精选固体物理课件-第五章资料.ppt

1、本章是从量子角度讨论晶体的比热晶体的比热实验规律实验规律下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。 (1) (1)在高温时在高温时，晶体的比热为，晶体的比热为3NkB ( (N为晶体中原子的个为晶体中原子的个数数, , k kB B= =1.38 10-23J K- -1为玻尔兹曼常量为玻尔兹曼常量) ) ； (2) (2)在低温时在低温时，晶体的比热按，晶体的比热按T3趋于零。趋于零。晶体的定容比热定义为：晶体的定容比热定义为：晶体比热的一般理论VVTEC E-晶体的平均内能晶体的平均内能eaVVVCCC晶格振动比热晶格振动比热晶体电

2、子比晶体电子比热热本节只讨论晶格振动比热。本节只讨论晶格振动比热。 经典理论经典理论: :杜隆杜隆-珀替定律珀替定律 根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT, ,若晶若晶体有体有N N个原子，则总自由度为：个原子，则总自由度为： 3N。B3ENk TVVTEC B3Nk低温时经典理论不再适用。它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆-珀替定律。珀替定律。但实际上，实验表明在低温时但实际上，实验表明在低温时，晶体，晶体的比热按的比热按T3趋于零。趋于零。 声子数 对应于格波振幅)：1()2iiin如何

3、确定该格波所对应的能量值平均声子数 每个能量状态出现的几率不同1111Bxk Tnee10exp(/)nnNK TN000exp(/)exp(/)ssnKsnTnK T令：令：iBxk T000exp(/)exp(/)ssKsnTTsKs11 11Bxk Tnee 0200(1.)(1)lnln1ln1isxsssxxxxsxxnseddndxdxeeeddeexe 211.1xxxeeen根据色散关系：在动量空间（k空间中）作出色散图。n将所有具相同l 式中，式中，只与只与s、T有关。有关。(与与K无关无关)l s是标量。是标量。l 相同的相同的 s，可同时对应多个不同的可同时对应多个不同的

4、 k。1111Bxk Tnee() ()ssUn KKs.Ks.K 同，振动模式（格振动模式（格波）数很多，波）数很多，求解不方便求解不方便( )/DdZ d() ()ssUn KKs.Ks.K原来的计算方法：对所有格波逐个累加 多且杂！现在的计算方法：相同的放在一起,数目用因子Z()来表达，然后累加相对简洁！( )sUnZ()(ssssUdDnT( )/DdZ d 定义定义: : 在频率在频率附近附近d d范围内共含有范围内共含有dZdZ个简正模式个简正模式，则，则模式密度定义如下模式密度定义如下：（有时也用单位体积、单位频率间隔中的简正模式数）。它反应的是它反应的是单位频率单位频率 间隔中

5、所含有的简正模式数。间隔中所含有的简正模式数。指指K K空间中，空间中，附近相附近相距距d d两两等能面所包围等能面所包围体积中含有的模式数体积中含有的模式数波矢波矢密度密度3)2(CV两个等频率两个等频率面间的体积面间的体积每一支格波的每一支格波的振动模式数振动模式数每一支格波的模每一支格波的模式密度式密度)( 晶格总的模晶格总的模式密度式密度)( 两个等频率面两个等频率面间的波矢数间的波矢数隐藏，无必要分分 布布 密密 度度 OR 波波 矢矢 密密 度度隐藏，无必要色色 散散 关关 系系 与与 模模 式式 密密 度度qyqx sdd dq qdd dvs q体积元：体积元：dq：两等频面间

6、的垂直距离：两等频面间的垂直距离, ,ds：面积元。：面积元。体积元包含的波矢数目：体积元包含的波矢数目：3d d(2)CVs q 的的等等频频率率面面间间的的体体积积和和频频率率为为 d23 cVn qsVncdd23隐藏，无必要由梯度定义知由梯度定义知: : ddqqq 代入上式得代入上式得 dd23 qsVnqc qsVncdd23 sqcqsVDd23 nsqcqsV313d2隐藏，无必要ssgsssvdSVDD38)()(隐藏，无必要隐藏，无必要1( )/DdLddZdK gdvdK( ) gLDv3(1( )2/LdVDddZd 31 ()2 LdVdkddk dVdkdVdkdd

