直线的两点式方程课件1.ppt

1、3.2.2直线的两点式方程问题问题引航引航1.1.直线的两点式方程是什么直线的两点式方程是什么? ?什么样的直线没有什么样的直线没有两点式方程两点式方程? ?2.2.直线的截距式方程是什么直线的截距式方程是什么? ?它与两点式方程有它与两点式方程有什么关系什么关系? ?3.3.线段的中点的坐标公式是什么线段的中点的坐标公式是什么? ?1.1.直线的两点式方程和截距式方程直线的两点式方程和截距式方程名称名称两点式两点式截距式截距式条件条件两点两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )(x(x1 1xx2 2,y,y1 1yy2 2) )A(a

2、,0),B(0,b)(a0,b0)A(a,0),B(0,b)(a0,b0)方程方程_112121y yx xyyxxxy1ab2.2.线段的中点坐标公式线段的中点坐标公式12xx212yy21.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”, ,错误的打错误的打“”) )(1)(1)斜率不存在的直线有两点式方程斜率不存在的直线有两点式方程. .( () )(2)(2)与与x x轴平行的直线没有两点式方程轴平行的直线没有两点式方程. .( () )(3)(3)过原点的直线没有截距式方程过原点的直线没有截距式方程. .( () )(4)(4)过点过点(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,

3、y,y2 2)(x)(x1 1xx2 2,y,y1 1yy2 2) )的直线方程是的直线方程是 ( () )121121y yyy.x xxx【解析解析】 (1) (1)错误错误. .斜率不存在的直线都没有两点式方程斜率不存在的直线都没有两点式方程. .(2)(2)正确正确. .斜率为斜率为0 0的直线没有两点式方程的直线没有两点式方程. .(3)(3)正确正确. .过原点的直线在两坐标轴上的截距都是过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0,0,没有截距式没有截距式方程方程. .(4)(4)错误错误. .点点(x(x1 1,y,y1 1) )的坐标不适合方程的坐标不适合方程 所以方程所以方程 不能

4、表示过点不能表示过点(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2) )的直线的直线. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)121121y yyy,x xxx121121y yyyx xxx2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)过过A(1,1),B(2,3)A(1,1),B(2,3)的直线的方程为的直线的方程为 . .(2)(2)过过C(0,2),D(-3,0)C(0,2),D(-3,0)的截距式方程为的截距式方程为 . .(3)(3)已知已知E(1,5),F(-1,3),E(1,5),F(-1

5、,3),则线段则线段EFEF的中点坐标为的中点坐标为. .【解析解析】(1)(1)过过A(1,1),B(2,3)A(1,1),B(2,3)的直线的两点式方程为的直线的两点式方程为即即2x-y-1=0.2x-y-1=0.答案答案: :2x-y-1=02x-y-1=0(2)(2)过过C(0,2),D(-3,0)C(0,2),D(-3,0)的截距式方程为的截距式方程为 答案答案: : (3)(3)因为因为E(1,5),F(-1,3),E(1,5),F(-1,3),所以线段所以线段EFEF的中点坐标是的中点坐标是即即(0,4).(0,4).答案答案: :(0,4)(0,4)y 1x 1,3 12 1x

6、y1.32xy132 11 5 3,22 ()【要点探究要点探究】知识点知识点1 1 直线的两点式方程直线的两点式方程1.1.应用的前提条件应用的前提条件(1)(1)当当x x1 1xx2 2,y,y1 1yy2 2, ,即直线的斜率不存在及斜率为零时没有两即直线的斜率不存在及斜率为零时没有两点式方程点式方程. .(2)(2)当当x x1 1=x=x2 2时时, ,直线方程为直线方程为x=xx=x1 1; ;当当y y1 1=y=y2 2时时, ,直线方程为直线方程为y=yy=y1 1. .2.2.对两点式方程形式的两点说明对两点式方程形式的两点说明(1)(1)方程方程 也可写成也可写成 两者

7、形式有两者形式有异但实质相同异但实质相同. .(2)(2)要注意方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一要注意方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一点的横纵坐标点的横纵坐标. .112121y yx xyyxx221212y yx x,yyxx【知识拓展知识拓展】两点式的变形两点式的变形如果将直线两点式转化为如果将直线两点式转化为:(x:(x2 2-x-x1 1)(y-y)(y-y1 1)=(y)=(y2 2-y-y1 1)(x-x)(x-x1 1),),此时此时只要直线上两点不重合只要直线上两点不重合, ,都可以用该等式表示出来都可以用该等式表示出来( (即这个变形即这个变形方程可

