新教材人教A数学必修二课件：8.5.1直线与直线平行.ppt

1、8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行 1.1.基本事实基本事实4 4平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行. .【思考思考】平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？提示：提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等边平行等. .2.2.等角定理等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补个角相等或互补. . 【思考思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？平面中怎样利用平行证明两个角相等？提示：提示：两

2、直线平行同位角、内错角相等，平行四边形两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等中对角相等. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线线. .( () )(2)(2)如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两条边分别对应平行两条边分别对应平行. . ( () )提示：提示：(1)(1). .也可能是相交直线也可能是相交直线. .(2)(2). .等角定理的逆定理不成立等角定理的逆定

3、理不成立. .2.2.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为4545，则另一个角为，则另一个角为_._.【解析解析】若一个角两边和另一个角两边分别平行，若一个角两边和另一个角两边分别平行，则这两个角相等或互补，由一个角为则这两个角相等或互补，由一个角为4545，则另一个，则另一个角为角为4545或或135135. .答案：答案：4545或或1351353.3.已知棱长为已知棱长为a a的正方体的正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，中，M M，N N分别为分别为CDCD，ADAD的中点，则的中点，则MNMN与与ACAC的位置关系是的位置

4、关系是_._.【解析解析】如图所示，如图所示，MNMN ACAC，因为因为ACAC A AC C，所以，所以MNMN A AC C. .答案：答案：平行平行1212类型一空间中两直线平行的判定及应用类型一空间中两直线平行的判定及应用【典例典例】如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ABAB，ADAD边上的中点，边上的中点，G G，H H分别是分别是BCBC，CDCD边上的点，且边上的点，且 . .求证：四边形求证：四边形GHFEGHFE是梯形是梯形. .CGCH1GBHD2【思维思维引引】根据梯形的定义证明根据梯形的定义证明. .【证明证明】因为空间

5、四边形因为空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ABAB，ADAD边边上的中点，所以上的中点，所以EFBDEFBD，且，且EF= BDEF= BD，因为因为G G，H H分别是分别是BCBC，CDCD边上的点，且边上的点，且 ，所以所以HGBDHGBD，且，且HG= BDHG= BD，所以所以EFHGEFHG，且，且EFHGEFHG，所以四边形，所以四边形GHFEGHFE是梯形是梯形. .12CGCH1GBHD213【内化内化悟悟】本题中证明线线平行用了哪些定理？本题中证明线线平行用了哪些定理？提示：提示：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理三角形中位线定理，平行线分

6、线段成比例定理的逆定理，基本事实的逆定理，基本事实4.4.【类题类题通通】关于空间中两直线平行的证明关于空间中两直线平行的证明(1)(1)辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边平行四边形的对边. .(2)(2)证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实例定理的逆定理，基本事实4 4，几何体中相对的棱、对，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系角线等的平行关系. .【习练习练破破】如图，在长方体如图，在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D

7、 D1 1中，点中，点E E，F F分别是棱分别是棱ABAB，BCBC的中点，点的中点，点E E1 1，F F1 1分别是棱分别是棱A A1 1D D1 1，C C1 1D D1 1的中点的中点. .求证：求证：EEEE1 1FFFF1 1. .【证明证明】连接连接EFEF，E E1 1F F1 1，A A1 1C C1 1，ACAC，由长方体由长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1知，知，ACAC A A1 1C C1 1，因为点因为点E E，F F分别是棱分别是棱ABAB，BCBC的中点，的中点，所以由三角形中位线定理得：所以由三角形中位线定理得：EFEF

8、 ACAC，同理同理E E1 1F F1 1 A A1 1C C1 1，所以所以EFEF E E1 1F F1 1，则四边形，则四边形EFFEFF1 1E E1 1为平行四边形，为平行四边形，故故EEEE1 1FFFF1 1. .1212【加练加练固固】 如图，已知如图，已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长为是棱长为a a的正方体，的正方体，点点E E为为AAAA1 1的中点，点的中点，点F F为为CCCC1 1的中点，求证：的中点，求证：EBFDEBFD1 1. .【证明证明】取取DDDD1 1的中点的中点M M，连结，连结AMAM，FMFM，因为因为

9、FMCDABFMCDAB，且，且FM=CD=ABFM=CD=AB，所以四边形所以四边形FMABFMAB为平行四边形，可得为平行四边形，可得BFAMBFAM，且，且BF=AMBF=AM，又因为四边形又因为四边形AMDAMD1 1E E也是平行四边形，也是平行四边形，所以所以EDED1 1AMAM，且，且EDED1 1=AM=AM，所以所以BFEDBFED1 1，且，且BF=EDBF=ED1 1，可得四边形，可得四边形EBFDEBFD1 1是平行四边是平行四边形，所以形，所以EBFDEBFD1 1. .类型二等角定理的应用类型二等角定理的应用【典例典例】在平行六面体在平行六面体ABCD-AABCD

