数学分析之重积分的应用-ppt课件.ppt

1、4 4 1ppt课件第四节第四节( (一一) )、立体体积立体体积 （二）、曲面的面积（二）、曲面的面积 （二）、物体的质心（二）、物体的质心（三）、物体的转动惯量（三）、物体的转动惯量 重积分的应用 第九章 一、几何方面的应用一、几何方面的应用 （一）、物体的质量（一）、物体的质量 二、物理方面的应用二、物理方面的应用 （四）、物体的引力（四）、物体的引力2ppt课件1. 能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从重积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、

2、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 3ppt课件(一)、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd一、几何方面的应用一、几何方面的应用 4ppt课件Dxy:a22raz 柱面坐标柱面坐标r =a cos 22raz cosar 。所围立体是曲顶柱体所围立体是曲顶柱体Dxy0y x(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyx先选系先选系例.上顶：上顶：下底：下底：5ppt课件D

3、xy:。a22raz r =a cos 0y x 2033d)sin1(34 a a)943(2 3 dd420cos 022 arrra cosar 。所围立体是曲顶柱体所围立体是曲顶柱体 V(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyx：上上顶顶：下底下底22raz D用用瓦里斯公式瓦里斯公式怎么计算？怎么计算？柱面坐标柱面坐标先选系先选系 dd rrraD.例例. .6ppt课件(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyx

4、2222azyx zxyo.例例. .7ppt课件(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyxa 2222azyx 22axyx .例例. .xyoz8ppt课件(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyxz = 0axyzo 柱柱坐坐标标。V 2033d)sin1(34 a a)943(2 3 rrraDdd 422 22raz 。 cosar 。 dd420cos 022 arrra。D 1.例例. .9ppt课件2222)

5、( RRzyx Rr=2R cos .rrVRdsinddcos202 020 . )(R43cos13 4 MRrVcos20: 20 0rz 0 xy M = 4.求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积10ppt课件引理引理 1 2 A , 的的夹夹角角为为与与平平面面 Acos .一般情况，将一般情况，将A分割成分割成若干个上述类型的小矩形，若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，对每一个用引理，然后迭加然后迭加再取极限即可。再取极限即可。当当A是矩形是矩形,l证证且一边与且一边与l平行平行则则 也也是矩形是矩形, 且且b|cos|ab 引理成立引理成立.a ：这里：这

6、里 即即 两平面法矢量的夹角两平面法矢量的夹角 证毕证毕(二) 曲面的面积|cos|A , 21A 上上的的投投影影为为在在上上的的区区域域则则面面积积11ppt课件( (二二) )曲面的面积曲面的面积xz y0z = f (x,y)Di iS (xi , yi)Pi.设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成.12ppt课件( (二二) )曲面的面积曲面的面积xz y0 DyxyxyxfyxfSdd),(),(iiiA cos1z = f (x,y)Di iiAS iniiiyiixyxfyxf ),(),(

7、122.iS (xi , yi) i Ai（由引理）（由引理） 1),(),( iiyiixiyxfyxfnPi.13ppt课件若光滑曲面方程为yxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyDDyxyxfzS),( , ),(:则有14ppt课件xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd15ppt课件例. 所割下部分的曲面面积所割

8、下部分的曲面面积 被圆柱面被圆柱面锥面锥面 xyxyxz xyzo116ppt课件 所割下部分的曲面面积所割下部分的曲面面积 被圆柱面被圆柱面锥面锥面 xyxyxz 1xyzo1.例例.17ppt课件xyzo11D 02 :22zxyxDS DyxQPSdd22 yxxxzP 其中其中22yxyyzQ DyxSdd 2 . 所割下部分的曲面面积所割下部分的曲面面积 被圆柱面被圆柱面锥面锥面 xyxyxz 例例.18ppt课件例.a立立体体的的整整个个表表面面积积所所围围成成与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz yxzo19ppt课件例例. .xyzoDS =