8、以表示过任意已知两点的直线方程可以表示过任意已知两点的直线).).【微思考微思考】(1)(1)已知直线所过两点的坐标已知直线所过两点的坐标, ,除了用两点式写出直线的方程外除了用两点式写出直线的方程外, ,还可以如何写出直线方程还可以如何写出直线方程? ?提示提示: :还可以先求出直线的斜率还可以先求出直线的斜率, ,再代入点斜式写出直线方程再代入点斜式写出直线方程. .(2)(2)应用两点式求直线方程的关键是什么应用两点式求直线方程的关键是什么? ?提示提示: :首先要确定是否具备两点式应用的条件首先要确定是否具备两点式应用的条件, ,即存在斜率且斜即存在斜率且斜率不为率不为0,0,然后要注

9、意分子、分母四个减式的作差顺序然后要注意分子、分母四个减式的作差顺序. .【即时练即时练】求过下列两点的直线的两点式方程求过下列两点的直线的两点式方程(1)A(1,3),B(-2,-1)(1)A(1,3),B(-2,-1)(2)C(6,-7),D(2,1)(2)C(6,-7),D(2,1)【解析解析】(1)(1)将两点将两点A(1,3),B(-2,-1)A(1,3),B(-2,-1)的坐标代入两点式的坐标代入两点式, ,得得 (2)(2)将两点将两点C(6,-7),D(2,1)C(6,-7),D(2,1)的坐标代入两点式得的坐标代入两点式得 y 1x 2.3 11 2y 1x 2.7 16 2

10、 知识点知识点2 2 直线的截距式方程直线的截距式方程1.1.无截距式的三类直线无截距式的三类直线(1)(1)斜率不存在的直线斜率不存在的直线. .(2)(2)斜率为斜率为0 0的直线的直线. .(3)(3)过原点的直线过原点的直线. .2.2.截距式方程的两个特点截距式方程的两个特点(1)(1)中间必须用中间必须用“+ +”号连接号连接. .(2)(2)等号右边为等号右边为1.1.3.3.对对“截距截距”概念的说明概念的说明截距可取一切实数截距可取一切实数, ,即可为正数、零、负数即可为正数、零、负数, ,在此要区分开截距在此要区分开截距与距离的关系与距离的关系, ,距离必须大于或等于零距离

11、必须大于或等于零. .【微思考微思考】(1)(1)截距式与两点式有什么关系截距式与两点式有什么关系? ?提示提示: :截距式是两点式的一种特殊情况截距式是两点式的一种特殊情况, ,两个点是直线与坐标轴两个点是直线与坐标轴的交点的交点. .(2) (2) 都是直线的截距式方程吗都是直线的截距式方程吗? ?若不是若不是, ,如何如何改写为截距式方程改写为截距式方程? ?提示提示: :两个方程都不是直线的截距式方程两个方程都不是直线的截距式方程, ,可改写为可改写为 xyxy123535与xy1,35xy1.6 10【即时练即时练】根据下列条件求直线的截距式方程根据下列条件求直线的截距式方程, ,并

12、画出图形并画出图形. .(1)(1)在在x x轴上的截距是轴上的截距是3,3,在在y y轴上的截距是轴上的截距是-2.-2.(2)(2)过过A(-4,0),B(0,-5)A(-4,0),B(0,-5)两个点两个点. .【解析解析】(1) (1) (如图如图1 1所示所示).).(2) (2) (如图如图2 2所示所示).).xy132xy145【题型示范题型示范】类型一类型一 直线的两点式方程及其应用直线的两点式方程及其应用【典例典例1 1】 (1)(1)直线直线l过点过点A(-1,-1)A(-1,-1)和和B(2,5)B(2,5)且点且点C(1006,b)C(1006,b)为该直线上一为该直

13、线上一点点, ,则则b b的值为的值为( () )A.2011 B.2012 C.2013 D.2014A.2011 B.2012 C.2013 D.2014(2)(2014(2)(2014鹤岗高一检测鹤岗高一检测) )ABCABC的三个顶点为的三个顶点为A(-3,0), A(-3,0), B(2,1),C(-2,3),B(2,1),C(-2,3),求求: :ACAC所在直线的方程所在直线的方程; ;BCBC边的垂直平分线的方程边的垂直平分线的方程. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中, ,是否可以用两点式写出直线方程是否可以用两点式写出直线方程? ?2.2.题题(2)(2)中