10、-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M，N N，P P分别是分别是CCCC1 1，B B1 1C C1 1，C C1 1D D1 1的中点的中点. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号求证：求证：NMP=BANMP=BA1 1D.D.【思维思维引引】证明两个角的两边分别平行证明两个角的两边分别平行. .【证明证明】如图，连接如图，连接CBCB1 1，CDCD1 1，因为因为CDACDA1 1B B1 1，所以四边形，所以四边形A A1 1B B1 1CDCD是平行四边形，是平行四边形，所以所以A A1 1DBDB1 1C.C.因为因为M M，N N分别是分别是CCCC1 1，B

11、 B1 1C C1 1的中点，的中点，所以所以MNBMNB1 1C C，所以，所以MNAMNA1 1D.D.因为因为BCABCA1 1D D1 1，所以四边形，所以四边形A A1 1BCDBCD1 1是平行四边形，是平行四边形，所以所以A A1 1BCDBCD1 1. .因为因为M M，P P分别是分别是CCCC1 1，C C1 1D D1 1的中点，的中点，所以所以MPCDMPCD1 1，所以，所以MPAMPA1 1B B，所以所以NMPNMP和和BABA1 1D D的两边分别平行且方向都相反，所的两边分别平行且方向都相反，所以以NMP=BANMP=BA1 1D.D.【内化内化悟悟】两个角的

12、边分别平行时，怎样区分两个角相等还是两个角的边分别平行时，怎样区分两个角相等还是互补？互补？提示：提示：如果两个角方向相同或相反，则两个角相等，如果两个角方向相同或相反，则两个角相等，否则互补，也可以通过观察两角是锐角还是钝角，如否则互补，也可以通过观察两角是锐角还是钝角，如果同为锐角或钝角，则两角相等果同为锐角或钝角，则两角相等. .【类题类题通通】关于等角定理的应用关于等角定理的应用(1)(1)根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行证明线线平行. .(2)(2)根据角的两边的方向判定两角相等根据角的两边的方向判定两角相等. .【

13、习练习练破破】如图所示，如图所示，ABCABC和和ABCABC的的对应顶点的连线对应顶点的连线AAAA，BBBB，CCCC交于同一点交于同一点O O，且，且 OABOCO2.OAOB OC3(1)(1)求证求证ABABABAB，ACACACAC，BCBC.BCBC.(2)(2)求求 的值的值. .ABCABCSS 【解析解析】(1)(1)因为因为AAAABBBB=O=O，且，且 所以所以AOBAOBA AOBOB，所以，所以ABO=AABO=AB BO O，所以所以ABAABAB B，同理，同理ACAACAC C，BCBBCBC C. .AOBO2,AOBO3(2)(2)因为因为A AB BA

14、BAB，A AC CACAC且且ABAB和和A AB B，ACAC和和A AC C方向相反，所以方向相反，所以BAC=BBAC=BA AC C. .同理同理ABC=AABC=AB BC C，ACB=AACB=AC CB B，所以所以ABCABCA AB BC C且且 所以所以 ABAO2,ABOA3 2ABCABCS24( ).S39 【加练加练固固】已知长方体已知长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M，N N分别是棱分别是棱CDCD，ADAD的的中点中点. .求证：求证：(1)(1)四边形四边形MNAMNA1 1C C1 1是梯形是梯形. .(

15、2)DNM=D(2)DNM=D1 1A A1 1C C1 1. .【证明证明】(1)(1)如图，连接如图，连接ACAC，在，在ACDACD中，中，因为因为M M，N N分别是分别是CDCD，ADAD的中点，的中点，所以所以MNMN是三角形的中位线，所以是三角形的中位线，所以MNACMNAC，MN= AC.MN= AC.由长方体的性质得：由长方体的性质得：ACAACA1 1C C1 1，AC=AAC=A1 1C C1 1. .所以所以MNAMNA1 1C C1 1，且，且MN= AMN= A1 1C C1 1，即，即MNAMNA1 1C C1 1，所以四边形所以四边形MNAMNA1 1C C1

16、1是梯形是梯形. .1212(2)(2)由由(1)(1)可知可知MNAMNA1 1C C1 1，又因为，又因为NDANDA1 1D D1 1，所以所以DNMDNM与与D D1 1A A1 1C C1 1相等或互补相等或互补. .而而DNMDNM与与D D1 1A A1 1C C1 1均是直角三角形的锐角，均是直角三角形的锐角，所以所以DNM=DDNM=D1 1A A1 1C C1 1. .类型三空间中直线平行关系的综合应用类型三空间中直线平行关系的综合应用角度角度1 1共面问题共面问题【典例典例】如图，已知正方体如图，已知正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1

