本科概率论及数理统计课件第六章新.pptx

1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第六章第六章样本及抽样分布二二 、统计量、统计量一一 、总体与样本、总体与样本 三三 、几个常用的分布、几个常用的分布 四四 、正态总体统计量的分布、正态总体统计量的分布 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY一一 、总体、总体研究对象的某项数量指标值的全体称为总体。总体中每个研究对象(元素)称为个体。研究某批灯泡的质量总体总体考察国产轿车的质量总体总体例如：测试矿大全体男生的身高；第一节第一节 总体与样本总体与样本CHINA UNIVERSITY OF MINING

2、AND TECHNOLOGY总体有限总体：一个厂某个月生产灯泡的个数的全体无限总体：一个厂生产灯泡的个数的全体 总体可以用一个随机变量总体可以用一个随机变量 X 及其分布来描述。及其分布来描述。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二二 、样本、样本样本：样本：在总体中抽取若干个有代表性的个体。12(,)nXXX样本容量：样本容量：样本中所含个体的数目n 。 代表性：代表性：样本的每个分量iX与总体X 有相同的分布函数； 独立性：独立性：12,nXXX为相互独立的随机变量，满足以上条件的样本12(,)nXXX称为来自总体X 的容量为n 的一个简单随机

3、样本（简称样本）简单随机样本（简称样本）。样本的一次具体实现12( ,)nx xx称为样本值样本值。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY定义定义1 设设 ),(21nXXXgnXXX,21是来自总体X 的一个样本，为一连续函数，其不包含任何未知参数，则称),(21nXXXg为一个统计量统计量。),(21nxxxg为的观测值观测值。注：注：是随机变量的函数仍为随机变量。),(21nxxxg便是一个数。),(21nXXXg),(21nXXXg第二节第二节 统计量统计量CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例如

4、例如 总体2( ,),XN nXXX,21是一个样本，期望已知而方差未知，则1212,nkkXXX均为统计量，2211nkkX不是统计量。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY几种常用的统计量几种常用的统计量1 1、样本均值、样本均值2 2、样本方差、样本方差nkkXnX11nkkXXnS122)(11设nXXX,21是来自总体X 的一个样本，它反映了总体X 取值的平均值的信息， 常用来估计EX.nkkXnXn122)(112211()1niiSSXXn3、样本标准差、样本标准差CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHN

5、OLOGY4、样本、样本k 阶原点矩阶原点矩5、样本、样本k 阶中心矩阶中心矩., 2 , 111nkXnAnikik, 2 , 1)(11kXXnBnikik它反映了总体k 阶矩的信息。可见212,1nXASBn注：统计量的分布称为注：统计量的分布称为抽样分布抽样分布。结论：结论：12,nXXX2()_,()_,()_,E XD XE S有n22为来自总体X的样本CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY证明证明 因为样本12,nXXX相互独立且与总体X 服从相同的分布。则12,kkknXXX也相互独立，且与kX服从相同的分布。由辛钦定理11nPkik

6、iXn 即.PkkA 12()()()kkknkE XE XE X即E(Ak)= E(Xk)()pkkAE X 例例：设12nXXX， ，是来自总体X的一个样本，总体的k阶矩 (k=1,2,l)存在，证明：()kkE XCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY几种常用的分布 第六章 第三节第三节二二 、t 分布分布一一 、 分布分布 2三三 、F 分布分布一般情况来说要得到某一统计量的分布是困难的，一般情况来说要得到某一统计量的分布是困难的，而在正态总体的条件下一些统计量的分布能较方便地而在正态总体的条件下一些统计量的分布能较方便地被确定。被确定。下面

7、我们介绍最常用的三类随机变量：下面我们介绍最常用的三类随机变量：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY)(22n记为nXXX,21222212nXXX21. 定义设相互独立, 都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量：所服从的分布为自由度为 n 的分布.(一一)第三节第三节 几种常用的分布几种常用的分布2分布分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2221212()nn有22221122(),(),nn且 相互独立，(1) 可加性可加性2 . 性质性质 则22( ),n(2) 证明222212nXXX(

8、0,1)iXN，则2422()()()3 12iiiD XE XEX 所以22()()iEnE Xn22()()()1iiiE XD XEX22()()2iDnD Xn2()En2()2DnCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2 2 分布的分位点分布的分位点10,称满足条件定义：对于给定的正数 _2P的点 为 的上 分位点。2)(2n)(2n)(2n20.1(25)34.38252, 1 . 0n例：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY记为 Tt (n)。nYXT 所服从的分布为自由度为 n 的 t