14、中, ,求求BCBC边的垂直平分线方程要计算哪两个量边的垂直平分线方程要计算哪两个量? ?【探究提示探究提示】1.1.题题(1)(1)中中,A,B,A,B两点横坐标不相等两点横坐标不相等, ,纵坐标也不相纵坐标也不相等等, ,可以用两点式求直线方程可以用两点式求直线方程. .2.2.求求BCBC边的垂直平分线方程边的垂直平分线方程, ,一方面要求线段一方面要求线段BCBC的中点的中点, ,另一方另一方面要求面要求BCBC的斜率的斜率, ,推出推出BCBC垂直平分线的斜率垂直平分线的斜率. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选C.C.方法一方法一: :由两点式得直线由两点式得直线l的方程为的方

15、程为 即即y=2x+1.y=2x+1.又点又点C(1006,b)C(1006,b)在直线在直线l上上, ,所以所以b=2b=21006+1=2013.1006+1=2013.方法二方法二: :由题意知由题意知k kABAB=k=kACAC, ,所以所以 所以所以b=2013.b=2013.y 5x 2,1 51 2 51b1,211 0061 (2)(2)由直线方程的两点式得由直线方程的两点式得 所以所以ACAC所在直所在直线的方程是线的方程是3x-y+9=0.3x-y+9=0.因为因为B(2,1),C(-2,3),B(2,1),C(-2,3),所以所以k kBCBC= = 线段线段BCBC的

16、中点坐标是的中点坐标是 即即(0,2),(0,2),所以所以BCBC边的垂直平边的垂直平分线方程是分线方程是y-2=2(x-0),y-2=2(x-0),整理得整理得2x-y+2=0.2x-y+2=0.x3y 0,3 023 3 11,2 22 2 2 1 3,22()【延伸探究延伸探究】若题若题(2)(2)条件不变条件不变, ,求求ABAB边上的中线所在直线的方边上的中线所在直线的方程程. .【解析解析】因为因为A(-3,0),B(2,1),A(-3,0),B(2,1),所以线段所以线段ABAB的中点坐标为的中点坐标为 所以所以ABAB边上的中线所在直线过点边上的中线所在直线过点 (-2,3)

17、,(-2,3),两点式方程为两点式方程为整理得整理得5x+3y+1=0.5x+3y+1=0.1 1,2 2()1 1,2 2()11yx22,113222 【方法技巧方法技巧】求直线的两点式方程的策略以及注意点求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)(1)当已知两点坐标当已知两点坐标, ,求过这两点的直线方程时求过这两点的直线方程时, ,首先要判断是首先要判断是否满足两点式方程的适用条件否满足两点式方程的适用条件, ,即两点的连线不垂直于坐标轴即两点的连线不垂直于坐标轴, ,若满足若满足, ,则考虑用两点式求方程则考虑用两点式求方程. .(2)(2)由于减法的顺序性由于减法的顺序性, ,一般用

18、两点式求直线方程时常会将字母一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误或数字的顺序错位而导致错误. .在记忆和使用两点式方程时在记忆和使用两点式方程时, ,必必须注意坐标的对应关系须注意坐标的对应关系. .【变式训练变式训练】(2013(2013淮安高一检测淮安高一检测) )已知已知ABCABC的三顶点的三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),MA(1,2),B(3,6),C(5,2),M为为ABAB的中点的中点,N,N为为ACAC的中点的中点, ,则中位线则中位线MNMN所在的直线方程为所在的直线方程为. .【解析解析】点点M M的坐标为的坐标为(2,4),(2,4

19、),点点N N的坐标为的坐标为(3,2),(3,2),由两点式方程由两点式方程得得 即即2x+y-8=0.2x+y-8=0.答案答案: :2x+y-8=02x+y-8=0y 2x 34 22 3，【补偿训练补偿训练】已知矩形的三个顶点分别为已知矩形的三个顶点分别为O(0,0),A(8,0), O(0,0),A(8,0), B(0,5),B(0,5),求矩形的对角线所在直线的方程求矩形的对角线所在直线的方程. .【解析解析】设矩形的第四个顶点为设矩形的第四个顶点为C,C,可得可得C(8,5),C(8,5),所以对角线所以对角线OCOC所在直线的方程为所在直线的方程为 即即5x-8y=0,AB5x