17、1，E E，F F，G G，H H分别是分别是ADAD1 1，CDCD1 1，BCBC，ABAB的中点的中点. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号求证：求证：E E，F F，G G，H H四点共面四点共面. .【思维思维引引】证明证明EFHGEFHG即可即可. .【证明证明】如图，连接如图，连接AC.AC.因为因为E E，F F分别是分别是ADAD1 1，CDCD1 1的中点，所以的中点，所以EFAC.EFAC.因为因为G G，H H分别是分别是BCBC，ABAB的中点，所以的中点，所以GHAC.GHAC.所以所以EFGH.EFGH.所以所以E E，F F，G G，H H四点共面四点共面. .【素

18、养素养探探】在证明共面问题时，常常用到核心素养中的逻辑推理，在证明共面问题时，常常用到核心素养中的逻辑推理，将共面问题转化为平行问题，通过证明线线平行证明四将共面问题转化为平行问题，通过证明线线平行证明四点共面点共面. .将本例的条件改为将本例的条件改为“ ”“ ”，试证明，试证明EHEH与与FGFG交交于一点于一点. .BHBG1HAGC2【证明证明】连接连接ACAC，因为，因为E E，F F分别是分别是ADAD1 1，CDCD1 1的中点，的中点，所以所以EFACEFAC，EF= AC.EF= AC.因为因为 ，所以，所以GHACGHAC，GH= AC.GH= AC.所以所以EFGHEFG

19、H，EFGHEFGH，所以四边形所以四边形EFGHEFGH是梯形，所以是梯形，所以EHEH与与FGFG交于一点交于一点. .12BHBG1HAGC213角度角度2 2探究问题探究问题【典例典例】如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是平行四边形，点是平行四边形，点M M，N N分别在分别在ACAC，PBPB上，且上，且AM= MCAM= MC，BN= BPBN= BP，作出直线，作出直线MNMN与与PBPB确定的确定的平面与平面平面与平面PADPAD的交线的交线l，直线，直线l与与MNMN是否平行，如果是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明

20、理由平行请给出证明，如果不平行请说明理由. . 世纪金榜世纪金榜导学号导学号1334【思维思维引引】先作出直线先作出直线l，再利用比例关系证明是否，再利用比例关系证明是否平行平行. .【解析解析】连接连接BMBM并延长，交并延长，交DADA于点于点E E，连接，连接PEPE，则则PEPE即为直线即为直线MNMN与与PBPB确定的平面与平面确定的平面与平面PADPAD的交线的交线l，因为底面因为底面ABCDABCD是平行四边形，所以是平行四边形，所以AEBCAEBC，所以所以AEMAEMCBMCBM，所以，所以 因为点因为点M M，N N分别在分别在ACAC，PBPB上，上，且且AM= MCAM

21、= MC，BN= BPBN= BP，EMAM,BMCM1334 所以所以MNPEMNPE，即直线，即直线lMN.MN.AMPNEMPN,CMBNBMBN所以所以【类题类题通通】1.1.关于共面问题关于共面问题根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行其实质是证明直线平行. .2.2.关于探究问题关于探究问题处理探究问题时一般假设其存在，再进行证明，或先处理探究问题时一般假设其存在，再进行证明，或先选取如中点等特殊位置进行验证，再给出严格证明选取如中点等特殊位置进行验证，再给出严格证明. .【习练习练破破】如图，在三棱锥如图，

22、在三棱锥A-BCDA-BCD中，中，E E，F F，G G，H H分别是边分别是边ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点的中点. .(1)(1)求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .(2)(2)当当ACAC与与BDBD满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形EFGHEFGH是正方形是正方形. .【解析解析】(1)(1)在在ABCABC中，中，E E，F F分别是边分别是边ABAB，BCBC的中点，的中点，所以所以EFACEFAC，且，且EF= ACEF= AC，同理有同理有GHACGHAC，且，且GH= ACGH= AC，所以所以EFGHEFGH且且EF=GHEF=GH，故四边形故四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .1212(2)(2)当当ACAC与与BDBD垂直且相等时，四边形垂直且相等时，四边形EFGHEFGH是正方形，理是正方形，理由如下：由如下：若若AC=BDAC=BD，则有，则有EH=EFEH=EF，又因为四边形又因为四边形EFGHEFGH是平行四边形，是平行四边形，所以四边形所以四边形EFGHEFGH是菱形是菱形. .若若ACBDACBD，则，则EHEFEHEF，所以菱形所以菱形EFGHEFGH是正方形是正方形. .