7、223( )2dNVDdv2222311444vkvvv例：例： gv K322)(vVddND将Vg带入上页D()公式即得对应的3222)(LLvVD3222)(TTvVD附：若考虑同一振动模式附：若考虑同一振动模式(k、相同相同)的不同振动方向的不同振动方向(纵波、横波纵波、横波)的影响，则：的影响，则：3322212)()()(TLTLvvVDDD223( )32VDv( )D0)(dD2233( )2VDvDNdD03)(DNdvV0322323 6323VNvD21/3 (6)DnvvKDD123 6DKn 对一个三维点阵常数为a的立方点阵，第1BZ为一边长为22332()0DDVv

8、D)() END(从而)(3)(END先求晶格总能（不是晶体，不包括电子的贡献），再对T求导ssssTnDdU)()(VVTuC1()exp() 1ssBnTk T)(3)(END ( )3DdN其中3EUnN 课本中为1维，则3NN1exp1EBnK T （）3exp() 1EEBNUK T22exp()3exp() 1EEBVBVBEBK TuCNkTK TK T)/exp(TkCBEV 0( )( . )DsssUd DnT22303 21DBVUdk Tve式中，直接导出结论即可，下页ppt及课本（27-29）式无甚必要由于、 kBT均具有能量的量纲，可令=kBT可见，在效果上每个不同

9、的 均对应于某一温度的大小当= D时，所对应的T=， 即所谓的德拜温度德拜温度德拜温度是一重要参数，实际上对应于固体中所允许是一重要参数，实际上对应于固体中所允许的最大的最大K KD D或或D D的值（即限制条件）的值（即限制条件）. .N/Vn 6312其中，nkvkBBD补充：德拜温度的定义Na =158KSi =625KPb =88K金刚石 =2230K是由D定义，一般为102数量级。附：德拜温度的意义vnVNvD3/12313266其中，x 令2230321DVUdve回到之前的内能表达式432330321DxBxVk TxUdxve33091DxBxTxUNk Tdxe2422 32

10、0U32exp() 1DVVBVeCdTv k T 用用34209(1)DxxBxTx eNkdxe331 933VBBTCNkNkTDxxxdxeex024) 1(331T33091DxBxTxUNk TdxeDxxxBVdxeexTNkC0243) 1(9TxDDxxdxex031013ssxdxex111ssxxee0114431516sssxSedxx44335BNk TU3343122345VBBCATTTNkNk低温下的热容：则低温下的热能为：多次采用分部积分法：上式中，利用了公式：积分：33001 1Dxsxxsxdxxedxe 低温下热容与温度的三次方成正比，这与实验结果相当一

11、致，主要原因是它的基本假设是长声学波模型，在低温下只有频率较低的长波模式才是受热激发的，而频率高的短波模式都已冻结，在这些模式上布居的声子数很少，用线性色散关系去处理问题，恰好与实验结果吻合的好，任何晶体在低温下都可用德拜模型处理。德拜低温结果(Cv与T3成正比) 的物理“解释模型”vTkKBTvkKBD33TKTKDB33TN33BTNk T3312VBVuTCNkTT 从以上讲述中我们不难看到，固体物理中处理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物理模型处理问题，简单模型包含了复杂问题的关键所在。因此在处理物理问题时要注意物理模型的选取，从这个意义

12、上来说，固体物理的发展史也可以说是物理模型的演变史。33322200003121)()(xxxxuxuxuxuxu！cxuF022xxuc 若两个原子之间的互作用势是简谐势，则其图形应为严格的抛物线，就不可能有热膨胀，由于引起了热膨胀。 432)(fgcu022! 21xxuc033! 31xxug044! 41xxuf242cfcu第一项为简谐项，第二项引起势能函数的不对第一项为简谐项，第二项引起势能函数的不对称性（即三次方项），本身是负值，称性（即三次方项），本身是负值，因此势能因此势能曲线一边平缓，一边陡峭曲线一边平缓，一边陡峭。432)(fxgxcxxu( )( )u xu xdx x