20、-8y=0,AB所在直线的方程所在直线的方程为为 即即5x+8y-40=0.5x+8y-40=0.y 0 x 05 08 0，y 0 x 85 00 8，类型二类型二 直线的截距式方程及其应用直线的截距式方程及其应用【典例典例2 2】 (1)(1)直线直线l1 1:y=kx+b(kb0);:y=kx+b(kb0);直线直线l2 2: : 在同一坐标系在同一坐标系中的图象可能是中的图象可能是( () )xy1kb(2)(2014(2)(2014盐城高一检测盐城高一检测) )已知直线已知直线l过点过点A(-2,3).A(-2,3).直线直线l的倾斜角为的倾斜角为135135, ,求直线求直线l的方

21、程的方程; ;直线直线l在两坐标轴上的截距之和为在两坐标轴上的截距之和为2,2,求直线求直线l的方程的方程. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中, ,直线直线l1 1的斜率和在的斜率和在y y轴上的截距分别是轴上的截距分别是什么什么? ?直线直线l2 2在两坐标轴上的截距分别是什么在两坐标轴上的截距分别是什么? ?斜率是什么斜率是什么? ?2.2.题题(2)(2)中中, ,直线直线l的斜率是多少的斜率是多少? ?用待定系数法求直线用待定系数法求直线l l的的方程时方程时, ,如何设直线如何设直线l的方程的方程? ?【探究提示探究提示】1.1.直线直线l1 1的斜率为的斜率为k,

22、k,在在y y轴上的截距是轴上的截距是b.b.直线直线l2 2在在x x轴上的截距是轴上的截距是k,k,在在y y轴上的截距是轴上的截距是b,b,斜率是斜率是 2.2.直线的斜率直线的斜率k=tan135k=tan135=-1.=-1.可设直线的截距式方程可设直线的截距式方程. .b.k【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.因为直线因为直线l1 1, ,l2 2在在y y轴上的截距都是轴上的截距都是b,b,所以所以排除排除B,C.B,C.选项选项A A中中, ,由直线由直线l1 1知知b0.b0.由直线由直线l2 2知知b0,k0,b0,k0,k0.b0,k0.由直线由直线l2 2知知b

23、0,k0,b0,k0,信息相符信息相符, ,故故选选D.D.(2)(2)因为直线因为直线l的倾斜角为的倾斜角为135135, ,所以直线所以直线l的斜率的斜率k=tan135k=tan135=-1.=-1.又因为直线又因为直线l过点过点A(-2,3),A(-2,3),所以直线所以直线l的点斜式的点斜式方程为方程为y-3=-(x+2),y-3=-(x+2),即即x+y-1=0.x+y-1=0.设直线设直线l的截距式方程为的截距式方程为 由题意得由题意得 所以直线所以直线l的方程为的方程为x+y=1x+y=1或或 即即x+y-1=0 x+y-1=0或或3x-2y3x-2y+12=0.+12=0.x

24、y1,aba b 2,a 1,a4,23b 1,b 6,1,ab解得或 xy1,46【方法技巧方法技巧】截距式方程应用的注意事项截距式方程应用的注意事项(1)(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交如果问题中涉及直线与坐标轴相交, ,则可考虑选用截距式直则可考虑选用截距式直线方程线方程, ,用待定系数法确定其系数即可用待定系数法确定其系数即可. .(2)(2)选用截距式直线方程时选用截距式直线方程时, ,必须首先考虑直线能否过原点以及必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直能否与两坐标轴垂直. .(3)(3)要注意截距式直线方程的逆向应用要注意截距式直线方程的逆向应用. .【变式训练变式训

25、练】已知已知RtRtABCABC的两直角边的两直角边AC=3,BC=4,AC=3,BC=4,直角顶点直角顶点C C在在原点原点, ,直角边直角边ACAC在在x x轴负半轴上轴负半轴上,BC,BC在在y y轴正半轴上轴正半轴上, ,求斜边求斜边ABAB所所在的直线方程在的直线方程. .【解题指南解题指南】先根据题意求出直线先根据题意求出直线ABAB在两坐标轴上的截距在两坐标轴上的截距, ,再再写出直线写出直线ABAB的截距式方程的截距式方程. .【解析解析】由题意得由题意得A(-3,0),B(0,4),C(0,0),A(-3,0),B(0,4),C(0,0),所以直线所以直线ABAB在在x x轴

