(2) 写出写出X X的概率分布函数；的概率分布函数； (3)(3)要使要使 求求k k的值。的值。 01( )2 9 360 cxf xx其他2()3P Xk，5859解：解： 1( )f t dt1

22、 ( )( )2xF xP Xxf t dt23c160329cdtdt13c010103 0 01 0131 13312 3639 1 6xxxdtxdtxdtdtxx0 03 011 3 13(23) /9 361 6xxxxxxx60 2 ()( )4.53P XkF kk3 使几个重要的连续量几个重要的连续量均匀分布定义：X具有概率密度1 ( , )( )0 xa bf xba其他称X在区间(a,b)上服从均匀分布均匀分布，记为XU(a,b) fx0bxa1ba6162 1()c lcacclblP cXcldtcbaba 设 -与 无关0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxbFx

23、0bxa1例：（例：（1 1）在区间）在区间(-1,2)(-1,2)上随机取一数上随机取一数X X，试写，试写出出X X的概率密度。并求的概率密度。并求 的值；的值；（2 2）若在该区间上随机取）若在该区间上随机取1010个数，求个数，求1010个数个数中恰有两个数大于中恰有两个数大于0 0的概率。的概率。(0)P X 63641, 12( )30, xf x 其他2(0),3P X 2(10, )3YB2821021(2)33P YC 解：（解：（1 1） X X为在区间为在区间(-1,2)(-1,2)上均匀分布上均匀分布（2）设）设10个数中有个数中有Y个数大于个数大于0，则：则：例：例：

24、杭州某长途汽车站每天从早上杭州某长途汽车站每天从早上6点（第一班点（第一班车）开始，每隔车）开始，每隔30分钟有一班车开往上海。王分钟有一班车开往上海。王先生在早上先生在早上6:20过过X分钟到达车站，设分钟到达车站，设X服从服从（0，50）上的均匀分布，）上的均匀分布，（1）求王先生候车时间不超过）求王先生候车时间不超过15分钟的概率；分钟的概率；（2）如果王先生一月中有两次按此方式独立地）如果王先生一月中有两次按此方式独立地去候车，求他一次候车不超过去候车，求他一次候车不超过15分钟，另一次分钟，另一次候车大于候车大于10分钟的概率。分钟的概率。65666:20 6:30 6:45 7:0

25、0 7:10解解： （1）P(候车时间不超过候车时间不超过15钟钟)=25/50=0.5(2) P(候车时间大于候车时间大于10分钟分钟)=30/50=3/56:30 6:50P(一次候车时间不超过一次候车时间不超过15分钟，另一次大于分钟，另一次大于10分钟分钟)15,10()10,15(2121XXXXP121212(15,10)(10,15)(1015,1015)P XXP XXPXX0.5 3/53/5 0.50.1 0.10.59指数分布指数分布 其中其中0为常数，则称为常数，则称X X服从参数为服从参数为的的指数指数分布分布。记为。记为 0( )0 0 xexf xx( )( )X

26、ExpXE或定义：设定义：设X的概率密度为的概率密度为67681 0( )0 0 xexF xx 0000,0,(|)ttP Xtt Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P XtX X具有如下的具有如下的无记忆性无记忆性：0000,0,(|)ttP XttXt 例例：某某大大型型设设备备在在任任何何长长度度为为t t的的区区间间内内 发发生生故故障障的的次次数数N tN t 服服从从参参数数为为t t 的的PoissonPoisson分分布布，记记设设备备无无故故障障运运行行的的时时间间为为T.T. 1 1 求求T T的的概概率率分分布布函函数数； 2 2

27、已已知知设设备备无无故故障障运运行行1010个个小小时时， 求求再再无无故故障障运运行行8 8个个小小时时的的概概率率。6970 / !, 0,1,2,ktP N tketkk解： 1 00当时，TtFt 1TFtP TtP Tt 0101当时， tTtFtP N te 8182 18|10810P TP TTeP TP T71正态分布定义：设定义：设X X的概率密度为的概率密度为22()21( ) 2xf xex ， 其中其中 为常数，称为常数，称X X服从服从参数为参数为 的正态分布的正态分布(GaussGauss分布分布)，记为记为2(,)XN ,0 , 可以验证：可以验证：( )1f

28、x dx+ ( )f x dx2212xttedt令2212tedt727322()22xyIedxdy22200rdredr2I( )1f x dx22 tIedt记max1 ( )12 ( )23 ( )0关于对称xf xxfflimf x22()221( ) 2( ,):， xf xexXN74正态概率密度函数正态概率密度函数 22()21( ) 2xf xex，75,( ),;f xx当固定改变的大小时图形的形状不变 只是沿着轴作平移变换76,( ),.f x当固定改变的大小时图形的对称轴不变 而形状在改变越小图形越高越瘦越大图形越矮越胖77称称为位置参数为位置参数( (决定对称轴位置