13、 exdx e 1/Bk T式中式中（其中，其中，x x是相对于平衡位置的位移是相对于平衡位置的位移）43)(143fxgxefxgx)1 (432fxgxexdxcx245()cxdx exgxfx1/23/25/234gc)()(432fxgxcxxuexdxexdx21)(cedxedxcxxu234Bgxk Tc200134Bk gdxxdTc x分子分母分别代入可得原子间平均位移为：可见，可见， 与与g/cg/c2 2值有关，正是由于势能函数曲线值有关，正是由于势能函数曲线的不对称性，才导致了的变化。的不对称性，才导致了的变化。热平衡1、声子数达到平衡2、动量平衡： 各“微小区域”内

14、总动量量为0dxdTKJu波传播 能量传播xdTTldxTcnvJx若若 lx 代表平均自由程，则代表平均自由程，则TT为在为在x x方向走过范围方向走过范围的温度差，的温度差， 用用c c代表声子热容（一个声子对热容代表声子热容（一个声子对热容的贡献）。则的贡献）。则C=ncC=nc用v代表x方向声子的群速度。则单位时间内通过单位面积的热流应当为：（能量传播）（n nv vx x: : 单位时间、单位面积上流过的声子数，单位时间、单位面积上流过的声子数，cT -cT -声子在一次碰撞中放出的热能）声子在一次碰撞中放出的热能）dxdTCVdxdTlCVJxxxu22231vVxxxVl 上式中

15、利用了：上式中利用了：称为弛豫时间，即两次碰撞之间的时间间隔）称为弛豫时间，即两次碰撞之间的时间间隔）dxdTvCdxdTvCJxu223113udTJcvldx lv dxdTKJuCvlK31constV vK:1111abcllll即格波遇到晶体中杂质缺陷时的散射，此时一般力常数要即格波遇到晶体中杂质缺陷时的散射，此时一般力常数要发生变化，对于纯单晶体，这种机制是很少的。发生变化，对于纯单晶体，这种机制是很少的。即格波在样品边界处的散射（势能发生改变）。即格波在样品边界处的散射（势能发生改变）。碰撞几率：碰撞几率：TkenBTkB11Tla1Tn exp()Bnk T blCVDK Cv

16、l311exp() 1sBnk T声子之所以进入声子之所以进入，使得某一个区域的平均，使得某一个区域的平均声子数为声子数为，要依靠声子之间的碰撞，靠非简谐效应，要依靠声子之间的碰撞，靠非简谐效应. .GKKK321321G G的选择要使得的选择要使得K3K3在第在第1BZ1BZ之内之内321KKK不会使声子团定向运动的动量衰减，因为尽管在碰撞过程中有的声子湮灭，有的声子产生，但是碰撞前后总动量保持不变碰撞前后总动量保持不变，如果由于外界干扰使得声子团产生了一个定向运动，那么在正规过程中，这个声子团就要一直作定向运动，因为碰撞前后总动量保持不变，正规过程不会干扰它的定向运正规过程不会干扰它的定向

17、运动动。要满足倒逆过程的条件，使得产生的声子的波矢要超出第一BZ只有加上适当的G才能使K3回到第1BZ，这个碰撞过程称为倒逆过程。GKKK3210G ，即 ，若两个声子碰撞后产生的要超出第1BZ，则这两个声子的波矢应在附近，这样的声子的能量为类似的声子数目在高温下是比较多的，在低温下是比较少的，据玻色分布： GKDDK21BDk21211exp() 1Bnk T1exp() 1Bnk TTTkDB21 exp() exp()22BBknk TT第五章热学性质（声子） 内容提要1.简正模式密度（声子能级密度）2.爱因斯坦模型和德拜模型3.点阵热容4.非简谐效应5. 点阵热膨胀6.点阵热导率7.倒逆过程8.点阵的自由能和格林爱森常数