9、1S2S 共同的共同的 D : azyxyxaz2322222a2 zayx 即即2S2S2S1S.1S.立立体体的的整整个个表表面面积积所所围围成成与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz 20ppt课件(一)、物体的质量 平面薄板平面薄板，面密度为),(yxf则其质量为DyxyxfMdd),(,),(Dyx空间物体，体密度为 zyxzyxfMddd),(分布区域),(zyxf则其质量为分布区域 ，二、物理应用二、物理应用21ppt课件 设设xoy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量

10、分别处，质量分别为为nmmm,21则该质点系的则该质点系的重心重心的坐标为的坐标为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11(二二)、物体的重心、物体的重心1、平面薄片的重心22ppt课件若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩23ppt课件设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, )

11、,2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 2、空间物体的重心24ppt课件将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点25ppt课件同理可

12、得同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd26ppt课件 0 x Dysyd1rrddsin41 0sin4sin22 37 )37 0( , 故重心为故重心为 )(yx， 设设重重心心为为.xoy12例. 求位于圆 r = 2sin 和圆 r = 4sin 之间的均匀薄片的重心 27ppt课件 z = 0的重心的重心求均匀半球体求均匀半球体 0 , : zazyxyxzo yx 则则,zyx)，（设设重重心

13、心为为 zyxzVz ddd球面坐标球面坐标a332a V z .a83 . )83, 0 , 0a( ( 故重心为故重心为.用哪种坐标？用哪种坐标？r = a例. arrrV 022020dsincosdd1.28ppt课件 z = 0的重心的重心 所围立体所围立体与平面与平面求由抛物面求由抛物面 0 1 zyxzyxzo yx 则则,zyx)( ，设设重重心心为为柱面坐标柱面坐标21rz .1 dddzrr V 21 02 01 0ddd2rzzrr.31 . )31 0 0 ( , 故重心为故重心为. ddd2zyxzz 2102010dddrzrr2 . . . .用哪种坐标？用哪种坐

14、标？例. zyxzVz ddd.129ppt课件 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12， niiiyxmI12.1、平面薄片的转动惯量（三）、物体的转动惯量（三）、物体的转动惯量因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 30ppt课件如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片, 面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxI

15、dd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 31ppt课件设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 2、空间物体的转动惯量32ppt课件类似可得类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量

16、33ppt课件rraddsin0302例7.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直的均匀半圆薄片对其直径径解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212oxyDaa的转动惯量.34ppt课件)sinsincossin(222222rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例8.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动

17、惯量的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 35ppt课件222zyxr G 为引力常数为引力常数(四)、物体的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,，连续),(zyx物体对位于物体对位于，利用元素法，利用元素法,d),(d3vrxzyxGFx,d),(d3vryzyxGFy.d),(d3vrzzyxGFz在在 上上积分即得各引力分量积分即得各引力分量:其密度函数其密度函数rzxvdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyxFFFF ),(d),(ddd20rzryrxrvzyxGFFF原点的单位质量质点的引力原点的单位质量质点的引力36ppt课件

18、vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx 37ppt课件aaR1122xyzoR例6. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解: 由对称性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGRraaG02122)(2处的单位质量质点的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrraG238ppt课件Rx

19、yzo例7*. 求半径求半径 R 的均匀球的均匀球2222Rzyx对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222zRazrrr)(dd点zDazyxyx23222)(dd0MazDRRzazaRzaazd)(22211G2222122aazRazaRGRRd)(2334aGR39ppt课件补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算一、利用区域对称性、函数奇偶性一、利用区域对称性、函数奇偶性、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于

20、坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的奇偶性奇偶性40ppt课件解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz41ppt课件二、利用变量对称性二、利用变量对称性. 42ppt课件解解122212(357)Ixyzdxdydz2221( , , )|1x y zxyz 111222=x dxdydzy dxdydzz dxdydz又122213()xyzdxdydz43ppt课件所以所以122212(357)Ixyzdxdydz122252()xyzdxdydz205d20sind 40dRrr52 R44ppt课件.45ppt课件