26、、轴、y y轴上的截距分别是轴上的截距分别是-3,4,-3,4,所以直线所以直线ABAB的截距式方程为的截距式方程为 即即4x-3y+12=0.4x-3y+12=0.xy1,34【补偿训练补偿训练】已知菱形的两条对角线长分别为已知菱形的两条对角线长分别为8 8和和6,6,以菱形的以菱形的中心为坐标原点中心为坐标原点, ,较长对角线所在的直线为较长对角线所在的直线为x x轴轴, ,建立直角坐标建立直角坐标系系, ,求出菱形各边所在直线的方程求出菱形各边所在直线的方程. .【解析解析】由题意得四个顶点的坐标分别是由题意得四个顶点的坐标分别是(4,0),(0,3),(-4,0),(4,0),(0,3

27、),(-4,0), (0,-3)( (0,-3)(如图如图),),于是由直线的截距式方程得各边所在直线方程于是由直线的截距式方程得各边所在直线方程分别为分别为 整理得整理得3x+4y-3x+4y-12=0,3x-4y-12=0,3x-4y+12=0,3x+4y+12=0.12=0,3x-4y-12=0,3x-4y+12=0,3x+4y+12=0.xyxyxyxy1111.43434343，类型三类型三 直线方程的综合应用直线方程的综合应用【典例典例3 3】 (1)(1)过点过点P(-5,-4)P(-5,-4)与两坐标轴围成的三角形面积为与两坐标轴围成的三角形面积为5 5的直线方程的直线方程为为

28、. .(2)(2014(2)(2014荆州高一检测荆州高一检测) )已知已知ABCABC的三顶的三顶点是点是A(-1,-1), B(3,1),C(1,6),A(-1,-1), B(3,1),C(1,6),直线直线l平行于平行于AB,AB,交交AC,BCAC,BC分别于分别于E,F,E,F,CEFCEF的面积是的面积是CABCAB面积的面积的 求直线求直线l的方程的方程. .1.4【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中, ,直线与坐标轴围成的三角形是什么三直线与坐标轴围成的三角形是什么三角形角形? ?其边长与直线的哪些量有关其边长与直线的哪些量有关? ?2.2.题题(2)(2)中中,

29、,CEFCEF与与CABCAB相似吗相似吗?E,F?E,F在在CA,CBCA,CB上的位置如何判上的位置如何判断断? ?【探究提示探究提示】1.1.直线与坐标轴围成的三角形是直角三角形直线与坐标轴围成的三角形是直角三角形, ,其其两条直角边的长分别是直线在两坐标轴上截距的绝对值两条直角边的长分别是直线在两坐标轴上截距的绝对值. .2.2.CEFCEFCAB,CAB,由由CEFCEF与与CABCAB的相似比是的相似比是 知知,E,F,E,F分别是分别是CA,CBCA,CB的中点的中点. .12【自主解答自主解答】(1)(1)设直线的截距式方程为设直线的截距式方程为 由题意得由题意得 所以所以 解

30、方程组得解方程组得 方程组无解方程组无解, ,所以直线方程为所以直线方程为 即即2x-5y-10=02x-5y-10=0或或8x-5y+20=0.8x-5y+20=0.答案答案: :2x-5y-10=02x-5y-10=0或或8x-5y+20=08x-5y+20=0 xy1.ab541,4a 5bab,abab10,1a b5,2所以4a 5b 10,4a 5b10,ab10ab 10或5a 5,a,2b2b 4,或xyxy11,55242或(2)(2)由已知由已知, ,直线直线ABAB的斜率的斜率 因为因为EFAB,EFAB,所以直线所以直线EFEF的斜率为的斜率为 . .因为因为CEFCE

31、F的面积是的面积是CABCAB面积的面积的 且且CEFCEFCAB,CAB,所以所以CEFCEF与与CABCAB的相似比是的相似比是 , ,所以所以 所以所以E E是是CACA的中点的中点. .点点E E的坐标是的坐标是 直线直线EFEF的方程是的方程是 即即x-2y+5=0.x-2y+5=0.1 11k.3 12121412CE1,CA250,.2()51yx,22【方法技巧方法技巧】求直线方程时方程形式的选择技巧求直线方程时方程形式的选择技巧(1)(1)已知一点的坐标已知一点的坐标, ,求过该点的直线方程时求过该点的直线方程时, ,通常选用点斜式通常选用点斜式方程方程. .(2)(2)已知