9、分布.1. 定义定义: 设XN(0,1) ,)(2nY则称变量, 且X与Y相互独立，（二）（二）t 分布分布T 的密度函数为：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxfCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYt 分布的密度函数关于x = 0 对称当 n 充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY t 分布的分位点分布的分位点10,称满足条件定义：对于给定的正数 _tP的点 为 分布的上 分位点。t)(nt)(nt性质：性质：)()(1ntnt标准正态分

10、布的分位点 _zP的点 为标准正态分布的上 分位点。zz1zz 例、10,05. 0n8125. 1)10(05. 0t10,95. 0n.8125. 1)10(59 . 0tCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY),(),(2212nYnX21nYnXF 1.定义: 设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为（三）（三）F 分布分布112211( ,)(,)Fn nF n nn1及 n2 的F分布，记作F F ( n1,n2)。(1) 由定义可见，121nXnYF F(n2,n1)2. 性质(2) F 分布的分位点 _FP),(21nnFCHINA

11、UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY112211( ,)(,)Fn nF n n证明证明: 设设12( ,)FF n n1121( ,)P FFn n由定义由定义11211( ,)PFFn n112111( ,)PFFn n CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY11211( ,)PFFn n又因为又因为211/(,)FF n n211(,)PF n nF所以故故211121(,)( ,)F n nFn nCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1、.),(2的分布求设t

12、ntt例例2、的分布：的样本，求下列统计量来自) 1 , 0(,51NXX ;)(31)(21) 1 (2543221XXXXXU;)2(242321XXXXV.32)3(2524232221XXXXXW), 1 (nF)2(2)2( t)2 , 3( FCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY正态总体统计量的分布 第六章 第四节第四节一一 、单个正态总体的统计量的分布、单个正态总体的统计量的分布二二 、两个正态总体的统计量的分布、两个正态总体的统计量的分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY一一 、单个正

13、态总体的统计量的分布、单个正态总体的统计量的分布 定理定理 122211() ( )niiXn设 X1, X2 , , Xn 是取自正态总体),(2 N的样本，2XS和分别为样本均值和样本方差，222(1)(1)nSn2XS与相互独立CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY定理定理2 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布212( ,),nNXXX 是 X 的样本，2XS和分别为样本均值和样本方差，则有(0,1)/XNn (1)/Xt nSn22/(1)/1XnnSn/XSnCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOL

14、OGY二、两个正态总体的统计量的分布二、两个正态总体的统计量的分布 定理定理 3 设 X1, X2 , , Xn1 与Y1, Y2 , , Yn2分别是来自正态总体221122(,),(,)NN 的样本，并且这两个样本相互独立，记1111niiXXn2121niiYYn1221111()1nkkSXXn2222121()1nkkSYYn则有2211122222/(1,1)/SF nnSCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1212()(0,1)11XYNnn 当2221222211221222(1)(1)(2)nSnSnn时121212() (2)1

15、1XYt nnSnn22112212(1)(1)2nSnSSnn其中CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY总体总体样样本本统计量统计量描述描述作出推断作出推断随机抽样随机抽样CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布(80,400)N，其样本为12100,|80| 3.XXXPX 求解解 由已知得(80,4)XN，得80(0,1)2XN3803|80| 31222XPXP 所以322 ( )2 220.93320.1336CHINA UNIVERSITY OF M

16、INING AND TECHNOLOGY例例2 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布2( ,)N ，其样本为1217,0.95.XXXkP XkS求使得解解 由已知得 (16)/ 17XtS17 0.95/ 17XP XkSPkS0.9517(16)kt1 0.95(16)1.7459t 查表CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布2( ,)N ，其样本为1121,.1nnnnnXXnXXXXYSn求的分布解解 由已知得221111,()1nnnininiiXXSXXnn其中2211( ,) ,( ,

17、),nnXNXNn 所以211(0,)nnnXXNn标准化得1(0,1)1nnXXnNnCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY又因为222(1)(1)nnSn故1221 (1)(1)/(1)nnnXXnnYt nnSn1 (1)1nnnXXnYt nSnCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例4 设总体设总体X , Y 相互独立相互独立22(0,3 ),(0,3 ),XNYN其样本为129129,XXXY YY和试求统计量129222129()XXXYYY服从什么分布？解解 由已知得129(0,81)XXXN129(0,1)9XXXUN2222129(9)9YYYV所以129222129() (9)/9UXXXtVYYYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3 设总体设总体X , Y 相互独立相互独立(20,3),(20,3),XNYN其样本为12101215,XXXY YY和试求以下概率| 0.3.PXY解解 由已知得10113(20,)1010iiXXN15113(20,)1515iiYYN则(0,1/2)XYN所以(0,1)1/2XYN| 0.322 (0.3 2)0.6774PXY