29、决定对称轴位置) ) 为尺度参数为尺度参数( (决定曲线分散性决定曲线分散性) )2( ,)XN 0 fx1x5578nX X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。的取值呈中间多，两头少，对称的特性。n当固定当固定时，时，越大，曲线的峰越低，落越大，曲线的峰越低，落在在附近的概率越小，取值就越分散，即附近的概率越小，取值就越分散，即是反映是反映X X的取值分散性的一个指标。的取值分散性的一个指标。 n在自然现象和社会现象中，大量随机变量在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。服从或近似服从正态分布。79正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算texFxtd21)(222)(

30、xXP ? 80 (0 1) 若， ，称 服从标准正态分布ZNZ 221 2xZxe的概率密度：221 ( )2txZxedt的分布函数： 1xx ()x ( )yxx0y( )xx812 ( , ) X N当时()()bP Xb ()P Xb （作变换：）xt22()212xbedx2212btedt2X( ,),(0,1)事实上，当有 NXN2 ( ,) XN 当时82 例：2( ,)XN ()()()() () (1)( 1)2 (1) 10.6826 P XPXXP(2 )2 (2) 10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 99.74%3268.26%2395.

31、44%83例：用天平称一实际重量为例：用天平称一实际重量为 的物体，天平的的物体，天平的读数为随机变量读数为随机变量 ，设，设 时，时，（1 1）求读数与）求读数与 的误差小于的误差小于0.0050.005的概率；的概率；（2 2）求读数至少比）求读数至少比 多多0.00850.0085的概率。的概率。2( , 0.01 )XN aXaaa8485 (0.005)P Xa解：(1)2 0.6915 10.3830 查附表=0.0050.005()()0.010.01 2 (0.5) 1 (0.0085)1(0.85)1 0.80230.1977.P Xa (2) (0.0085)1(0.85)

32、1 0.80230.1977.P Xa (2)86(0.0085)P XaExcelExcel注：计算使用表单：在表单的任一单元格输入“”( )F在主菜单中点击“插入” “函数”在选择类别的下拉式菜单中选择“统计”NORMDIST 选择“”点击“确定”0.0085,0,_0.01,XMeanStandarddevCumulativeTRUE在函数参数表单中输入“”0.802337508点击“确定”即在单元格中出现。例：一批钢材例：一批钢材( (线材线材) )长度长度(1)(1)若若=100=100，=2=2，求这批钢材长度小于，求这批钢材长度小于97.8cm97.8cm的概率；的概率；(2)(

33、2)若若=100=100，要使这批钢材的长度至少，要使这批钢材的长度至少 有有90%90%落在区间落在区间(97,103)(97,103)内，问内，问至多取何值？至多取何值？2() ( ,)X cmN 8788 (97.8)P X 解：(1)10097.8 100()22XP1(1.1) 1 0.86430.1357查附表= 9710390%(2) 需：PX103 10097 1003 ()()2 () 190% 即3()0.95 31.6451.823797.8 100()2 例：设一天中经过一高速公路某一入口的重型例：设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆数车辆数X近似服从近似服从 ，已

34、知有，已知有25的天的天数超过数超过400辆，有辆，有33的天数不到的天数不到350辆，求辆，求2( ,)N ,. 8990 (400)0.25,(350)0.33P XP X解：已知400400 (400)1()(),( 0.675)0.25,P X 而350(350)(),( 0.440)0.33,P X 4000.675369.735044.80.440 于是91 例：例：一银行服务需要等待，设等待时间一银行服务需要等待，设等待时间X（分（分钟）的概率密度为钟）的概率密度为101,0( )100,0 xexf xx某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，于是先某人进了银行，且打算过会儿去

35、办另一件事，于是先等待，如果超过等待，如果超过15分钟还没有等到服务就离开，设他分钟还没有等到服务就离开，设他实际的等待时间为实际的等待时间为Y，(1)求求Y的分布函数的分布函数;(2)问问Y是离是离散型随机变量吗？连续型随机变量吗？散型随机变量吗？连续型随机变量吗？100,0( )()1,0151,15yyF yP Yyeyy解：(1)1.50,15150YP YeY(2) 的取值范围为，故不是离散量；又，因此 也不是连续量。925 5 随机变量函数随机变量函数的的分布分布2(,)XN ，例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？问题：已

36、知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。93Xpi i0.2-1010.5 0.3例：已知例：已知X X具有概率分布具有概率分布 且设且设Y=XY=X2 2，求，求Y Y的概率分布。的概率分布。9495(0)P Y (0)0.5P X(1)P Y (1)(1)PXX (1)(1)0.5P XP X 即找出即找出(Y=0)(Y=0)的等价事件的等价事件(X=0)(X=0)；(Y=1)(Y=1)的等价事件的等价事件(X=1)(X=1)与与(X=-1)(X=-1)的和事件的和事件解：Y的所有可能取值为0,1例：设随机变量例：设随机变量X X具有概率密度具有概率密度, 04( )