32、直线的斜率已知直线的斜率, ,通常选用点斜式或斜截式通常选用点斜式或斜截式, ,再由其他条件再由其他条件确定一个定点的坐标或在确定一个定点的坐标或在y y轴上的截距轴上的截距. .(3)(3)已知直线在两坐标轴上的截距时已知直线在两坐标轴上的截距时, ,通常选用截距式方程通常选用截距式方程. .(4)(4)已知直线上两点时已知直线上两点时, ,通常选用两点式方程通常选用两点式方程. .【变式训练变式训练】求与两坐标轴围成的三角形周长为求与两坐标轴围成的三角形周长为9,9,且斜率为且斜率为 的直线方程的直线方程. .【解析解析】设直线方程为设直线方程为 由题意知由题意知由知由知, , 代入得代入

33、得, , 34xy1.ab22abab9b3a4 3ba4223335aaaa9,aaa9,4444()所以所以3|a|=9,|a|=3,3|a|=9,|a|=3,所以所以a=3a=3时时, , a=-3a=-3时时, , 所以直线方程为所以直线方程为 或或 即即3x+4y-9=0,3x+4y-9=0,或或3x+4y+9=0.3x+4y+9=0.9b,49b.4xy1,934xy1,934【补偿训练补偿训练】已知直线的斜率为已知直线的斜率为 , ,且和坐标轴围成面积为且和坐标轴围成面积为3 3的的三角形三角形, ,求该直线的截距式方程求该直线的截距式方程. .【解析解析】由题意知直线的截距存在

34、且不为由题意知直线的截距存在且不为0,0,设直线的方程为设直线的方程为 因为直线的斜率因为直线的斜率 又因为又因为 |ab|=3,|ab|=3,所以所以 所以所求直线的截距式方程为所以所求直线的截距式方程为: : 16xy1ab ，1b1k6a6 ，所以 ，12a6a6b 1b1.，或xyxy11.6161或【拓展类型拓展类型】关于光线的反射问题关于光线的反射问题【备选例题备选例题】(1)(1)一条光线从点一条光线从点A(3,2)A(3,2)发出发出, ,经经x x轴反射轴反射, ,通过点通过点B(-1,6),B(-1,6),入射光线所在直线的方程为入射光线所在直线的方程为, ,反射反射光线所

35、在直线的方程为光线所在直线的方程为. .(2)(2014(2)(2014宿迁高一检测宿迁高一检测) )已知光线通过点已知光线通过点A(1,2),A(1,2),经过经过y y轴反射轴反射, ,其反射光线通过点其反射光线通过点B(2,-1).B(2,-1).求入射光线所在的直线方程求入射光线所在的直线方程; ;求反射光线所在的直线方程求反射光线所在的直线方程. .【解析解析】(1)(1)点点A A关于关于x x轴的对称点为轴的对称点为A A1 1(3,-2),(3,-2),点点B B关于关于x x轴的对轴的对称点为称点为B B1 1(-1,-6).(-1,-6).因为因为A A1 1在反射光线的延

36、长线上在反射光线的延长线上, ,B B1 1在入射光线的延长线上在入射光线的延长线上, ,由两点式可得直线由两点式可得直线A A1 1B B的方程为的方程为 化简得化简得2x+y-4=0.2x+y-4=0.直线直线ABAB1 1的方程为的方程为 化简得化简得2x-y-4=0.2x-y-4=0.所以入射光线所在直线方程为所以入射光线所在直线方程为2x-y-4=0,2x-y-4=0,反射光线所在直线方反射光线所在直线方程为程为2x+y-4=0.2x+y-4=0.答案答案: :2x-y-4=02x-y-4=02x+y-4=02x+y-4=0y 2x 3,6 21 3 y 6x 1,2 63 1(2)

37、(2)点点A A关于关于y y轴的对称点为轴的对称点为A A1 1(-1,2),(-1,2),点点B B关于关于y y轴的对称点为轴的对称点为B B1 1(-2,-1),(-2,-1),因为因为A A1 1在反射光线的延长线上在反射光线的延长线上,B,B1 1在入射光线的延长在入射光线的延长线上线上. .由两点式可得直线由两点式可得直线ABAB1 1的方程为的方程为 化简得化简得x-y+ x-y+ 1=0,1=0,这就是入射光线所在直线方程这就是入射光线所在直线方程. .由两点式可得直线由两点式可得直线A A1 1B B的方程为的方程为 化简得化简得x+y- x+y- 1=0,1=0,这就是反

38、射光线所在直线的方程这就是反射光线所在直线的方程. .y 2x 1,1 22 1 x1y 2,1 221 【方法技巧方法技巧】巧解光线的反射问题巧解光线的反射问题光线的反射问题是直线部分常考的题型之一光线的反射问题是直线部分常考的题型之一, ,此类问题可借助此类问题可借助于以下知识于以下知识(1)(1)光学性质光学性质: :入射角等于反射角入射角等于反射角, ,或使用对称思想或使用对称思想( (一般找对称一般找对称点点) )解决解决. .(2)(2)求点关于直线的对称点坐标的求法求点关于直线的对称点坐标的求法. .【易错误区易错误区】对截距理解不准确致误对截距理解不准确致误【典例典例】(201

39、4(2014鹤岗高一检测鹤岗高一检测) )过点过点M(3,-4),M(3,-4),且在两坐标轴上且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为的截距相等的直线的方程为( () )A.x+y+1=0A.x+y+1=0 B.4x+3y=0B.4x+3y=0C.x+y+2=0 D.x+y+1=0C.x+y+2=0 D.x+y+1=0或或4x+3y=04x+3y=0【解析解析】选选D.(1)D.(1)当直线过原点时当直线过原点时, ,斜率等于斜率等于所以直线的点斜式方程为所以直线的点斜式方程为 即即4x+3y=0.4x+3y=0.4 04,3 03 4yx,3(2)(2)当直线不过原点时当直线不过原点时, ,

40、设直线方程为设直线方程为 , ,把点把点M(3,-4)M(3,-4)代入直线方程代入直线方程, ,得得解得解得a=-1,a=-1,故直线的方程为故直线的方程为即即x+y+1=0.x+y+1=0.综上，满足条件的直线方程为综上，满足条件的直线方程为4x+3y=04x+3y=0或或x+y+1=0.x+y+1=0.xy1aa341,aaxy1,11【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析选选A A在处遗漏直线过原点时在两坐标轴上的截距相等在处遗漏直线过原点时在两坐标轴上的截距相等, ,导致漏解而错选导致漏解而错选A A选选B B在处坐标轴上截距相等在处坐标轴上截距相等( (不为不为0)0)的直线

41、方程的形式的直线方程的形式不明确不明确, ,导致无法求出直线方程导致无法求出直线方程, ,出现猜测选出现猜测选B B的错误的错误【防范措施防范措施】1.1.正确理解正确理解“截距截距”的概念的概念“截距截距”并不是并不是“距离距离”, ,它是直线与它是直线与x(y)x(y)轴交点的横轴交点的横( (纵纵) )坐坐标标. .如本例中过原点的直线如本例中过原点的直线, ,在两坐标轴上的截距都是在两坐标轴上的截距都是0.0.2.2.巧用待定系数法求直线方程巧用待定系数法求直线方程若利用直线的已知信息不足以把直线方程直接写出时若利用直线的已知信息不足以把直线方程直接写出时, ,通常采通常采用待定系数法

42、求直线方程用待定系数法求直线方程, ,此时要注意恰当选择方程的形式此时要注意恰当选择方程的形式. .如如本例中本例中, ,截距不为截距不为0 0时时, ,可设直线方程为可设直线方程为 xy1.ab【类题试解类题试解】直线直线l过点过点P(-6,3)P(-6,3)且它在且它在x x轴上的截距是它在轴上的截距是它在y y轴轴上截距的上截距的3 3倍倍, ,则直线则直线l的方程为的方程为. .【解析解析】(1)(1)当直线过原点时当直线过原点时, ,斜率等于斜率等于 所以直线的点斜式方程为所以直线的点斜式方程为y=- x,y=- x,即即x+2y=0.x+2y=0.(2)(2)当直线不过原点时当直线不过原点时, ,设直线方程为设直线方程为 把点把点P(-6,3)P(-6,3)代入直线方程代入直线方程, ,得得 解得解得a=1,a=1,故直线的方程为故直线的方程为 即即x+3y-3=0.x+3y-3=0.综上综上, ,满足条件的直线方程为满足条件的直线方程为x+2y=0 x+2y=0或或x+3y-3=0.x+3y-3=0.答案答案: :x+2y=0 x+2y=0或或x+3y-3=0 x+3y-3=03 01,6 02 12xy1,3aa6 31,3aa xy 1,3