37、80, Xxxfx其他求求 的概率密度的概率密度。2Y = X96972( )YFyP YyPXy 0( )0;YyFy当时， 16 ( )1YyFy当时，( ) ( )XYFxFy，解：分记X,Y的分布函数为98 016 y当时,( )0YFyPXy0816ytydt1, 016( )160, Yyfy其他Y Y在区间在区间(0,16)(0,16)上均匀分布。上均匀分布。 一般，若已知一般，若已知X X的概率分布，的概率分布，Y=g(X)Y=g(X)，求，求Y Y的的概率分布的过程为：概率分布的过程为：12 ,(),()();jjiYYy yyYyXDP YyP XD1. 若 为离散量，则先

38、写出 的可能取值：再找出的等价 事件得2. ( )() (), ( )()( )YYYYYFyP YyYyXDFyP XDYfy若 为连续量，则先写出 的概率分布函数：，找出的等价事件得；再求出 的概率密度函数；关键是找出等价事件关键是找出等价事件。99例：设例：设 Y=2X,Z=XY=2X,Z=X2 2, ,求求Y,ZY,Z的概率分布。的概率分布。13X-110131310010123Z01p1313Y-220p1313解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：X X2 2Y YZ Z设设随随机机

39、变变量量X X具具有有概概率率密密度度为为f f( (x x) ), ,- - x x + +, ,分分别别求求Y Y= = X X , ,Z Z= =X X 的的概概率率密密度度f f( (y y) ), ,f f( (z z) )。例：例：102103, ,( ),( ),( ).XYZX Y ZFx F y F z解：分别记的分布函数为0,( ) 0.0,( )( )().YYXXyF yyF yPYyP XyF yFy当时当时( )(),0( )10,0XXYfyfyyf yy（）0 , ( ) 0.0 ,ZzF zz同 理 ， 当时当时1()(),0( )220,0.XXZfzfzz

40、fzzz（）()()XXPzXzFzFz2( )ZF zPZ zPXz 104例如：例如：XU(-1, 2)，求，求( ).YYXfy的概率密度1051061/3,12( )0,XxXfx 解： 的概率密度为其它1( )(),0( )0,0XXYYXfyfyyfyy由（）得的概率密度为112,01,01333110, 12, 12330,0,yyyy其它其它107例如：例如：XN(0, 1)，求，求2( ).ZZXfz的概率密度221( ),2xXXfxex 解： 的概率密度为21Z此时称 服从自由度为 的 分布。22ZX由（）得的概率密度为1221,020,0.zz ezz1()(),0(

41、)20,0.XXZfzfzzfzzz108(), ()( )0() ()( )( )ggg xggh yxyg x其中， 当时，( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY 设，或。， 则 具有概定理：率密度为：( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他的反函数是的取值范围，是这里g),(hYxh(y),yy0y=g(x)y109110( )0,g x 证明：不妨设( )0h y 且： g x则为单调增函数, ( )0 ( )1YYyF yyF y显然，当时，；当时，； y当时，( )()YFyP Yy( ()P g Xy( )P Xh y( ( )

42、XFh y ( )0 ( ) 1YYyF yyF y显然，当时，；当时，；( )( ( ) ( )( ( )( )YXXfyfh y h yfh yh y( )0 g x 同理可证：当时，定理为真111例例：2( ,) (0) ( ).YXNYaXb aYfy 设， 求 的概率密度2( ,) (0) ( ).YXNYaXb aYfy 设， 求 的概率密度( )yg xaxb ， ( )0g xa ，( )ybxh ya1( )()YXybfyfaa222()212yabaea解：解：22()11exp22ybaa22(,)YN ab a112113222( ,) (,)XNYaXbYN ab

43、a 一般若，222 ( ,) (,)XNYaX bYN ab a 一般若，例(/2, /2)X设随机变量 在内服从均匀分布sin ,YXY试求随机变量 的概率密度。114115解：sin( ) sin(/2, /2)YXyg xx对应的函数在( ) cos0,g xx上恒有且有反函数2( )arcsin , ( )1/ 1xh yy h yy( )Xf x 1,220 ,x其它X的 概 率 密 度 为116sinYX由定理得的概率密度为( )Yf y 211,1110 ,yy其它117:sin ,(0, )( ).VVUfv 例服从，求sin001,( )()sin)VVvF vP VvPv解

44、：在（ ， ）不单调，所以不能应用定理。对2arcsinvvsinvarcsinvarcsin11822, 0 1,1( ) 0, Vvvfv其他.V所以 的概率密度为：119 1 2,0,1XF xXF xYF XYU例：设 服从参数为 的指数分布，为 的分布函数。求；设试证即均匀分布 。 ,01 0 , 0 xexXf xx解：由前知, 1,0 0 ,0 xexF xx ).1 , 0(, 0的取值范围为YX)1ln(1)(),1 , 0()(, 0)2(1yyFxyxFyx此时的取值范围为严格单调递增，当120121 0, 0 , 01 , 0,1 .1, 1YyFyyyYUy即 011XYyFyPey当时，)()()(yXFPyYPyFY)(1yFXP)(1yFFy作业习题：第二章作业习题：第二章4 4，7 7，9 9，1212作业习题：第二章作业习题：第二章1919，2222，2424，2 28 8，3333课件待续!123